Landsberg-1985-T3

Таким образоы, получаем
а' = а = ер.	(89.2)

Но угол ct как внешний угол в треУГОЛьнике SNS1 равен сумме ,\,+,\,'. Итак, имеем

'\'+,\,'= <р.

(89.3)

Лучи SM, М15' и М"р' идут под небольшими углами к

оси, т. е. углы у, у' 11 <р малы. Заменяя, как и в предыдущем

параграфе, синусы малых углов самими углами и прене­

брегая толщиной линзы и разницей в выСоте точек М, М' и

М" над осью,

.	'~
У ~ sш у =	а '

можно приближенно написать:

у	,	. ,	I~	.	h	(89 4)
		~ SIП У	= 7т •	<р ~ sш <р = 7'.		.

Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3),

находим

h h h
a+{i'=T	(89.5)

или, сокращая на общий множитель h,

1	1	1	(89.6)
а+7=7"

в правой части полученного выражения стоит величина l/f\ которая, как мы видели в предыдущем параграфе, за­

висит т а л ь к а о т с в а й с т в л и н з ы - ат пока­

заТеЛЯ преломления вещества, из которого сделана линза,

и от радиусов кривизны ее преломляющих. поверхностей.

То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит вели­

чина }l, позволяет сделать	очень в а ж н ы е в ы в о Д ы,
а именно, что не только луч		5М, но и всякий другой
луч, выходящий из точки	5,	пройдет после преламления
в линзе через одну и ту	же	точку 5', хотя каждый из
этих лучей падает на линзу на		раз н о й высоте над осью.

Единственное, но весьма существенное ограничение, като­

рое мы накладываем на рассматриваемые	л у ч и,	состаит
в том, что все о н и с о с т а в л я ю т с	о сью	л и н з ы
м а л ы е у г." ы.

Таким образом, все лучи узкого пучка, выхадящие из

точки S, соберутся после преломления в линзе снова в одной

точке S', являющеися иэо6ражением точки S. Мы доказали,

следовательно, что образующееся в тонкой линзе иэобра­

жение точечного источника, лежащего на главной оси линзы,

полученное с помощью достаточно узкого пучка лучей, явля­

ется точкой.

244

Изображения, при получении которых выполнено ус­

ловие передачи к а ж Д о й т о ч к и объекта о д н о й т о ч к о й изображения, носят название стигматических.

Изображения, у которых это условие не соблюдено, носят

название астигматических *).

Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей

(§ 82) положения	источника света S и	его изображения
S' о б р а т и мы,	т. е., поместив источник в S', мы полу­
чим его изображение в точке S. Точки S		и S' называются

сопряженными.

В геометрической оптике особое значение имееТ задача получения СТИГl\lатических изображений. Степень стигма­

тичности изображений определяет качество служащих для

их получения оптических систем. Нарушение оптической

системой стигматичности падающих на нее световых пучков

ведет к расплывчатости изображения. В дальнейшем при

изучении простейших оптических систем мы будем уделять

большое внимание вопросу о стигматичности даваемых ими

изображений.

Полученная нами формула (89.6) связывает между собой

расстояния от оптического центра трех точек, находящихся

на главной оси линзы: источника S, его изображения S'

и фокуса Р. Это - основная формула тонкой линзы.

§ 90. Применения формулы тонкой линзы. Действительные и мнимые изображения. Предположим, что светящаяся точка S, лежащая на главной оси линзы, удаляется от лин­ зы на очень большое расстояние. В этом случае лучи, па­

дающие на линзу, будут стреl\lИТЬСЯ стать параллельными

ее главной оси. .мы видели в § 88, что после преломления

в линзе эти лучи соберутся в фокусе Р' линзы. В формуле

(89.6) при удалении источника на очень большое расстояние величина lIа стреМIIТСЯ к нулю, и мы получаем

а, = /',

т. е. l\IOЖНО сказать, что фокус Р' есть изображение «беско­

нечно удаленной» точки.

Примером практически бесконечно удаленного источника МОжет служить любое небесное тело. Следовательно, изоб­ ражения звезд, Солнца и т. д. будут находиться в фокусе

линзы. Достаточно далекие от линзы земные источники света

также дают изображение в ее фокусе.

*) С т и г м а значит по-гречески точка, стигматический - точеч·

ный, частица <<а)) впереди слова - знак отрицания. Астигматический значит неточечный.

245

Предположим теперь, что изображение некоторой ТОЧIШ

удалено на очень большое расстояние. т. е. из ЛИНЗЫ ВЫ­

ходит пучок световых лучей. параллельных гдавной оси.

