Лекции / Теория электромагнитного поля_каз / Лекция 5

Дәріс 5.

Тақырыбы: Стационарлы электрлік өрісі.

Дәріс жоспары:

1. Стационарлық жүйедегі өріс потенциалдары.

2. Кешігуші потенциалдар

Дәріс мәтіні:

Еркін өрістің потенциалдарын анықтау есебін қарастырайық. Ол үшін (35) теңдеу жүйесіндегі оң жақ бөліктерін нөлге теңестіреміз де, келесі түрдегі төрт біртипті толқындық теңдеулер аламыз.

, (41)

мұндағы v - , ,, φ шамаларының кез-келгені белгіленген. (41) теңдеу нөлге тең емес шешімдерге ие. Бұл дегеніміз, вакуумдағы өріс заряд болмаса да, бар болады. Оңайлырақ болу үшін біріншіден бірөлшемді жағдайды қарастырайық.

. (42)

Мұндағы (42) теңдеудегі мына түрде шешімге әкеледі:

, (43)

мұндағы және – аргументінің функциялары.

(43)-нің шешімі бірөлшемді жағдай үшін жалпы түрде берілген. Бастапқы шарттарды пайдалана отырып, екі теңдеу аламыз:

(х),

(х).

Бұдан бастапқы шарттарды қанағаттандыратын және функциялардың түрлері бірмәнді анықталады. Шешімнің мәні: бұл потенциалдың қума толқындары. нүктесі үшін алынған функциясының мәні кез-келген t₁ уақыт моментінде нүктесінде басқа уақыт моментінде қайталанады. шартынан аламыз, яғни потенциалдың “ұйытқуы” (мәндері) ОХ осі бойынша с- жылдамдығымен оң бағытта таралады. Сәйкесінше –қарама-қарсы бағыттағы қума толқын.

Енді үшөлшемді толқындық теңдеуіне көшіп, қума толқындар түріндегі олардың шешімдері іздейік:

, (44)

мұндағы k₀ –кез келген бағыттағы тұрақты бірлік вектор. (41) теңдеу және функцияларының туындылары кезіндегі (44) теңдеудің мәнімен қанағаттандырылуымен дәлелденеді. Потенциалдың қума толқыны уақыт бір мезетіндегі мәндері бірдей болатын нүктелердің геометриялық орындарын табайық. Фазаның тұрақтылық шартынан:

, одан шығатын .

Бұл теңдеу k₀ векторына перпендикуляр жазықтық теңдеуі. Сонымен, (44) теңдеудің шешімі жазық толқынды сипаттайды, сонымен қатар оның толқын фронты k₀ вектор бағыты бойынша с-жылдамдығымен қозғалады.

Сонымен, толқындық теңдеу жазық толқын түріндегі шешімдерге рұқсат береді. Шешімі бастапқы шарттармен анықталатын екі функциядан құралады. Шекаралық шарт жайында айтсақ, берілген жағдайымызда ол толығымен жоқ, себебі біртекті бос кеңістікте ешқандай шекара болмайды. Шешімді іздеу процесі кезінде еркін электромагниттік өрістің толқындық табиғаты толық ашылған: ол с-жылдамдығымен бостықта таралатын толқын түрінде ғана болуы мүмкін.

Стационарлы жүйедегі потенциал өрістері.

Сонымен, өріс теңдеуінің жалпы шешімнің бір бөлігі табылды. Енді екінші бөлігін - зарядтардың нақты жүйесінің өрісін сипаттайтын Даламбер теңдеуінің дербес шешімін іздеуге кірісейік. Онда заряд пен тоқ тығыздығы уақыттан тәуелсіз кезіндегі зарядтардың стационарлы қозғалысының қарапайым жағдайын қарастырайық.

, .

Бұл жағдайда берілген зарядтың жүйесімен туындаған потенциал өрісі уақыттан тәуелсіз, ал өрістің (35) теңдеуі Пуассонның біртипті теңдеуіне алып келеді:

, (45)

. (46)

Бұл теңдеулердің шешімін математикалық қиындыққа соқтырмай-ақ, физикалық жағынан қарастырайық. Алғашында, кеңістікті элементтерге бөліп және оларды нүктелік деп қарастырамыз. Оларда заряд элементтері және тоқ элементтері шоғырланған болсын. Суперпозиция принципі бойынша өріс осы зарядтармен туындаған өрістерден тұрады. Үздіксіз таралған заряд үшін тоқ пен зарядтың элементерінен туындаған потенциалдар келесі түрде болады:

, (47)

. (48)

Енді суперпозиция принципі бойынша заряд жүйесімен алынатын барлық көлемі бойынша қосындылау керек

, (49)

. (50)

Бұл стационарлы жағдайдағы өріс потенциалдары болып табылады. Радиус векторларының белгіленуі 1-суретте көрсетілген.

