Решение типового варианта индивидуального задания №2

1.Ряды

Задача №1. Найти сумму ряда.

Решение: Выведем формулу частичной суммы рядаS_n. Для этого разложим общий член рядана сумму простых дробей. Сначала представим квадратный трехчлен в виде произведения простых множителей:

Теперь общий член ряда представим в виде суммы простых дробей с неопределенными коэффициентами

.

Найдем числа АиВ, сравнив коэффициенты при одинаковых степенях n

Итак,

Выведем формулу частичной суммы ряда S_n:

По определению сумма ряда

Ответ: .

Задача №2. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Используем признак Даламбера,вычисляяу нас,. Получим

ряд сходится.

Задача №3. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Применим радикальный признак Коши, вычисляяу нас:ряд сходится.

Задача №4. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Применим интегральный признак Коши, исследуя на сходимость несобственный интегралпервогорода:

Следовательно, интеграл расходится, а значит, расходится и данный ряд.

Задача №5. Исследовать на сходимость ряд

Решение: К данному знакочередующемуся ряду применим признак Лейбница.

1) Докажем, что последовательность убывающая. Начнем с очевидного неравенства:если мы умножим правую часть неравенства на выражение, большее 1, то только его «усилим», т.е. очевидно, что

. Что и требовалось доказать.

2) Вычислим Для этого, используя правило Лопиталя,найдем предел функции.Таким образом, признак Лейбница выполнен, значит знакочередующийся ряд сходится. Уточним характер сходимости ряда. Ряд из абсолютных величин исходного можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом.

ряды ведут себяодинаково т.е. данный ряд как игармонический, расходится, следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Задача №6.Найти область сходимости ряда

Решение:Применим радикальный признак Коши при нахождение области сходимости ряда.

Исследуем ряд на границе области сходимости, т.е. при и при. Приполучим числовой рядприменим к данному ряду признак Даламбера, получим:

ряд сходится. Приполучим рядзнакочередующийся вида Применяя к нему признак Лейбница,найдем, получим:

ряд сходится.

Ответ:Область сходимости исходного ряда:

Задача №7. Найти область сходимости ряда

Решение: Применим признак Даламбера

При х = 2 горманический ряд сходится. (2n-1) – нечетно при любомnт.е. (-1)^2n-1= - 1.

Значит х = 2области сходимости. При х = 8 - знакочередующийся ряд, по признаку. Лейбница: 1)- убывающая последовательность. 2). Итак, рядсходится условно, т.к. ряд из абсолютных величин исходного является гармоническим, следовательно, расходящимся рядом; значит, х = 8области сходимости ряда.

Ответ: 2 < х ≤ 8.

Задача №8. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение: Применим признак Даламбера

.

Ответ: .

Задача №9. Вычислить с помощью рядов интеграл .

Решение: Применим формулу разложения функции в ряд

2. Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходитN; б) произведение числа очков не превосходитN; в) произведение числа очков делится наN.

Дано: N=6

Найти: P₁-? P₂-? P₃-?

Решение. Рассмотримвсе возможные варианты:

i:j	i:j	i:j	i:j	i:j	i:j
1:1	2:1	3:1	4:1	5:1	6:1
1:2	2:2	3:2	4:2	5:2	6:2
1:3	2:3	3:3	4:3	5:3	6:3
1:4	2:4	3:4	4:4	5:4	6:4
1:5	2:5	3:5	4:5	5:5	6:5
1:6	2:6	3:6	4:6	5:6	6:6

Используем классическую формулу, гдеn=36

а) i+j≤N. В первом столбце сумма числа очков во всех строках меньше 6, следовательно,m₁=5, во втором столбце такжеm₂=4, в третьем –m₃=3, в четвертомm₄=2, в пятом –m₅=1, в шестом –m₆=0. В итоге, суммируя, получаемm=15;Тогда

б) i∙j≤N. Поступая аналогично предыдущему случаю, подсчитываем произведение числа очков по столбцам, удовлетворяющих заданному условию. В итоге, получаемm=14;

в) i∙jN. Подсчитав число случаев, удовлетворяющих данному условию, получаемm=5;

Ответ: P₁=0,42; P₂=0,39; P₃=0,42.

Задача 2.Имеются изделия 4 –х сортов, причем число изделийi– го сорта равноn_i,i – 1,2,3,4. Для контроля наудачу берутсяmизделий. Определить вероятность того, что среди нихm₁ первосортных,m₂, m₃ и m₄,второго, третьего и четвертого сорта соответственно..

Дано: n₁=3, n₂=2, n₃=3, n₄=1, m₁=2, m₂=2, m₃=2, m₄=0.

Найти: P-?

Решение.ОбозначимА– все множество изделий, подвергающихся контролю,В– множество изделий, взятых на контроль изА.Подсчитаем число способов, которыми можно выбрать множествоВизА:

.

Число способов, с помощью которых выбирают m₁ изn₁,m₂ изn₂и т.д., равно, т.е.

Используя классическую формулу, получаем .

Ответ: 0,11.

Задача 3. Средиnлотерейных билетовk– выигрышных. Наудачу взялиmбилетов. Определить вероятность того, что среди нихlвыигрышных.

Дано: n=9, l=3, m=5, k=4.

Найти: P-?

Решение. По классический формуле, получаем

,

где - число способов, с помощью которых изnлотерейных билетов взялиm билетов,- число способов, с помощью которых изmвзятых билетов взялиlвыигрышных.

Ответ:0,3.

Задача 4.В круге радиусанаудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух не пересекающихся фигур, площади которых равныи.

Дано: ,,.

Найти:

Рисунок 10– Геометрическая интерпретация задачи

Решение. По формуле геометрической вероятности (рис.10) имеем

.

Отсюда получим

.

Ответ:.

Задача 5.В двух партияхи% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

1. - хотя бы одно бракованное;

2. - два бракованных;

3. - одно доброкачественное и одно бракованное?

Дано: ,.

Найти:

Решение. Введем обозначения:

пусть событие - выбор доброкачественного изделия из первой партии, событие-выбор доброкачественного изделия из второй партии,

событие - выбор бракованного изделия из первой партии,

событие - выбор бракованного изделия из второй партии.

Тогда

,,,.

1. Искомое событие В - хотя бы одно бракованное, равно

,

где все события несовместные.

Вероятность выбора хотя бы одного бракованного изделия

или

2. Искомое событие - два бракованных, тогда , где - независимые события. Вероятность выбора двух бракованных изделий равна

или.

3. Искомое событие - одно доброкачественное и одно бракованное:

.

Вероятность выбора одно доброкачественное и одно бракованное изделий

или

.

Ответ:,,.

Задача 6.Вероятность того, что цель будет поражена при одном выстреле первым стрелком равна , вторым -. Первый сделал(событиеА), второйвыстрелов (событиеВ). Определить вероятность того, что цель не поражена.

Дано: ,,,.

Найти

Решение. Определим вероятность промаха для первого и второго стрелков при одном выстреле, соответственно, по формуле.

.

.

Для вычисления искомой вероятности используем формулу умножения вероятностей для независимых событий .

Вероятность промаха для первого стрелка при выстрелах равна, для второго -.

.

Ответ:.

Задача 7.Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равнаp. Купленоnбилетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность. (См. п. 1.6 и исходные данные).

Дано:

Найти:

Решение. Из теории известно, что , если целое число, тоk₀ имеет два значения, если дробное (целой части).

В нашем случае наивероятнейшее число успехов

.

Искомую вероятность подсчитаем по формуле Бернулли:

.

= .

Ответ: .