Landsberg-1985-T3

в а	от п о л ю с а	(рис. 206, а); в случае	вы п у к л о г о
зеркала фOl{ус расположен на расстоянии			R/2	с п Р а в а
от	полюса, т. е.	является м н и м ы м	(рис.	206, б).
	Пользуясь тем, что источник и его изображение нахо­

дятся в сопряженных между собой точках, мы можем сразу сделать вывод, что если точечный ИСТОЧНIJК света находится

в фокусе зеркала, то его изображение находится в бесконеч­

ности, т. е. из зеркала выходит параллельный пучок лучей.

Это условие служит основой для		получения при			помощи
вогнутых зеркал	пар а л л е л ь н ы х			с в е т о в ы Х
	п у ч к о в,		точнее,		ПУЧКОВ,
	а) б л и з к 11		Х К	пар а л л е л ь-
-*~--<J'-~.(>---Io:,-p--- Н Ы М.		О	применении			этого
-з	УСЛОВИЯ	к	УСТРОЙСТВУ		прожек-
	ТОРОВ мы		уже	говорили		в гл.

$';з~-о)

- *с r --Р

VIII *).

ЗаYlетим, что при рассмотре­

нии СВОЙСТВ сферического зерка­

ла, как и в случае линзы, мы

предполагали, Ео-первых, ЧТО ис-

~	~			}
		-:;i/	___8_
JЗ'		с' S F	"Р
			,

г)

Рис, 207, Образование изоб­

ражения в вогнутом сфери­

ческом зеркале при различ­ ных положениях точечного

источника на оси зеркала:

а) источник между центром

и бесконечностью; 6) в цент­ ре; в) между центром и фо­ кусом; г) между фокусом и

зеркалом

пользуется	о ч е н ь У з к и Й
п У ч о к лучей, прилегающих к
ОСII зеркала, Н, ВО-ВТОРЫХ, что
применяется	т о ч е ч н ы й НС-

точник света. Оба эти требова­

ния, конечно, вполне строго вы­

полнены быть не могут. Вопрос

отом, насколько существенны

отступления от этих требований,

в каждой конкретной задаче дол­

жен решаться особо.

§ 93. Связь между положения­ ми источника и его изображе­ ния на главной оси сфериче­

ского зеркала. Проследим, как

будет меняться положение изоб­

ражения при приближении источника света из бесконечности к вогнутому зеркалу

(рис. 207, а - г). ИЗ ФОРМУЛЫ (92.2) видно, что если

*) в гл, Vll1 в качестве зеркала прожектора рассматрнвалось не сферическое зеркало, а параболоидное, которое дает пучок лучей, БJIИЗ­

кий к параллельному даже при знзчител,ЬНЫХ размерах отверстия зерка­

ла, тогда как сферическое зерка,10 удовлетворяет этому условию лишь

при малых отверстиях (малых злачениях /1).

254

источник проделает путь нз бесконечности до центра зер­ кала, то его изображение переместится из фокуса в центр

зеркала. В итоге положения источника и изображения сов­

падут (рис. 207, б).

При перемещеНJ1И источника света от центра к фокусу

его изображение удаляется от центра зеркала (рис. 207, в). При ПО:\1ещеюш источника света в фокус его изображение уходит в бесконечность, т. е., как мы уже знаем, точечный

источник в фокусе зеркала дает пучок параллельных лучей.

Если, наконец, источник светанаходится между фоку­

сом зеркала и его полюсо:v!, то отраженные лучи не будут

иметь общей вершины с вогнутой стороны зеркала и нигде

не пересекут главной оси зеркала (рис. 207, г). Только их про Д о л ж е н и я заз е р к а л о м (показанные на

рисунке штриховыми линиями) будут иметь общую верши­

ну (5'). Это значит, что изображение в данном случае будет

м н и м ы м. Для отыска-

ния его положения доста­

	точно продолжить за зер­
	кало направление				л ю б 0-
	г о отраженного луча; мес­
	то его пересечения				с глав-	*=-----"*--~--"'~f'~
	ной осью		даст	положение		8	'" F	.,
							"
	изображения.
	Рассмотрим			изображе­
	ния,	даваемые		вы п у к­		Рис. 208. Построение мнимОГО		изоб­
	л ы м	сферическим			зерка­
						. ражения в выпуклом сферическом
	лом. Мы уже видели, что						зеркале
	выпуклое		зеркало		имеет
	мнимый фокус на расстоянии R/2						от полюса. Построение

изображения для точки, расположенной на конечном

расстоянии от зеркала,	выполнено на рис. 208. Мы ви­
дим, что в ы п у к л о е	зеркало всегда дает м н и м о е
изображение.

