Лекции / Теория электромагнитного поля_каз / Лекция 7

Дәріс 7.

Тақырыбы: Жазық электромагниттік толқындар.

Дәріс жоспары:

1. Вакуумдағы еркін электромагниттік өріс үшін Максвелл теңдеулері

2. Зарядтар жүйесінен алыстатылған электромагниттік өрістің потенциалдары.

Дәріс мәтіні:

Қарастырылып отырған дәрісте кеңістікте электр заряды жоқ тек бір ғана орны бар электромагниттік өріс зерттелінеді. Бұндай өрісті еркін деп атайды.

Әрине, реалды түрде толығымен зарядтарды алып тастау мүмкін емес, бұл тек модельдік ұйғарым ғана. Бірақ еркін өрісті ұғынудың басты әдістемелік мәні бар, себебі өрісті зарядтардан тыс оқуға, қарастыруға мүмкіншілік береді.

Қайта өріс электр зарядтарымен туса да, ол зарядтан тәуелсіз болып, еркінде бола алады. Мәселен, күннің жарығы жерге оның күндік фотосфера атомдарының шағылуынан 8.3 млн кейін таралады.

жағдайы кезіндегі Максвелл теңдеулерінде, вакуумдегі еркін электромагниттік өріс келесі түрде сипатталады.

(55a)

(55b)

, (55c)

. (55d)

Жазылған теңдіктерден шығатын қорытынды, берілген жағдайда электр және магнит өрістер соленоидты, ал Е және В векторларының сызықтары тұйықталған.

Жалпы жағдайдан ерекшелігі, жоғарыда қарастырылғандай, электр өріс көздерінің сызықтары жоқ, олар өзгермелі В векторының сызықтарын басып алады.

Магниттік өрістің кез-келген бөлігі соленоидты, ал берілген жағдайда магниттік өріс “ығысу тоғымен” пайда болады.

Магниттік өріс сызықтары өзгермелі вектор Е сызықтарын басып алады. Кез-келген бөлігінде электромагниттік өрістің жеке электр және магнит өрістегі болуы мүмкін емес, себебі стационарлы өрісте болған емес. Электромагниттік өрістің Е және В компоненттері өзара байланысқан болып табылады.

Уақыт бойынша біреуі өзгерсе, екіншісі де өзгереді, ал екіншісінің өзгеруі біріншісінің өзгеруіне әкеледі және т.б. Өзгермелі Е және В өрістерінің өзара байланысы кеңістіктегі өрістің таралуының соңғы жылдамдығы электромагниттік толқынға алып келеді. Кеңістіктегі өріс векторларының өзгеру процесі толқындық сипатқа ие, кеңістіктің кез-келген нүктесінде орын алатын өріс жағдайы әр белгіленген уақыт сайын с- таралу жылдамдығымен қайталанып отырады.

Еркін өрістің толқындық сипаты (55) теңдеуді зерттеу кезінде анықталады. Екі жағынан ротор алайық:

(55а)

Келесіні ескере отырып: , ал , алатынымыз:

. (56)

Аналогтік түрде дәлелдегеніміз (55с) пен (55d) эквивалентті теңдеулер.

. (57)

(56) мен (57) теңдеулер толқындық теңдеулер, олар жазық толқын түріндегі шешімде.

Сонымен, өрістің толқындық сипаты анықталады.

Максвеллдің жұмыстарында электромагниттік толқынның тербелу аймағы ерекше субстанция - бүкіл кеңістікті толтырған эфирде жасалған. Бірақ теориялық талдау жағынан эфирдің қасиеті тәжірибемен салыстырғанда үлкен қайшылыққа алып келді. Мәселен, эфирде толқынның таралуы үшін үлкен жылдамдыққа шартты қатандық қажет.

Онда эфирдегі қозғалыстың кедергісіз болуы мүмкін емес сияқты. Сондықтан бұл ортада бізге келмейтін болып шықты.

Соңында АСТ құруымен сұрақ шешілді. Физиктер электромагниттік өріс өздігінен болатын электр және магнит өрістерінің бірінен-біріне айналуы арқасында пайда болатынын тапты.

Бұл екі өрістің бірлік компоненті бірін-бірі қоздырады, соның арқасында кеңістікте өріс қозғалысын қамтамасыз етеді.

