Landsberg-1985-T3

20.Чему равен угол падеН!IЯ луча, если луч падающий 11 луч от­

раженный образуют угол 900 ?

21.Чему равен УГо.'! падения .'lуча, если луч оrраженный илу'!

преломленный образуют угол 900 ? Показатель преломлеНIIЯ вто­

рой среды относительно первой равен n.

22. Докажите обратимость направления световых лучей для слу­

чая отражения света.

23.Можно ли придумать такую систему зеркал и призм (ЛИНЗ)

через которую один наблюдатель видел бы второго наблюдателя, а второй наблюдатель не видел бы первого?

24.Показатель преломления стекла относительно воды равен 1,182; показатель преломления глицерина относительно воды ра­

вен 1,105. Найдите показатель преJ1Омления cTeK.'la относительно

глицерина.

25.Найдите предельный угол ПОЮ1Ого внутреннего отражения для

алмаза на границе с БодоIl.

26.Найдите смещение луча при прохождении его через П.10СКО­

параллельную пластинку из стс!(ла с показателем преломления,

равным 1,55, если угол падения равен 450, а толщина пластинки

равна 1 см.

27. Пользуясь законами преломления и отражения, объясните ЯБления, показанные на рис. 191.

Г л а в а Х. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРАЖЕНИЯ

И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА.

ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИй

§ 87. ИСТОЧНИК света и его изображение. В гл. ТХ был

сде.1а!! общий обзор законов распространения света. Теперь

мы переходим к дeTa,1ЬHO~!Y расС\!Отрению отдельных зако­

нов и их приложений, которые И:VIеют большое практическое

значение. В этой главе ;YIbI расс~!Отрим преломление свето­ вых .1учеЙ в линзе и отражение лучей от зеркал различных

типов.

Из повседневной жизни мы знаем, что, рассматривая какой-либо объект, являющийся источником света, мы мо­

жем составить представление о местоположении этого объ­ екта. Для решения подобных задач достаточно проследить путь ДВУХ каких-либо лучей, исходящих из данного эле~

мента светящегося объекта: точка ИХ пересечения определит

положение точечного источника света или, если источнИI(

света протяженный, того или иного небольшого элемента источнию). Другие лучи можно и не рассматривать, так

как все они, исходя из .0дноЙ ТОЧКИ источника, не дадут

ничего IIОНОГО дЛЯ отыскания положения этой точки.

Умение правильно определять местоположение светя­

щихся объектов приобретается человеком постепенно, в ре­ зультате его жизненного опыта. Маленький ребенок, на­ ПрИ~Iер, стремится «схватиты> звезду или Солнце и тянется к ним рукой. Только по мере накопления опыта человек

п!швыкает правильно оценивать расстояние до объектов,

испускающих свет.

130 всеХ тех случаях, когда некоторая точка S' является

точкой пересечения и последующего расхождения световых

лучей, глаз (а также любой другой приемник, способный реагировать на воздействие света) будет восприни:v!3ть эти

лучи так, как если бы в точке S' действительно находился

ИСТОЧНИК света. Подобные точки, в которых тем или иным спосоБО~l собираются световые лучи, исходящие из реального

2З.s

источника света, называются изображениями этого источ­ ника (рис. 192). Положение изображения можно найти, построив ход каких-либо двух проходящих через него лучей.

И з о б Р а ж е н и я точечных источников существенно

отличаются от Д е й с т в и т е л ь н ы х точечных источ­

ников, рассмотренных в гл. VIII, тем, что из них лучи рас­

ходятся в о г р а н и ч е н н о м т е л е с н о м у г л е,

тогда как из' реального точечного источника - равномерно

во в с е с т о р о н bl (ер. на рис. 192 точки S и S'). ПО­

этому изображение, в отличие от точечного источника, мож­

но видеть не из любого положения. В данной главе это

Рис. 192. Реальный точечный источник S можно видеть из любого по­ ложения. Его изображение S' можно видеть только внутри ограничен­ ного телесного угла Q (положение 1). В положении 2 изображение

невидимо

различие имеет второстепенное значение, но при решении

вопроса об освещенности и яркости изображения (гл. Х I)

это различие существенно.