§ 94. Способы изготовления линз и зеркал. Основным материалом, при­ меняеМЫllI для изготовления линз, призм И других оптических деталей, С,1УЖИТ оптическое стекло. CTeK.~o прозрачно и может быть очень одно­ родным. Весьма важно, что стекло обладает стойкостью по отношеиию и к механическим и к химическим воздействиям. Поэтому детали из стекла могут быть обработаны с большой степенью точности, и придан­ ная им в результате обработки форма остается впоследствии неиз­ менной.

Оптические свойства стекла (в первую очередь показатель прелом­

ления) можно изменять в довольно широких пределах путем надлежа­ щего измеиения его состава. Основной составной частью стекол является

кремнезем Si02 _ К нему добавляются окислы других элементов: натрия,

255

калия, кальция, бария, алюминия, бора, свинца п т. п. В заzJИСИМО­

сти от рода примесей и их КОЛlIчества меняются ОПТIlческнс СВОЙСТП;J

стекла.

Оптическое стекло, предназначенное для ИЗГОТОВ.1NlIfЯ TOII IIЛИ иноii

оптической детали, вначале распиливается и грубо об.1ирается под над­

лежащий размер. Затем производится шлифовка и полировка детали.

Обработка оптических деталей должна, как праВJI.10, ПрОИЗВОДИТЬСЯ с

весьма большой точностью (отклонение от заданной КрlШНЗIIЫ поверх­

ности не должно превышать 0,00002 мм). Требования к l1JЧНОСТИ здесь

примерно в 500 раз бо.lьше, че~1 при обы'IНОЙ обработке мсханичеСI(]fХ деталей, ПРОИЗВОДЮЮЙ с механическими из~!сритслями. Поэтому дЛЯ КОНТРО.1Я I(з'!ествэ обрабОТКИ обычно при~!еняются специа:zнlЫС опти­

ческие методы, основанные на ЯВ.lенив интерференции.

у зеркал, првыеНЯб!ЫХ в быту, отражающий с.10Й нанесен с обрат­ ной стороны стеклянной П.1аСТИНКИ и может быть виден только ч е рез

с т е к .1 О. Этот слой наносится х и м и ч с е к и, путем осаждснип С.10П

мета.1.1ического серебра из раствора Ag\!O;J с ;:tоба":lCfШС\! к JleMY опре­

де.lен!!ых веществ. Такой с.l0Й, защищенный оБЫ'I]]О с задней стороны

лако~!, а зате~1 картоном И.1И деревом, а с псрсдней - CTeK.l0\I, весьма

прочен.

Однако для зеркал, применяе:VIЫХ в I!аучных исслсдова­

ниях, этот способ не пригоден, ибо ПО.1УЧСНIIOС таким об­

раза,,! зеркало дает добавочное слабое (около 5 %) отраже­

ние от наружной поверхности стекла, а лучи, отраженные

от металлического С.l0Я, ДО.1ЖНЫ пройти слой СТСI{ла, что

несколько меняет их направление и СII.1ЫЮ усложняет рас­

чет зеркал. Поэтому в оптических зеркалах хорошо отра­

жающий слой металла наносится па тщате.1ЫIO отшлифО­

ванную и отполированную ПОПСРЮIOсть стек.13 с н а р у ж и.

Обычно применяют слой серебра или алюминия, нанесен­

ный путем испарения в вакууме или путем катодного рас­

пыления. Свежий слой этих металлов дает КОЭффИlщент от­

ражения до 90 % и более. С тсчснисм вре~IСIIИ отражающая

способность зеркал с «наружным» ГЮКрЫТlIС"1 ухудшастся. В последнее вре]l,\Я стали получать очень стойкис зеркала с весьма высокш! коэффИЦИСНТОМ отражсння, до 95 ?;(I И бо­

лее, покрывая стекло несколькими СЛОЯ\НI различных (не металлических!) материалоп строго раССЧIпанной толщины.

Высокие отражающие свойстпа таких I\ШОГОСЛОЙIIЫХ по­

крытнй основаны на явлениях I!нтерфереIJЦИИ света.