В этом случае. как мы видели в § 88. источник доmкен нахо­

диться в переднем фокусе линзы F (рис. 196). Этот вывод

следует и из формулы (89.6). Действительно, полагая. что

изображение находится в бесконечности. получаем 11а' =0;

при этом расстояние источника от линзы равно фокусному

расстоянию: a=f=f'.

РаЗJшчные линзы отличаются одна от другой располо­

жением центров обр-азующих их сферических поверхностей,

Рис. 198. Различные типы линз. Ес-

•ли материал линз преломляет силь­

нее, чем окружающая среда, то ти­

пы	а, б,	в -	собирающие; типы г,
	д,	е -	рассеивающие
их радиусами и показателями	преломления вещества. из

которого сделаны линзы. На рис. 198 представлены шесть

основных типов линз.

Если параллельные лучи после преломления в шшзе

с х о Д я т с я. действительно пересекаясь в некоторой точ­

ке. лежащей по другую сторону линзы, то линза называется

собирающей или положительной (рис. 199, а). Если же

б)

~--

~---

Рис. 199. Действительный фокус собирающей линзы (а) и мнимый

фокус рассеивающей линзы (6)

пара.п.пельные лучи после преломления в линзе становятся

р а с х о Д я Щ и м и с я (рис. 199, б), то линза называется

рассеивающей или отрицательной. В случае рассеивающей

линзы в фокусе пересекаются не преломленные лучи, а их

246

воображаемые продолжения; при этом фокус лежит с той же стороны от линзы, с которой падает Шl линзу параллель­ ВЫЙ пучок лучей. Фокусы в этом случае называются мни­ мыми (рис. 199, б).

Обычно материал линзы преломляет сильнее, чем окру­

жающая среда (например, стеклянная линза в воздухе).

Тогда собирающпми линзами являются линзы, утолща­

ющиеся от краев к середине,- двояковыпуклая и плоско­

выпуклая .J1ПН3Ы 11 положительный мениск (вогнуто-выпук­

лая линза; рас. 198, а-в). Рассеивающими линзами

являются линзы, становящиеся. тоньше к середине: двояко­

вогнутая, плоско-вогнутая линзы и отрицательный мениск·

о)	ю)
Рис. 200. Двояковыпуклые линзы:	а) стеклянная в воздухе - собираю­
щая; б) воздушная	в воде - рассеивающая

(выпукло-вогнутая линза; 198, г - д). Если материал линзы преломляет С.'Iабее, чем окружающая среда, т. е. относи­

тельный показатель преломления n<l, то, наоборот, линзы

а, б, в (рис. 198) будут рассеивающими, а линзы г, д, е­

собирающими. Такие линзы можно получить, например, образовав в воде двумя часовыми стеклами, склеенными вос­ ком, воздушную полость соответствующей формы (РИС. 200).

Перейдем к рассмотрению светящихся точек, находящих­

ся на конечном расстоянии от линзы. Будем всегда считать

источники расположенными С л е в а о т л и н з Ы. ЧТО касается изображений, то в зависимости от вида линзы и

положения источника относительно нее изображение S'

может находиться как справа, так и слева от линзы. Если

изображение лежит справа от линзы, ТО это означает, что оно образовано сходящимся пучком лучей (рис. 201, а), т. е.

лучей, которые действительно проходят через точку S'.

Изображение в этом случае называется действитеЛЬНЫА!. Оно может быть получено на экране, фотопластинке и т. п. Восстановив ход лучей, приведших к образованию и з о б­

Р а ж е н и Я, мы можем всегда найти местоположение и с­ т о ч н и к а, хотя практически это обычно связано с не­

которыми трудностями.

247

Предположим теперь, что изображение лежит слева от

линзы, т. е. с той же стороны от нее, как и источник. Это означает, что пучок лучей, расходящихся от источника, после преЛО:vlления В линзе становится еще более расходя­

щимся, и I3 точке S' 11ересекаются лишь воображаемые 11 р о­ Д о л ж е н !! Я преломленных лучей (рис. 201, б). Изобра­

жение I3 ЭТО"I случае называется AtНиMЫ,н.

б)

Рис. 201. ИСТОЧНИК и действительное изображение лежат с разных сто­ рон ОТ линзы (а); мнимое изображение находится с ТОй же стороны от линзы, что и источник (6)

Укоренившиися в оптике термин «МНИ"lOе изображение» может привести к некоторым недоразумения,,!. Вдействитель­

насти ничего <шни:vюго» в это,,! случае, конечно, нет. Осо­

бенностЬ/о АINИ.ИЫХ изображений является то, что их нельзя nолучuть неnосрсдствеюю IШ экране, фотоnластuнке Il т. n.