Получение изображений светящихея точек, а также про­ тяженных предметов является центральной задачей всей

геометрической оптики. Применяя законы отражения и

преломления, мы будем в первую очередь интересоваться вопросом образования изображений.

§ 88. Преломление в линзе. Фокусы линзы. В гл. IX был

сфОРl\lулирован закон прело~!Ления света, устанавливаю­

щий, как меняется направление светового луча при пере­

ходе света из одной среды в другую. Был рассмотрен про­

стейший случай преломления		света на п л о с к о й гра­
нице раздела двух	сред.
В практичеСIНlХ ПРЮIенениях очень большое			значение
имеет преломлеНIIе	света на	с Ф е р и ч е с к о й	граНИUt;

раздела. ОСНОВlIая деталь оптических приБОРОБ - линза -

представляет собой обычно стеклянное тело, ограниченное

с двух сторон сферическими поверхностями; в частном слу­

чае одна из поверхностей линзы может быть плоскостью,

которую можно рассматривать как сферическую поверх­

ность бесконечно большого радиуса.

236

Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, но, вообще говоря, из любого прозрачного вещества. В некото­ рых приборах, например, применяются линзы из кварца, J<аменной соли и др. Заметим, что и поверхности линз могут быть также более сложной формы, например цилиндриче­ ские, параболические и т. д. Однако такие линзы приме­

ияются сравнительно редко. В дальнейшем мы ограНИЧИlllСН

рассмотрением линз со сферическими поверхностями.

р

Cz.

'}

Рис. 193. Тонкая линза: О - оптический центр, Ci и С2-цеитры огра­

ничивающих линзу сферических поверхностей

Итак, рассмотрим линзу, ограниченную двумя сфериче­

скими преломляющими поверхностями РОЛ и P0 2Q

(рис. 193). Центр первой преломляющей поверхности P01Q лежит в точке C1 , центр второй поверхности P0 2 Q - в точ­ ке C~. IIa рис. 193 для ясности изображена линза, имеющая

заметную толщину 0102' В действительности мы будем обычно предполагать, что рассматриваемые линзы очень

тонки, т. е. расстояние 0102 очень мало по сравнению

с 01C1 ИЛИ 02С2' В таком случае точки 01 и 02 можно счи­

тать практически сливающИIIШСЯ в одной точке О. Эта точка

О называется оптическим центром линзы.

Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей

линзы, называется главной оптической осью, остальные­

побочными ОСЯ.Иll.

Луч, идущий по какой-либо из оптических осей, проходя

через линзу, практически не меняет своего направления.

Действительно, для лучей, идущих вдоль оптической оси,

участки обеих поверхностей линзы можно считать парал­

лельными, а толщину линзы мы считаем весьма малой. При

прохождении же через плоскопараллельную пластинку, как

мы знаем, световой луч претерпевает параллельное смеще­

ние, но смещением луча в очень тонкой пластинке можно

пренебречь (см. упражнение 26 после гл. IX).

237

Если на ЛIIНЗV падает световой луч не ВДОЛЬ одной из

ее ОПТJlчеСКI!Х ocefr, а по какоыу-либо другому направлению,

то он, испытав преломлеНllе сначала на первой ограничи­

вающей линзу поверхности, потом на второй, отклонится

от первоначалыюго направления.

Прикроем JJIJНЗУ черной бумагой 1 с вырезом, оставляю­ ЩИЫ открытым неБО,lЬШОЙ участок 01'Д10 главноti оптиче­ ской оси (рис. 194). Размеры выреза мы предполагае! малы­

ми по сравнению с 01С1 l! 02С2. ПУСТ!!:>'I на линзу 2 вдоль

главной оптической ос!! ее слева направо параллельный лучок света. Лучи, IIдущие сквозь открытую часть линзы,

Рис. 194. Главный фOJ(ус .1]lНЗЫ

пре.'ю\!ятся и пройдут через некоторую точку F', ,1ежащуlО lIа Г,1авной оптической оси, справа от ,1ИНЗЫ на расстоянии t' от оптического центра О. Если в точке F' распо,lОЖИТЬ

беЛЬ]J'\ экран 3, то место пересечения лучей изобразится

в виде ЯрКОГО пятнышка. Эта точка F' на главной оптиче­

ской осв, где пересекаются после преломления в линзе лучи, параллельные главной оптической оси, называется

главным ФОКУСQ,н, а расстояние t' =ОР' - ФОКУСНblАt рас­

стоянием ЛIlНЗЫ.