§ 95. Изображение протяженных объектов в сфеРИ<lеском зеркале и Jilшзе. До СJlХ пор мы IIредrIO.lзгаЛIf, что источник

света представляет собой спетmЦУЮС5J точку, !IаХОД51IЦУЮСЯ

на главной оптической оси зеркала IIЛI! линзы. Расс~!Отрим теперь изображение в сферическом зеркале или линзе не­ больших предметов, расположеН!IЫХ вБЛIIЗИ их главной оси. Выражение «небольшой предмет» будет означать, что

256

данный предмет виден из центра зеркала или линзы под

м а л ы м у г л о м. Так как отдельные точки протяженного предмета лежат в н е главной оптической оси, то постав­ ленная задача сводится к построению изображения таких «внеосевых» точек. Задача эта решается без труда. Разбе­

рем ее для случая сферичес­

	кого зеркала.
	Пусть точечный	источник
	света находится в точке SI на		-р
	некотором расстоянии от глав­
	ной оси зеркала (рис. 209).
	Проведем через него побочную		Рис. 209. Построение изображе­
	оптическую ось. По отноше­
			ния протяженного объекта в сфе­
	нию к отражению в сферичес­		рическом зеркале
	ком зеркале точка	Si вполне

равноправна с точкой S, лежащей на главной оси зеркала

на том же расстоянии от его центра С. Таким образом, если

мы выделим узкий пучок лучей вблизи оси SIC, то, поль­

зуясь результатами § 91, можем утверждать, что он после

отражения соберется снова в одной точке S~ - изображе­ нии точки Si. Легко видеть, что л ю б а я точка дуги SISSZ

с центром в точке С изобразится точкой, лежащей на дуге S~S'S~ с центром также в С. Другими словами, дуга S~S'S~ является изображением дуги SISS2'

Мы будем предполагать, что все точки дуги SISS 2 нахо­ дятся на небольшом расстоянии от главной оси. Тогда

п р а к т и ч е с к и можно заменить дуги SiSS 2 И S~S'S;

прямолинейными отрезками, перпендикулярными к глав­

ной оси.

Итак, мы доказали, что небольшой отрезок, nерnендику­ лярный к главной оси, изобразится после отражения в сфе­ рическом зеркале также отрезком, nерnендикулярным к глав­ ной оси. Этот вывод имеет силу только при условии Д о­ с т а т о ч н о й м а л о с т и у г л а, под которым объект

виден из центра зеркала; в противном случае заменить дугу

прямолинейным отрезком нельзя. Практически нарушение

этого условия приводит К тому, что изображение становится

нечетким, расплывчатым по краям.

Совершенно аналогично решается задача и для тонкой линзы. И в этом случае хорошее, четкое изображение про­

тяженных объектов получается только при условии, что

эти объекты (их крайние точки) видны из оптического цен­

тра линзы под м а л ы м у г л о м к главной оси. При

несоблюдении этого условия изображение получается более

или менее расплывчатым и искаженным.

9 Элементарный учебник физики, т. 111

ш

§ 96. УвеJlичеиие при изображении объектов в сферическом зеркале и линзе. Теперь надо рассмотреть еще вопрос

о	раз :v1 е р а х	и з о 6 Р а ж е н и я,	получающегося
в	зеркале и линзе.	Выполненные на рис.	210 построения

сразу указывают на то, что, в отличие от случая плоского

зеркала, размер изображения, даваемого сферическим зер­ калом, будет меняться в зависимости от положения объекта по отношению к фокусу зеркала. Так, например, если объект

S2~~------------

~~r-

J<

ёJ)

(J

ву

Рис. 210. Изображенrн! про­

тяженных объектов в вогну­

том сферическом зеркале. Объект расположен: а) за центром зеркала (изображе­ ние действительное, обратное

и уменьшенное); б) между

центром и фокусом (изобра­

жение д6\ствительное, обрат­

ное и увеличенное); в) ближе

фокуса (изображение мнимое.

прямое и уве.'Iиченное)

находится много дальше фокуса вогнутого зеркала, то его

изображение получается уменьшенным. Если объект нахо­

дится между зеркалом и фокусом, то изображение полу­

чается мнимым и увеличенным_

Отношение линейных размеров изображения s;s; = =у' к линейныы размера:\{ предмета SJS2=Y называется

лuнеЙНЫkt, Или поперечным, увелuчен.uеЛ1:

A_!L_S~S~

1"- у - S1S2'

ИЗ .подобия треугольников Sl PS2 и S~PS~ (рис. 210, а) на­

ходим

у' а'

~=-=-.

у а

Легко убедиться. что равенство (96.1)

(96.1 )

справедливо и в дру­

гих случаях получения изображения прп помощи сфериче­ ских зеркал (рис. 210,6 и в~.