НаПРШ.Iер, если по,,!естип, в точке S' (рис. 201, б) очень

маленький экран, не \Iешающий попаданию основной части лучей на линзу, то мы не получи,,! на Не\l светящейся точки.

Однако р а с х о Д я Щ и й с я п у ч о к л у чей, вооб­

ражабlые продолжения которых пересекаются в мнимо",!

изображении, са"'1 по себе не И~lеет ничего «мнимого». Этот

пучок можно препратить в сходящийся IJУЧОК, если на пути

его поставить надлежащим образом выбранную собирающую линзу. Тогда на экране или фотопластинке мы будем иметь реальное изображение S" спетящейся точки S (рис. 202), которое в то же время можно рассматривать как изображе­

ние «мнимой точки» S'.

Роль подобной собирающей линзы выполняет также

глаз человека; на светочувствительной оболочке глаза­

сетчатке - собираются расходящиеся от источников света

лучи. Пучок расходящихся лучей, исходят ли они от реаль-

248

ного точечного источника S или От его мнимого изобра­ жения S', может быть собран оптической системой глаза в одну точку на сетчатке. В повседневной Ж!lЗЮl наблюдатель

приобретает привычку автоматически восстанавливать ход лучей, давших изображение на сетчатке, и определять ме­

стоположение источника. Когда в глаз попадает расходя­

!цийся пучок лучей (с вершиной в S'), изображенный на

Рис. 202. Превращение расходящегося пучка лучей в сходящийся

спомощью вспомогатеJJЬНОЙ собирающей .1ИНЗЫ (например, глаза)

рис. 202, то, «восстанавливая» :'>lесто, откуда вышли эти

лучи, мы в и Д и м в точке S' источник, ХОТЯ в действи­

тельности в данной ТОчке источника нет. Этот-то вообра­

жаб!ЫЙ источник :VlbI и называe:vl «МНШ1Ым» изображением

ТОЧI\И S.

Пользуясь формулой (89.6), нетрудно проследить, как

меняется ПО,10жение изображения по ~лере перемещения

источника вдоль главной оптической оси (см. упражнения

31, 32 в конце этой главы).

§ 91. Изображение точечного источника и протяженного объекта в плоском зеркале. Изображение точечного источ­ ника в сферическом зеркале. Мы переходим теперь к задаче

нахождения изображений при отражении света от различ­ НОго типа зеркал. Законы образования изображений светя­

щихея точек при отражении в зеркале и при преломлении

влинзе во многом аналогичны.

Эта ана.l0ГИЯ, конечно, не случайна; она обусловлена тем, что фор­ малыш, как мы видели в гл. IX, закон отражения является частным случаем закона преломления (при n=-I).

Наиболее просто решается поставленная нами задача

для отражения световых лучей от п л о с к о г о з е р к а­

л а. Вместе с тем отражение света от плоского зеркала пред­

ставляет собой наиболее простой и общеизвестный случай образования мнимых изображений, рассмотренных в пре­

дыдущем параграфе.

Пусть пучок лучей от ТОчечного источника S (рис. 203)

падает на пЛОское зеркало (металлическое зеркало, поверх­ Ность воды и т. д.). Проследим, что произойдет с этим

249

конусом лучей, имеющим вершину в точке 5. Возьые:у! два

про 11 З В О Л u н ы х луча 5А и 5В. Каждый из НИХ отра­

зится по закону отражения, I! )'го.1 каждого нз НIIX с нор­

малью останется после отражения неИЗ;Уlенныы. Сlсдова"

тельно, остаIIется неИЗ\lеННЬ!;,l и )'го.1 Ы е ж Д у лучаш! по­

сле отражения.

Этот угол ,,1ежду отражеIIНЬШИ лучами можно изобразить

на рисунке, ПРО;IД1Ж!!Б отр3ЖСНI!ые .1)"ЧИ назз,J" за пло­

скость зеркала, что показано

па чертеже ШТРИХОВЫМ!! ли­

J

J

1 .; "",,'"

1. ,........./ ~

в" «.-;."....