НеТРУДI!О ПОI{азать, пользуясь законами преломления, что все лучи, параллельные главной оптической OCII и про­ ходящие через н е б о л ь ш у ю центральную часть линзы, после преломлеНI!Я деifствительно пересекутся в одной точ­

ке, названной выше главным фокусом.

Рассмотрим луч РМ, падающий на линзу параллельно ее главной ОПТI!чсскоif ОСИ. Пусть этот луч встречает первую

прелоыляlOЩУЮ поверхность линзы в точке Л1 на высоте h

над осью, причем /L гораздо меньше, чем С2О и С1О (рис. 195). ПреЛОМJIенный луч пойдет по направлению МiИ"

и, преЛОl\lИВШИСЬ снова па ВТОРОЙ ограничивающей линзу

поверхности, выйдет из линзы по направлению Л1'F'.

составляющему с осью угол ер. Точку пересечения этого луча

238

с осью обозначим через F', а расстояние от этой точки д.о

оптичеСIШГО центра линзы - через f'.

Проведем через ТОЧКII М II .M~ плоскости, к а с а т е ль­

н ъl е к преломляющим поверхностям ЛlIНЗЫ. Эти касатель­

ные плоскости (перпендикулярные к плоскости чертежа) пересекутся под некоторым углом е, причем угол е весьма

мал, так как рассматриваемая нами линза - тонкая. Вместо

преломлеНIIЯ луча РММ'Р! в линзе мы, очевидно, можем

Рис. 195. Преломление в линзе луча РМ, параллельного главной оп­ тической оси. (Толщина линзы и высота h изображены преувеличен­ ными по сравнению с расстояниями R1 • Rэ и f'; в соответствии с этим и

углы 1'1 1'2 И е на рисунке чрезмерно велики.)

рассматривать преломление того же луча в тонкой призме

ВАВ', образованной проведенными нами в точках М и M~

касательными плоскостями.

Мы видели в § 86, что при преломлении в тонкой призме

с преломляющим углом 8 луч отклоняется от первоначаль­

нога направления на угол, равный
Gt=(n-l)8,	(88.1)

где n есть показатель преломления вещества, ИЗ которого

сделана призма. Очевидно, угол Gt равен углу q> (рис. 195),

т. е.
<р= Gt = (n-l) 8.	(88.2)
Пусть Ci И С2 - центры сферических	преломляющих по­

верхностей линзы, а Rl и R э - соответственно радиусы этих поверхностей. Радиус C1M перпендикулярен к касательной плоскости АВ, а радиус С2М1 - к касательной плоскости

239

АВ'. По известной теореме геометрии угол между этими

перпендикулярами, КОТОРЫЙ мы обозначим -ф, равен углу е

между плоскостями:

(88.3)

с другой стороны, уголiф, как внешний угол в треугольнике

C1NC 2 , равен cYi\IMe углов '\'1 и '\'2, образуемых радиусами

R1 и R2 С осью:

	(88.4)
Таким образом, с помощью формул (88.2)-{88.4)	находим
ep=(n-I)('\'1+'\'2)'	(88.5)

Мы предположили, что /l м а л а по сравнению с радиу­

сами сферических поверхностей Rl и R2 И С расстоянием f'

точки р' от оптического центра линзы. Поэтому углы '\'1,

1'2 И ер также малы, и мы можем заменить синусы этих углов

самими углами. далее, благодаря тому, что линза тонкая,

мы можем пренебречь ее толщиной, считая C10=Rl; СД= =R 2, а также пренебречь разницей в высоте точек М и М'. считая, что они расположены на одной и той же высоте h