~

Изображения, получаемые с помощью линзы, могут быть также увеличенными и уменьшенными. Из подобия

треугольников 51052 и 5~05~ (рис. 211) находим для

Ч~

Рис. 211. Линейное увеличение линзы ~=S~S~/SiS2=a'ia

увеличения линзы точно такое же выражение, какое мы

получили для сферического зеркала:

у' а'

~=-=-. (96.2)

уа

Наряду с линейным увеличением мы будем рассматри­

!Зать также угловое увеличение линзы (или сферического зер­

кала). Угловым увеличением у называется отношение тан­

генсов углов а' И а, составляемых лучом, выходящим из

Рис. 212. Угловое увеличение линзы '\'= tg а'/tg а=а/а'

линзы, и лучом,	падающим на линзу, с оптической		осью,
т. е.
		tg а'	(96.3)
		у = tg а •
Из рис. 212	видно,	что
	h = а tg а = а' tg а';
отсюда		tg, а'ftg а = а/а'.
	у =
Сравнивая это соотношение с (96.1), находим
		1	(96.4)
		y='jr,

т. е. угловое увеличшше есть величина, обратная линейному

увеличению. из этого следует, что чем больше линейное

259

увеличение, т. е. размеры изображения, тем меньшеугло­

вое увеличение, т. е. тем менее широки пучки световых

лучей, образующих изображение. Это обстоятельство имеет

важное значение для понимания вопроса о яркости изоб­ ражения (C~1. гл. XI).

§ 97. Построение изображений в сферическом зеркале и

линзе. При п о с т р о е н и и и з о б Р а ж е н и- я любой

точки источника нет надобности рассматривать 111 н о r о лучей. Для этого доста­

			точно	построить Д в а
			луча; точка их пересече­
			ния определит местопо­
			ложение		изображения.
	-,S:..!.1-6-__~~4r--=~;o:-_-.::::::*~P		Удобнее всего построить
			те лучи, ход которых
			легко	проследить.		Ход
			этих	лучей в случае		от­
			ражения от зерка.1а изоб­
			ражен на рис. 213.
	Рис. 213. Раз.1ичные приемы построе­		Луч 1 проходит через
			центр зеркала и поэтому
	ния изображения	в вогнутом сфери­
	ческом	зеркале	нормален к поверхности
			зеркала.		Этот луч	воз­

вращается после отражения точно назад вдоль побочной или г.1авноЙ оптической оси.

Луч 2 параллелен Г.iIавноЙ оптической оси зеркала. Этот луч после отражения проходит через фокус зеркала.

Луч 3, который от точки объекта проходит через фокус зеркала. После отражения от зеркала он идет параллельно

с

Рис. 214. Построение изображе­ ния в ВЫПУК.10М сферическом

зерка,1е

главной оптической оси.

Луч 4, падающий на зер­

кало в его полюсе, отразится

назад симметрично по отноше­

нию к главной оптической оси.

Для построения изображе­

ния можно воспользоваться

любой парой этих лучей.

Построив изображения до­

статочного числа точек протя­

женного объекта, можно сос-

тавить представление о поло­

жении изображения всего объекта. В случае простой формы

объекта, указанной на рис. 213 (отрезок прямой, перпенди­

кулярный к главной оси), достаточно построить псего одну

260

точку изображения S~. Несколько более сложные случаи

рассмотрены в упражнениях.

На рис. 210 были даны геометрические построения изоб­ ражений для разных положений объекта перед зеркалом. Рпс. 210, в - объект помещен между зеркалом и фокусом­ иллюстрирует построение мнимого изображения при помо­

щи продолжения лучей за зеркало.

На рис. 214 дан пример построения изображения в вы­

пу]{лом зеркале. Как бьmо указано ранее, в этом с.'Iучае получаются всегда мнимые изображения.

~-r--	::'--	=:~ISz
		I
		I
l1	а'	I
		.. 1

Рис. 215. Различные приемы построения изображения в линзе

Для построения изображения в линзе любой точки объекта, так же как и при построении изображения в зер­ кале, достаточно найти точку пересечения каких-либо д в у х лучей, исходящих из этой точки. Наиболее простое

построение выполняется

при помощи лучей, ука­

занных на рис. 215.

Луч 1 идет вдоль по­

бочной оптической оси б е з и з м е н е н и я н а­

пр а в л е н и я.

