Ex	= ex cos kx x sin ky y sin kz z sin ωt
Ey	= ey sin kx x cos k y y sin kz z sin ωt ,		(2.19)
Ez	= ez sin kx x sin k y y cos kz z sin ωt
где kx = mπ/2a, ky = nπ/2a, kz = qπ/2L;		a – поперечный размер зеркал;
L – расстояние между зеркалами; m, n, q –		положительные целые числа.

Резонансные частоты прямоугольного резонатора определяются из выражения

ν = (c / 2)[(m / 2a)2 + (n / 2a)2 + (q / L)2 ]1/2 .

(2.20)

В частном случае для открытого оптического плоскопараллельного резонатора, для которого m, n << q, резонансные частоты можно найти из выражения (2.20) путем разложения его в степенной ряд:

ν ≈ (c / 2)(	q	+	1		n2 + m2		L		) .	(2.21)
							4a	2
	L 2 q

Различие между выражениями (2.21) и (2.17) связано с тем, что уравнение (2.17) получено для одномерного резонатора. Однако, разностная частота ∆νq между двумя модами определяется так же, как в выражении (2.18): ∆νq = c/2L. Эти две моды отличаются друг от друга лишь распределением поля вдоль оси z (т. е. в продольном направлении), поэтому ∆νq называются продольными модами. Разности частот между двумя последовательными модами n или m, различающимися на единицу, называются поперечными модами, и определяются выражением:

ν	m	= cL(m + 1 / 2)(1 / 8qa2 ) .	(2.22)

Для типичных значений L ≈ 1 м величины ∆νq составляют порядка нескольких сотен мегагерц, тогда как ∆νm (или ∆νn) – порядка нескольких мегагерц.

2.3.3. Сферический резонатор

Сферические резонаторы представляют собой систему, состоящую из двух сферических зеркал, расположенных на некотором расстоянии друг

40

от друга. Различают два типа сферических резонаторов: 1) концентрический и 2) конфокальный.

Концентрическим называется резонатор, который состоит из двух сферических зеркал одинакового радиуса R, расположенных на расстоянии L друг от друга таким образом, что центры кривизны зеркал C1 и С2 совпадают, т. е. L = 2R (рис. 2.10). В случае концентрического резонатора моды представляют как суперпозицию двух сферических волн, исходящих из точки С и распространяющихся в противоположных направлениях. При этом разностная частота определится согласно уравнению (2.18).

	L
M1	M2

R1 = R2

С

Рис. 2.10. Оптическая схема конфокального резонатора (радиусы кривизны R1 и R2 зеркал М1 и М2 совпадают в точке С)

Конфокальным называется резонатор, который состоит из двух сферических зеркал одинакового радиуса R, которые расположены на расстоянии L = R друг от друга таким образом, что фокусы зеркал F1 и F2 совпадают. Это означает, что центр кривизны одного зеркала лежит на поверхности второго зеркала (рис. 2.11).

Из условия постоянства фазы стоячей волны можно получить выражение для разностной частоты конфокального резонатора в виде:

ν =	c[2q + (m + n + 1)]	.	(2.23)

m nq

4L

41

	L
M1	M2
R1	R2
	С

Рис. 2.11. Оптическая схема конфокального резонатора (радиусы кривизны зеркал равны между собой и равны расстоянию между зеркалами R1 = R2 = L)

Нужно отметить, что в отличие от плоскопараллельного резонатора разность частот между поперечными модами теперь равна ∆νq = c/4L вместо ∆νq = c/2L, а разность частот между продольными модами остается такой, как и для резонатора с плоскими зеркалами: ∆νm, n = c/2L.

Часто также используются резонаторы, образованные сферическими зеркалами с различными по значениям и по знакам радиусами (R1 и R2). Исходя из конкретной оптической схемы, сферические резонаторы могут представлять как устойчивые, так и неустойчивые системы.

Устойчивым называется резонатор, в котором луч остается в пределах ограниченной области резонатора.

Резонатор называется неустойчивым, когда произвольный луч, отражаясь от каждого из двух зеркал, удаляется на неограниченно большое расстояние от оси резонатора.

В устойчивом резонаторе луч периодически фокусируется, а в неустойчивом резонаторе луч после каждого отражения от зеркал расфокусируется. Область устойчивости определяется неравенством:

0 ≤ (1 – L/R1)(1 – L/R2) ≤ 1.

(2.24)

42

Условие устойчивости удобно представить графически в плоскости g1 = 1 – L/R1 и g2 = 1 – L/R2, как показано на диаграмме (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Диаграмма устойчивости на плоскости g1, g2

для произвольного сферического резонатора (штриховые кривые соответствуют конфигурациям конфокальных резонаторов)

Особенно интересный класс сферических резонаторов соответствует точкам прямой линии АС, образующей с осями g1 и g2 угол 45º. Эта прямая отвечает резонаторам с зеркалами одинаковой кривизны (симметричные резонаторы).

Косновным достоинствам неустойчивых резонаторов относятся:

1)большой управляемый объем моды; 2) хорошая селекция поперечных мод; 3) используемая оптика работает только на отражение.

Недостатки неустойчивых резонаторов: 1) поперечное сечение ла-

зерного пучка имеет форму кольца; 2) распределение интенсивности в пучке неоднородное; 3) по сравнению с устойчивым неустойчивый резонатор более чувствителен к возмущениям, возникающим в резонаторе.

Таким образом, целесообразно использование неустойчивых резонаторов в лазерах с высоким коэффициентом усиления, особенно в инфракрасной области спектра.

43