J

I

Рнс. 203. Образование ~IИJlМОГО

изображения точки в плоскоы

зеркале

вершенно ПРОИЗВОЛЫIЬЩИ,

Ш!ЯМlI. Точка пересечеН!IЯ 5'

продолжения лучей за зеРJ<а­ лом будет лежать на т о i'I ж е

н о р 1\1 а л I! к зеркалу, что и

точка 5,	и на том же рас­
е т о я н 11	И от плоскости зер­

кала, в чем легко убедиться из

равенства треугольников SAO

11 S'AO ил]! 5ВО И 5' ВО.

Ввиду того что рассмотрен­

ные лучи 5А и SB был!! со­

мы вправе установленные дЛЯ

НИХ результаты ОТРЮКСIlJlЯ от плоского зеркала распростра­

нить на в е с ь свстовой пучок. Следовательно, МЫ можем

утверждать, что при отражении от плоского зеркала пучок

световых лучей, ИСХО;1.ящих из одной точки, превращается в световой пучок, в которо\! 11 Р О Д О Л Ж е н и я в с е х световых "1учей снова пересекаются , в О,l,!roй и той же точке.

Врезультате наб"1IОдате.1Ю, помещенному на пути

отраженных .1учеЙ, они будут казаться пересекающи:.шся

в ТОЧI,е 5',и эта ТОЧК3 будет 1>1 н И 111 Ы Ч и з о б Р а ж е­

н 11 е м точки S. ИЗо(jраЖСШlе будет \!НИМЫ:v! в указан­

но:-! выше ОШС"1С: НИК3ЮIХ лучей в точке 5' заз е р к а­ л о м нет, но точка S' ЯВ.1ЯСТСЯ в ерш !I Н О Й п у ч к а

л у чей, П о в е р н у т о г о П о с л е	о т р а ж е н и я
от зеркала.
Рассмотрение МIIИ:vЮГО изображеНJlЯ	светящейся точки
в плоско",! зеркале и сдслаlll1ые выводы о	п о л о ж е н и и

этого изображения «За зс[)}(алом» позволяют легко найти

также изображение про т я ж е н н о г о о б ъ е к т а

в плоском зеркале.

Пусть перед зеркало~! lJаходится п р я 1\1 О Л И Н е й н ы й

с в е т я щи й с я о т рез о к АВ (рис. 204, а). Выполняя по найденному рецепту построение точек А' и В' и соединяя

их прямой, МЫ получим изображение в с е х точек отрезка.

250

Это вытекает I1З элементарных геометрических соображениlr. Та" ,(ак отрезок АВ был выбран совершенно IJРОIIЗВОЛЬНО,

то точно так же можно ПОСТРОI!ТЬ изображение любого преД:Vlета. При это:\\ из пара.lлельности между собой всех

б)

Рис. 204. а) Образование мнимого изображения прююmшейного отрез­ ка в плоском ЗС[Jкале. 6) Наблюдателю кажется, что свеча горит в бу­ ТЬ!дке с водой, расположенной за стеклянной пластинкой там, где на-

ходится мнимое изображение свечи в этой пластинке

нор~[алей к зеркалу ясно, что размеры мнимого изображе­

ния в плоском зеркале равны размерам предмета, постав­

ленного перед зеркалом.

В решении, найденном для случая отражения световых

ПУЧКОВ от плоского зеркала, необходимо подчеркнуть, что

к а ж Д а я т о ч к а еве­

тящегося объекта изобра­

зится в плоском зеркале

также в виде точки (т. е.

стигматически) . Переходю! теперь к рас­

смотрению с Ф е р и ч е с­

к и х з е р к а л. На рис.

	205	изображено сечение
	АРВ вогнутого сферическо­
	го зеркала радиуса R; С -		Pl1c.	205.	Отражение от сфери'!сс­
	центр сферы. Средняя точка
			кого зеркала луча SA'f, ПЫХО}lяще­
	имеющейся части сферичес­
				го	из ТО'IIШ S на оси
	кой	поверхности называет­

ся nОЛЮСОА! зеркала Р. Нор~!аль к зеркалу, проходящая

через центр зеркала и через его полюс, называется главной

оnmuцо>ской осью зеркала. Нормали к зеркалу, проведеIIнь:е

в других точках его повеРХНОСТII и также, конечно, проходя­

щие через центр зеркала С, носят название побочных оп­

тических осей. Одна из них (МС) показана на рис. 205. Все

251

нормали к сферической поверхности, конечно, равноправ­ ны, и выделение главной оптической ос!! среди побочных не

является существенным *). Диаметр окружности, ограни­

чивающей сферическое зеркало, носит название отверстия

зеркала.

Все дальнейшее есть упрощенное ПОIпорение сказанного

в §§ 88. 89 относительно линз.