Луч 2 падает на лин­ зу параллельно главной

оптической оси; прелом­

ляясь, этот луч прохо­

дит через задний фо­

кус Р'.

Рис. 216. Построение изображения в

случае, когда предмет эна чительно

больше линзы

Луч 3 проходит че­ рез передний фокус Р; преломляясь, этот луч идет парал­

лельно главной оптической оси.

Построение этих лучей выполняется без всяких затруд­

нений. Всякий другой луч, идущий из точки S 2, построить

было бы значительно труднее - пришлось бы непосредст­

венно использовать закон преломления. Но в этом и нет

необходимости, так как после выполнения построения лю­

бой преломленный луч пройдет через точку S;.

261

Следует отметить, что при решении задачи о построении

изображения внеосевых точек вовсе не необходимо, чтобы

выбранные простейшие пары лучей Д е й с т в и т е л ь н О про х о Д и л и через линзу (или зеркало). Во многих

случаях, наПРIО.1ер при фотографировании, предмет значи­

тельно больше mшзы, и лучи 2 и 3 (рис. 216) не проходят через линзу. Тем не менее эти лучи могут быть использо­ ваны для п о с т р о е н и я изображения. Р е а л ь н ы е л у ч и, участвующие в образовании изображения, огра­ ничены оправой линзы (заштрихованные конусы), но с х о­ Д я т с я, конечно, в той же точке S~, поскольку доказано, что при преломленни в линзе изображением точечного

источника является снова точка.

Рассмотрим несколько типичных случаев изображения

влинзе. Линзу будем считать с о б и раю щей.

1.ПредJ.tет находится от ЛUН3blна расстояниu, болыuеАt

двойного фокусного расстояния. Таково обычно положение

предмета при фотографировании.

	а
.r:2.~=	------A..
I
I
I
I	2:""
I
1"

Рис. 217. Построение изображения в линзе в случае, когда предмет на­ ходится за двойным фокусным расстоянием

Построение изображения дано на рис. 217. Поскольку

a>2f, то по формуле		линзы	(89.6)
1	1	1	1	а' < 2f,
(7=, - (; >			2f'

т. е. изображение лежит между задним ФОКУСОМ и точкой, находящейся на двойном ФОКУСНОМ расстоянии от оптиче­ ского центра линзы. Изображение - перевернутое (обрат­

ное) и уменьшенное, так как по· формуле увеличения

а'

~=a < 1.

2. Отметим важный частный случай, когда на линзу

падает пучок лучей, параллеЛЬНblХ какой-либо побочной оптической оси. Подобный случай имеет место, например,

при фотографировании очень удаленных протяженных пред­

метов. Построение изображения дано на рис. 218.

262

В этом случае изобраJl{ение лежит на соответствующей nобочноCi оптической оси, в месте ее пересечения с задней

фокальной nЛОCl(Остью (так называется плоскость, перпен­

дикулярная к главной оси и проходящая через задний фо­

кус линзы).

Рис. 218. Построение изображения в случае, когда на линзу падает пучок лучей, параллельных побочной оптической оси

Точки фокальной плоскости нередко называют фокусами

соответствующих побочных осей, оставляя название					г л а в­
н ы й Ф о к у с		за точкой	Р',	соответствующей	г л а в-
н о й	оси.
Расстояние Ь'		фокуса S~	от	главной оптической оси

линзы и угол ер' между рассматриваемой побочной осью и

главной	осью	связаны,	очевидно,			формулой	(рис. 218)
		tg ер		,	Ь'		(97. 1)
				= т .
З. Предмет лежит между точкой на двойном фокусном
расстоянии и		передним	фокусом -			обычное	положение
пр.едмета	при	проецировании			проекционным		фонарем.

Для исследования этого случая достаточно воспользоваться свойством .0 б р а т и м о с т и изображения в линзе. Бу­

дем считать S~S~ источником (см. рис. 217), тогда SiS2 будет

являться изображ€нием. Легко виД€Ть, что В рассматри­

ваемом случае иоображенuе - обратное, увеличенное и ле­

жит от линзы на расстоянии, большем двойного фокусного

расстояния.
Полезно отметить	частный случай, когда			п р е Д м е т
н а х о Д и т с я о т		л и н з ы н а р а с с т о я н и и,
равном двойному			фокусному	paCCT~
я н ию, т. е. a=2f. Тогда по формуле линзы
1	1	1	1
7=7-2[=21; a'=2f,

т. е. изображение лежит от линзы также на двойном фо­

KYC1iOM расстоянии. Изображение в этом случае nереверну-

263