над осью. Таким обраЗО",I, мы можем при б л и ж е н н о

считать, что
1'1 ~ sin 1'1 = ~!l	' '\'2;::::; sin '\'2 = ;2' ер ~sin ер=				~!,	. (88.6)
Подставляя ЭТН	равенства в	формулу (88.5),			найдем
	;: =(n-l)(	:1	+ :2)'			(88.7)
или, сокращая на h,
	y=(n-l) ( ~1 + ~2 );					(88.8)
отсюда
	f'	I				(88.9)
	= (n-l) (_1+_1) .
	R1		R2
Весьма существенно, что h		н е	в х о Д и т	в	о j{ о н ч а­
т е л ь н ы й рез у J1 Ь Т а т.		Это означает,		что J1		Ю б о й

луч, параллельный Г,lавной оптической оси Лl1НЗЫ, встре­

чающий линзу на люБО:l[, но Д О С Т а т о ч н о ы а л о ~1 по

сравнению с R1 И R2 раССТОЯНJlИ h от оси, пройдет после пре­

ломления в линзе ч е рез о Д н у и т у ж е т о ч к у F'.

лежащую на расстоянии l' от ОпТического центра линзы.

240

Таким образом,	Д о к а з а н о, ч т о л и н з а и м е е т
г л а в н ы й Ф о 1<	У с, и формула (88.9) показывает, как

фокусное расстояние зависит от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кри­

визны ее преломляющих поверхностей.

МЫ предполагали, что параллельный пучок лучей падает

на линзу слева направо. Существо дела не изменится, ко·

нечно, если на линзу направить такой же пучок лучей,

идущих в обратном направлении, т. е. справа налево. Этот

пучок лучей, параллельных главной оси, соберется снова

ФО~~~ЙЛl~~~:rе(:и~l~~{~~				~	(:В:J
расстоянии	/	от ее оптиче-			~	F'
ского центра. На основании						I
формулы (88.9) заI<лючаем,~
что /=/', т. е. оба фокуса
лежат симметрично по			обе	r71~		~
стороны линзы *).				F	О}	_
Фокус	F	называется			о г-------
обычно передним фокусом,)					1 --------
фокус Р' - задним фоку·				i т'	v---_-~
сом; соответственно этому				J"	-1
расстояние	f	называется		Рис. 196. Фокусы линзы
передним	фокусным		рас-
стоянием,	РClсстояние		f' -	заднu.U	фокусным	рассmоя­

HUeAt.

Если в фокусе линзы поместить т о ч е ч н ы й источник

света, то каждый из лучей, выйдя из ЭТОЙ точки и преломив­

шись в линзе, пойдет далее параллельно главной оптиче­

ской оси линзы, в СОГ.'Iасии с законом обратимости световых

лучей (см. § 82). Таким образом, из линзы выйдет в этом слу­

чае пучок лучей, пар а л л е л ъ н ы х главной оси.

При практическом ПРИl\lенении полученных нами соот­

ношений необходимо всегда ПОl\ШИТЬ о сделанных при вы­ воде их упрощающих предположениях. Мы считали, что

параллельные лучи падают на линзу на очень малом

расстоянии от оси. Это условие не выполняется вполне

строго. Поэтому после преЛОIl1ления в линзе точки пересе­

чения лучей не будут строго совпадать между собой, а зай­

мут некоторый конечный объеl\!. Если мы поставим в этом

месте экран, то получим на HeI\'!не геометрическую точку,

") Этот вывод связан с тем обстоятельством, что мы с самого начала

полагаем, что по обе стороны линзы находится одна и та же среда (воз­ дух). Если бы это было не так, то нарушилась бы и симметрия в располо­

жении фокусов F и Р'.

241

а всегда бо,тсе или ~!e[{ee расплывчатое светлое пят­

нышко.

Другое обстоятеvlЬСТIЮ, которое НУЖНО ПО:\1Нi!ТЬ, состопт в TO~!, что ~lЫ не ~юже\I осущеспшть строго точечный источ­

ник света. Поэта,,"!у, flO'IICCТllБ в фокусе iШНЗЫ источник

хотя	бы очень ~!Э.ILlХ,	110 I3сегдз к о н е ч н ы х	раз 1\1 е­
р о В,	мы не ПОvlУЧИl\1 с помощью линзы с т р о г о		пар а л-
,1 е .1	ь н Ы й ПУЧОК	,1УчеЙ.