Сонымен, бізбен алынған өріс векторлары үшін алынған теңдеулер (56) және (57). Бірақ та біз үшін алдында тапқан еркін электромагниттік өріс потенциал теңдеулерін қолдану оңай.

Вакуум үшін заряд жоқ кезіндегі толқындық теңдеу келесі түрде:

(58)

.

А және φ потенциалдағы Е және В вектор қатынастарымен байланысты.

.

Бұдан басқа потенциалға Лоренц калибровкасының шарты қойылған.

(58) теңдеуінің шешіміне 2 шарт қойылады :

. (59)

(59) қатынасы потенциалдардың толқындық калибровка атымен аталады. φ = 0 функциясы толқындық теңдеуді қанағаттандырып, бірақ =0 болған кезде ғана ол мүмкін болады. Ендеше, (58) теңдеуінен 2-сі алынады да, тек 1-сі ғана қалады. Е және В өріс векторлары мына қатынастан табылады.

, (60)

, . (61)

(60) теңдеуінің шешімінде k₀ – толқын фронтының қозғалыстың берілген бағытындағы бірлік вектор болатын тұтас толқын түрінде жібереді. Тұтас толқындардың өрісінің векторын есептейік:

, (62)

. (63)

Соңғы екі формуладағы әріп төбесіндегі нүкте аргументі бойынша дифференциалдауды білдіреді, сонымен қатар, мына формула қолданылған.

(59) калибровка шарты мен төмендегі формуладан:

Осыдан келетіні .

Бұл мен _, екенін білдіреді, сондықтан Е  . (63) формуладан В  Е және В  _.шығады.

Алынған қатынастар Е, В және векторлары вектордың оң үштігін құрайтынын көрсетеді. Тегіс электромагниттік толқында өріс векторлары бойымен толқын кейбір физикалық сипаттамалардың тербелістері . векторына перпендикуляр жазықтықта болатын көлденең толқындарға жатады. Е және В векторлары (62) және (63) формулаларына сәйкес координат пен уақыт функциялары болып табылады.

, (64)

.

Вектор модульдері мына қатынаспен байланысты:

. (65)

(64) және (65) формулалары Е, В, вектор бағытын байланыстыратын шарттармен бірге кеңістікте с-жылдамдығымен таралатын индукция мен кернеудің жазық толқындарын сипаттайды. Екі толқын да уақыт бойынша бір-бірімен келісілген: олардың фазалары бірдей, сондықтан, кеңістіктің әр нүктелеріндегі векторлар өзгерісі синхронды жүреді. Дербес жағдайда, модулі бойынша олар бір мезгілде максимал және минимал мәнге ие болады.

Сонымен бірге, электромагнитті толқынның энергия ағынының тығыздығын, энергия тығыздығының мәнін (64), (65) және (21), (22) формулаларының көмегімен есептейік.

, (66)

. (67)

Тұтас толқынның дербес жағдайы маңызды мәнге ие: гармоникалық толқындар(монохромат). Олар үшін:

Бұдан

(68)

.

Соңғы формулаларды мына түрде жазған ыңғайлы:

, (69)

осындағы

E  k₀, (70)

Гармониканың графикалық иллюстрациясы Матвеев А.Н. Электр және магнетизм 258с суретте көрсетілген.

Еркін өрістің гармоникалық құраушыларының бар екені жөніндегі қорытынды (56), (57) теңдеулерден шығады. Төмендегі функциялар олардың дербес шешімдері болып табылады.

(69) гармоника кез-келген толқындық электромагнитті өрістің элементі болып табылады.

Заряд жүйесінен алыс электромагнитті өріс потенциалдары.

Зарядтардың еркін қозғалысының жалпы жағдайында және А төмендегі өрнектермен сипатталады:

(*)

.

Осы формулалар бойынша практикалық есептеу тежелуді ескерумен күрделене түседі. мен j әр r₀ нүкте үшін уақытының әр түрлі моментінде алынуы мүмкін. Сондықтан, өрісті жуықтап және заряд жүйесін жанайтын кейбір шекараларда ғана есептеуге мүмкін екен.

Одан үлкен ара-қашықта орналасқан шектелген көлемді электр нейтралды жүйенің өрісін қарастырайық. Жүйе p және m электр және магнит дипольді моментпен сипатталуы мүмкін.