Пусть точечный источник света S раСПОiIOжен на главной оси зеркала на расстоянии SP,-=a от полюса. Так же, как и в

случае линз, рассмотрим луч SM, ПРIlнадлежащий	к у з­
к о м у ПУЧЕУ, т. е. образующий с осью м а л ы й	угол

у и падающий на зеркало в ТОЧЕе М на высоте h над осью,

так что 11 мало по сравнению с Q !I С РdДИУСО~1 зеркала R.

Отраженный луч пересечет ось в точке S' на расстоянии

S' Р=а' от полюса. Угол, образуe:'iШЙ отраженны:v! лучом С

осью, обозначи\! "(1. Он также будет :lIал.

Очевидно, СМ есть перпеНДИКУ.1ЯР к ПОI3ерхности зер-

кала в точке падения, i	угол падения, i'-	угол отраже-
ния. По закону отражения
	• '1	(91.1 )
	I=i .

Обозначим буквой а угол, образуемый радиуСО!'>1 СЛ'! с осью. Из треУГОЛЬНИI{а SMC имеем

	i+y=a;	(91.2)
из треугольника	CMS '
	y'=a+i'.	(91.3)
Складывая (91.2)	и (91.3) и учитывая,	что i=i', находим
	у +у' = 2а.	(91.4)

Так как мы рассматриваем узкий пучок лучей, прилега­ ющих к главной оси, т. е. углы у, у' И а. малы, то мы можем

заменить синусы углов самими углами I! пренебречь дли­ ной отрезка PQ. Тогда мы будем иметь приближенные ра­

венства:

у = sin у = hja, у' = sin у' = lI/a' • а = sin а. = /l/R. (91.5)

Подставляя полученные равенства в уравнение (91.4) и со­

кращая на общий множитель 11, наХОДИ:l\.

.!.+	] =2	(91.6)
а	R'

"') в .1инзах главная оптическая ось сущестпешro отличается от по­ бочных тем, что она есть единственная ось, проходящая через центры

о б е и х сферических поверхностей, ограШ1'lI\вающих линзу.

252

То, что высота h, раВJlО	как и угол у,	н	е в х о д я т
в окончательный результат,	означает, что	л	ю б о й луч,

выходящий из точки 5 (и принадлежащий к достаточно уз­

I<OMY пучку), после отражения пройдет через точку 51 ·на

расстоянии а' от полюса. Таким образом, точка 51 есть

I! з о б Р а ж е н и е т о ч к и S.

Мы видим, что при отражении в сферическом зеркале

изображение:-! точечного источника является снова точка.

Как и в случае mшзы, точка 5, в которой расположен ис­

точник, и ТОЧI(а 51, в которой находится изображение, с о­

п р я ж е н ы ;'Iежду собой, т. е., поместив источник в точку 51, МЫ получим изображение в точке S (следствие закона

обратимости световых	лучей,	см. § 82).
Полученная нами	формула	(91.6) является о с н о 13-
I! О Й фор ~1 У л о й	с Ф е р и ч е с к о г о з е р к а л а.

Легко доказать, что для выпуклого сферического зер­

кала формула (91.6) остается в силе.

§ 92. Фокус и фокусное расстояние сферического зеркала.

Найдем положение фокуса F сферического зеркала, т. е.

точки, в которой перссекутся после отражения Б подобном

зеркале лучи, параллель-
ные его главной оси.		Как	tl)
мы знаем, для получения
параллельного	пучка	лу­
чей ИСТОЧНИI{	нужно	уда­

лить весьма далеко, т. е.

	положить	в формуле (91.6)				о)
	l/а=О. В этом случае а' =f
	есть фокусное		расстояние
	зеркала. Для величины фо­					с
	кусного расстояния, поль­
	зуясь формулой (91.6), на­
	ходим				Рис. 206.	Фокусы сферических зер­
	t=R/2.			(92.1 )
					кал: а) вогнутое зеркало; б) выпук­
	Соединяя			фОр:vIУЛЫ	лое зеркало. (Лучи показаны падаю­
					щими на значительную часть сфери­
	(91.6) и (92.1), ПОЛУЧИ:\1 фор­
					ческих зеркал. Их следует I1редстав­
	мулу зеркала в Биде				лять себе	пересекающими зеркало
	I	I	1		на малой	высоте от оси, т. е. захва­
					тывающими малую часть зеркала.)
	а +7 =1' (92.2)
	т. е. в Биде, аналогичном				формуле (89.6) тонкой линзы.
	В случае Б о г Н у Т О r				о зеркала фокус расположен на

с е р е Д и н е расстояния между полюсом и центром с Л е-

253