В § 70 было УI{ззано, что CTrOrO лзrаллсльный лучок лучей не имеет физического CMb!C.~a. Сде.13Н!lOе замечаН!lе показывает, что рассмотрен­

ные свойства .1шrзы находится !3 согласии С этим общим физическим ло­

ложеннем.

В каждом отдеЛЬ!Ю~1 случае применения линзы к опре­

деленному источнику света для получения параллельного

пучка лучей или, наоборот, при flрименении линзы для

Ф о к у с и р о в к и параJIлелы\Ого пучка надо специально

проверять степень отступления от тех упрощающих усло­

вий, при которых выведены формулы. Но с у Щ е с т в е н­

н ы е черты явления преломлсния СВетОВЫХ лучей в линзе эти формулы передают правильно, а об отступлениях от них речь будет идти позже.

§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на rлавной оп­

тической оси. Формула линзы. Пусть точечный источник

света находится в точке 5 lIа глаI3НОИ оптической оси линзы, на расстоянии а от ее оптического центра О (рис. 197). Рас­ смотрим, как будет преломляться в vlИНЗС У 3 к и Й п у ч о к лучей, примыкающий к прямой 50, яв,тяющейся осью этого пучка *).

Пусть один из лучей (5М) светового пучка падает на первую преломляющую поверхность линзы в точке М,

находящейся на высоте h над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваемся узким пучком лучей, означает, что h

мало по сравнению с расстоянием а от источника до линзы.

С другой стороны, так же как и в § 88, будем считать, что }I мало по сравнению с t', а следовательно, и по сравнению с радиусами R1 и R2 ограничивающих линзу поверхностей.

'lУгол, образуемый лучом 5М с осью, обозначим у. Так как мало, то и угол '\' мал. ПреЛОl\lленный луч пойдет по на­

правлению ММ' и, преЛОJ\1ИВШИСЬ снова на второй ограни­ чивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направ­

лению М151, составляющему с осью угол '\" _ Обозначим

через а' расстояние от оптического центра линзы до точки 5',

в которой преЛОl\lленный луч пересекает главную ось.

*) Такие пучки обычно называют nараксuальнымu (приосевыми).

242

Как и в предыдущем параграфе, проведем через точ­

ки М и М' ПЛОСКОСТИ, касательные н: преЛОi\IЛЯЮЩИМПО­ верхиостям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму ВАВ' с преломляющим углом в. B~1eCTO того чтобы рас­ сматривать преломлеиие луча SMM'S' в линзе, будем рас­ сматривать преломление того же луча в тонкой призме ВАВ'.

Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол а) который по фор­ муле тонкой прпзмы равен

	cx=(n-I)B,	(89.1 )
где n -	показатель преломления вещества,	из которого
сделана	линза.

РаССМОТРПI\i также луч РМ, идущий параллельно глав­ ной оси и падающий на линзу в точке iИ. Преломление та­ кого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки М" под углом ер к оси и пройдет через главный фокус Р' на расстоянии f' от оптического центра.

А

л

	/-5\	~."..",.	."../'
	J \
	;	."..-'
р	N ~	;, 11'-

~~*	J
	*оз'

1			I
1			1
I		+'	I
J			J
J			!
J	r.t	а'	1
			>1

Рис. 197. Пре.llОМ.IIение в линзе луча S1\1, выходящего из точки S на оси. УГОЛ ВАВ' и ТОЛщина линзы сильно преувеличены

ТОЧКИ М' И М" очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке М и точках М' или' М",

практически не раЗЛllчаются и имеют один и тот же прелом­

ляющий угол в. Угол а', на который отклонится этот луч

от первоначального направления поСле преломления в тон­

кой призме, равен опять (n-l)8, т. е. равен углу а. С дру­

гой стороны, этот угол а' равен, очевидно, углу ер (рис. 197).

243