Лекции / Теория электромагнитного поля_каз / Лекция 6

Дәріс 6.

Тақырыбы: Магнитостатикалық өріс

Дәріс жоспары:

1. Толық тоқ заңы немесе магниттік өрістің циркуляциясы туралы теорема.

2. Вектордың роторы. Стокс формуласы.

3. Толық тоқ заңының дифференциалдық формасы.

4. Био-Савар заңынан толық тоқ заңының дифференциалдық формасын қорытындылау.

Дәріс мәтіні:

Әр түрлі формалы тоқтармен туғызылатын магниттік өрістерді 1820 жылы Био мен Саварра тәжірибе жүзінде зерттеді. Олар өріс шамасы ылғи да тоқ шамасына пропорционал () және өрісі анықталатын нүктедегі -дан тәуелді екенін анықтады.

Лаплас Био-Саварраның мәліметтеріне талдау жүргізе отырып, бір шешімге келді, яғни аз тоқтың магниттік өрісі, тоқтың жеке бөліктерімен тудыратын өрістердің суперпозициясымен анықталады деген шешімге келді. ұзындықты тоқ элементімен туғызылатын өрістің магниттік индукциясы үшін Лаплас келесі формуланы алды:

Коэффициент , мұндағы -магнит тұрақтысы. Енді біз білеміз, - өрісі релятивистік табиғатқа ие, күштің түрлендіруі үшін өрнекті қолдана отырып, Био-Саварра заңын теория жүзінде алуымызға болады.

Алғашында тоқ өтетін түзу шексіз өткізгіштегі магниттік өріс үшін өрнекті алайық. Ол үшін 5 дәрістегі тағы мысалдың нәтижелерін пайдаланамыз себебі өзінің ұзындығы бойынша қозғалатын түзу шексіз жіп тығыздығы , және болатын түзу шексіз тоққа эквивалентті:

Келесіні ескере отырып,

Аламыз :

, , болғандықтан

Келесіні аламыз :

(9.2а)

Шама немесе ,

- магнит тұрақтысы.

Тоқ .

Сонымен: түзусызықты шексіз тоқтағы магнит өрісі:

теңдіктен көріп отырғанымыз, Z осі бойынша бағытталған XY жазықтықта жататын нүктедегі магнит өрісінің индукциясы, XY жазықтығына перпендикуляр. Бірақ OY осінің векторы кез келген бағытта тең болғандықтан, яғни және векторларына перпендикуляр жазықтықта жатады және шеңберге жанама жатқан концентрикалық тоққа бағытталған.

Толық тоқ заңы мен магнит өрісінің циркуляциясы туралы теорема.

Магнит өрісі үшін интегралдық және дифференциалдық форма заңдарын табайық, электр өрісі үшін бұл Кулон заңы және суперпозиция принципі негізінде жасалды.

Ал магниттік өріс үшін біз Био-Савара мен магниттік өріс үшін суперпозиция принципін пайдаланамыз. Олардың тұжырымдамасы толық тоқ заңы деп аталады.

Тоқ жүйесінде туындаған магниттік өріс индукциясы әрбір тоқ үшін индукция өрістерінің қосындысына тең:

Толық тоқ занының интегралдық тұжырымдамасы.

Түзу тоқ үшін магнит өрісін қарастырайық:

Тұйық L контуры бойынша В векторының циркуляциясын

есептейік:

сонымен:

Егер контурды тоқ қамтымаса, онда циркуляция нөлге тең.

Контурдағы тоқтың туындылы саны үшін заңды жалпылайық.

Суперпозиция принципіне сәйкес:

, мұндағы контурмен қамтылатын тоқтардың алгебралық қосындысы.

Сонымен, тұйық контур бойынша магнит өрісінің циркуляциясы онымен қамтитын тоқтардың алгебралық қосындысының көбейтіндісіне тең:

Тоқтың толық заңы Био-Савара заңының интегралдық тұжырымдамасы болып табылады және Максвелл теңдеулер жүйесіне кіреді.

таңбасы тоқтың бағыты мен контуры бойынша айналуына тәуелді. Егер және оң винтті жүйені құрса, онда тоқ оң болып есептеледі: .

Ротор векторы. Стокс формуласы.

векторының өрісі берілсін. Вектордың бағытын жазықтығына қарай аз ауданды контурының бойынша шектейміз. айналудың бағыты оң винтімен байланысты. Ротор векторы деп бағытталған S проекциясын атаймыз.

Ротор (құйынды) вектордың “құйынды” болуын сипаттайды. Декарттың координаталарда «набла» операторын енгізе отырып, келесі түрде жазуға болады:

Стокс формуласы векторының циркуляциясын контур беті арқылы өтетін оның ротор ағынымен байланыстырады:

Стокс формуласын сөзбен жаттап алу оңайлау:

« векторының циркуляциясы оның роторының ағынына тең …»

Толық тоқ занының дифференциалдық формасы.

J тығыздығы бар көлемді тоқ үшін:

Сонымен, дифференциалдық қатынасты алдық. Бұл дегеніміз, оның түрі тоқ тығыздығының басқа нүктелерде қандай болуына байланыссыз, ал ығысу тоғымен қатар магнит өрісі тек тоқ өткізгіштігімен ғана туындайды, ал ол болса, ығысу тоғының өріс шамасы өткізгіш тоғының өрісіне тең, (10,7) теңдікте ығысу тоқтарын қолданған дұрыс. I тоғы , ал бұл дегеніміз . Сондықтан :

Тағы да бір вакуумдағы магнит өрісінің сипаты - өріс индукциясы В байланысты магнит өріс кернеулігін енгізсек:

мұндағы вектор магнит өрісінің кернеулік векторы деп аталады. Онда толық тоқ заңын келесі түрде көрсетуге болады.

немесе

Мұндағы

Толық тоқ занының Био-Савара заңынан шығатын дифференциалдық формасы.

Екінші ретті векторлық туындыны жазсақ:

Яғни

және т.б.

және т.б.

….

Әдебиеттер:

1. Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамика. М.: Физматгиз, 1978.

2. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954.

3. Фейнман Р., Лейторн Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967. Т. 4,5.

4. ЕА.Туров. Материальные уравнения электродинамики. М.Наука.1983

5. В.В. Батыгин, И.Н.Топтыгин, Электродинамика. М. Наука. 2001