Сурет 1

Кешігуші потенциалдар

Енді уақытқа тәуелді, яғни қозғалатын зарядтар үшін өріс теңдеуінің шешімін іздейік. Толқындық теңдеу шешімінің қасиеттерін ескере отырып, айнымалы потенциалдар үшін өріс теңдеулерінің шешімі тұрақты өріс потенциалы үшін (49) және (50) теңдеулерінің шешімінен ерекшелінеді, себебі электромагнитті өзараәрекеттесулердің таралуының шекті таралу жылдамдығын ескеру қажет. Басқаша айтқанда, қозғалмалы заряды және айнымалы тоқтың элементі қоршаған кеңістіктің әрбір нүктесінде потенциал туғызады. Бұл потенциал заряды қозғалмайтын, ал тоғы тұрақты болатын, бірақ та мұндай потенциал әр нүктеде сол берілген уақытқа емес, одан кешігуші уақытта туындайды, яғни нүкте көзінен бақылау нүктесіне дейінгі ара-қашықтықта электромагниттік өріске қажет уақытқа туындайды. Сондықтан (49) және (50) теңдіктің орнына заряд пен тоқ үшін келесі формулаларды аламыз:

, (51)

. (52)

Берілген нүктеде уақыттың берілген уақытындағы потенциал зарядтың жағдайы мен шамасымен және сол уақыттағы тоқ күшімен емес, электромагниттік өрістің таралу жылдамдығын ескеруімен анықталатын оның алдындағы уақыт мезетіндегілермен шартталынады. (51) және (52) теңдеулердегі потенциалдар кешігуші деп аталады, себебі олар заряд пен тоқ үшін t уақытымен салыстырғанда /с уақыт мезетіндегі потенциалмен сипатталады.

Потенциалдардағы өріс теңдеуінің шешімдері формальді (51) және (52) аналогтік түрде, яғни /с на /с аргументтерін ауыстыру арқылы анықталады.

, (53)

. (54)

(53) және (54) потенциалдарға, алғашында потенциал туындап, содан кейін оған сәйкес келетін заряд пен тоқ туындайды, содан кейін потенциал заряд пен тоқты озатын жағдай келеді. Сондықтан ол озушы деп аталады.

Курс негізінде қарастырылатын негізгі көптеген есептер үшін және олардың физикалық мәнін ұғыну үшін кешігуші потенциалдардағы шешімдердің мәнін табу маңызды. Сонымен кеңістікте үздіксіз таралу мен зарядтың қозғалысына жауап беретін потенциалдардағы өріс теңдеуінің дербес табылды. Потенциалға сәйкес табылған өріс вакуумдағы зарядтың үздіксіз жүйесімен туындайды. Егер кеңістікте бастапқы шарттарымен берілген электромагниттік толқындар жоқ болса, онда берілген зарядтар жүйесі үшін кешігуші потенциалдар түріндегі шешімдер бірмәнді өрісті анықтайды.

Озушы потенциал туралы айтсақ, бұл шешім уақыттың айналуына қатысты өріс теңдеуінің симметриялығынан туындады. t→t' = -t түрленуі потенциалдардағы өріс теңдеуін өзгертпейді. Бірақ уақыттың айналуының физикалық мағынаға ие болмайды, себебі t-ны – t-ға ауыстыруға қатысты теңдеулердің инварианттылығы ешқандай бақыланатын физикалық құбылыстарға әкелмейді. Озушы потенциалдар себептілік принципке қарама-қайшы, себебі зарядтың өзгеруі өрістің өзгеруіне алып келеді немесе керісінше. Сондықтан озушы потенциалдардағы шешімдер әрі қарай қарастырылмайды.

Сонымен, өріс еркін өріс пен кеңістіктің шектелген облысын алатын заряд жүйесімен туындаған өрістен құралады, ал өріс теңдеуінің жалпы шешімін келесі түрде келтіруге болады.

ААА

Әдебиеттер:

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматгиз, 1962.

2. Либов Р. Введение в кинетическую теорию. М.: Мир, 1974.

3. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954.

4. Фейнман Р., Лейторн Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967. Т. 4,5.

5. ЕА.Туров. Материальные уравнения электродинамики. М.Наука.1983

6. Силадьи М. Электронная и ионная оптика. М.: Мир, 1990.

7. И.Е.Тамм. Основы теории электричества. М.Наука, 1989.

8. А.А.Власов. Макроскопическая электродинамика