1 «Ықтималдықтар теориясынан» қысқаша мәліметтер

1.1 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі-оқиға. Егер белгілі бір шарттар жиынтығы орындалғанда болатын немесе болмайтын оқиға кездейсоқ деп аталады. Оқиға сынақ нәтижесі деп қарастырылады.

Анықтама. Оқиға ықтималдығы деп осы оқиға орындалуына қолайлы элементар жағдайлар санының осы сынақтағы барлық толық топ құрайтын бірдей мүмкіндікті, тең мүмкіндікті үйлесімсіз жағдайлар санына қатынасын айтамыз:

мұндағы n-барлық сынақтардың жалпы саны, m - А оқиғасы орындалатын сынақтар саны.

Ақиқат оқиға ықтималдығы p=1. Анықтамаға сүйенсек, А – ақиқат оқиға болғандықтан m=n болады да

P(A)=1.

Жалған оқиғаның ықтималдығы p=0. Бұл жағдайда анықтамаға сүйенсек, m=0 болады да

Кездейсоқ оқиға ықтималдығы 0 мен 1- дің аралығында анықталады:

0<P(A)<1

Сонымен, кез келген оқиғаның орындалу ықтималдығы 0≤P(A)≤1 теңсіздігін қанағаттандырады.

А және В оқиғаларының қосындысы деп А оқиғасының орындалуын, немесе В оқиғасының орындалуын, немесе А және В оқиғаларының екеуініңде орындалуын айтамыз және былай белгілейміз А+В.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп А мен В оқиғалары бірлесе орындалатын А·В оқиғасын айтамыз.

Егер А оқиғасының орындалуы В оқиғасының да орындалуын қамтамасыз етсе, онда А оқиғасы В оқиғасының құрамында жатады деп айтамыз, және былай белгілейміз АÌВ.

Егер АÌВ болса, онда А·В=А және А+В=В екендігі жоғарыдағы анықтамалардан шығады.

А және В оқиғаларының айырмасы деп А оқиғасы орындалып, В оқиғасы орындалмайтын оқиғаны айтамыз және С=A\B немесе C=A-B деп белгілейміз.

Сынақ нәтижесінде орындалған А оқиғасы В оқиғасының да орындалуын қамтыса (яғни, АÌВ) немесе осы сынақта В оқиғасының орындалуы А оқиғасының да орындалуын қамтыса (яғни ВÌА), онда А және В оқиғалары балама (эквивалент) деп аталады және А=B деп белгіленеді. Өзара балама оқиғалар теңбе-тең немесе тең оқиғалар деп аталады.

Белгілі бір шарттар жиыны іске асырылғанда, міндетті түрде орындалатын оқиға ақиқат оқиға деп аталады

Белгілі бір шарттар жиыны іске асырылғанда, алдын ала орындалмайтыны белгілі оқиға жалған оқиға деп аталады

Ақиқат оқиғаны U деп , жалған оқиғаны V деп белгілейміз.

Егер бір сынақта бір оқиғаның орындалуы басқа оқиғалардың орындалуын жоққа шығарса, онда оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.

Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда А·В=V.

Қарама қарсы оқиғалар деп, толық топ құрайтын жалғыз мүмкіндікті екі оқиғаны айтамыз. Біреуі А оқиғасы деп, екіншісі деп белгіленеді.

Ендеше, осы анықтамаларға сүйене отырып, төмендегі теңдіктерге оңай көз жеткізуге болады:

А+А=А А·А=А А+=U A·=V

A+V=A A·V=V A+U=U A·U=A

Оқиғалардың қосындысы, көбейтіндісі және айырмасының анықтамаларын қолдана отрып,мына төмендегі теңдіктерге көз жеткізуге болады:

АÈА=А АÇА=А АÈВ=ВÈА

АÇВ=ВÇА АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС

А\В=АÇАÇ(ВÈС)=АÇВÈАÇС (АÈВ)Ç(АÈС)=АÈВÇС