Алдында қарастырылғанға қарағанда диполь моменттері енді тұрақты емес, олар уақыт функциялары болып табылады. Осы тәуелділікті ескере отырып, потенциалдарды есептейік.

кезінде және үшін шаманың 1-ші ретті мүшелермен шектеліп, жуық өрнектерді қолданамыз:

(71)

, (72)

, (73)

,

мұндағы тежелуді ескергендегі уақыт.

Жүйенің барлық нүктелері үшін тежелудің меншікті уақыты -дан көп кіші екені тұжырымдалады.

Бұл және -ды аз шаманың сатылары бойынша қатарға жіктеуге мүмкіндік береді және жіктеудің алғашқы 2 мүшесімен шектеледі.

,

.

Әріп төбесіндегі нүкте t немесе τ бойынша дербес туындыны білдіреді. (71)-ді ескеріп, алынған өрнекті (*) қойса

(74)

(75)

Меншікті тежелу уақыты кезінде және j заряд пен тоқ тығыздығының аз өзгеруі қажет (әйтпесе уақыт бойынша олардың туындылары үлкен болады). Меншікті тежелу уақыты егер , болса, өтпелі қашықтық , онда жуықтауға болады. Бұдан , яғни зарядтың қозғалыс жылдамдығы релятивистік емес болуы керек. (74) өрнегіне талдау жасайық. -электронейтралды жүйе үшін нүктелік заряд потенциалы нөлге тең. ₂ екінші қосылғыш диполь моментімен анықталады, үлкен қашықтықта орналасып r-дің өсуімен тез азаяды.

,

. (76)

А үшін (75) өрнегін қолданамыз. Бірінші қосылғыш стационар жағдайға қарағанда нөлге тең болмайды және маңызды мәнге ие.

_. А₁ мен арасындағы байланысты көрсетейік. (76) өрнегінен

_.

интегралының Ох осі проекциясын есептейік. Есептеу үшін , тепе-теңдігін қолданайық, бұдан

.

Гаусс теоремасы бойынша теңдіктің оң бөлігіндегі дивергенциямен интегралды түрлендірейік. Интегралдау V₀ көлемімен шектелген S беті бойынша жасалады. Зарядтар жүйе шегінен шықпайтын болғандықтан, интеграл нөлге айналады. Онда:

.

(77)

және (76) –дан шығатыны ,

. (78)

және А₁ шамалары уақыт кезіндегі жүйенің электрлік диполь моментінің өзгеру жылдамдығымен беріледі. (78)-ді талдасақ, өріс заряд жүйесінен радиал бағыттары бойынша таралатын толқын түрінде болатынын қорытындылайды. Ізінше, бұл қозғалатын зарядтармен сәулеленетін электромагнит толқындар. және А₁ потенциалдармен анықталатын өріс электрлік дипольді сәулелену деп аталады.

А₁-ден с есе көп модуль бойынша ₃ қатынасына келеді. Дәл осындай байланыс электромагнитті толқын үшін сипатталады. Сондықтан, 2 потенциал да сәулеленуге маңызды роль енгізеді. Жүйенің дипольдік электрлік сәулеленуі болмауы да мүмкін, онда (74) және (75) жіктеулерде келесі мүшелерді қолдану қажет. Скаляр потенциал (74)-те жазылмаған 4-ші қосылғышпен анықталады. Ол мұнда қарастырылмаған электрлік квадрупольдік сәулеленуге жауап береді. А₂ және А₃ қосылғыштарын (75) формулада қарастырайық.

, .

Есептеудің сол тәсілдерін пайдаланып, А₂ және А₃ потенциалдары үшін жаңа формулаларды алуға болады.

, (79)

. (80)

Жүйеден алыс ара-қашықтарда, толқындық зоналарда А₂ А₃. Сондықтан А₃-ті де ескеру қажет. Ол магнит дипольдік сәулеленуді анықтайды.

Әдебиеттер:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматгиз, 1962.

2. Либов Р. Введение в кинетическую теорию. М.: Мир, 1974.

3. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954.

4. Фейнман Р., Лейторн Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967. Т. 4,5.

5. ЕА.Туров. Материальные уравнения электродинамики. М.Наука.1983

6. В.В. Батыгин, И.Н.Топтыгин, Электродинамика. М. Наука. 2001

7. И.Е.Тамм. Основы теории электричества. М.Наука, 1989.

8. А.А.Власов. Макроскопическая электродинамика