2.3. Линейная зависимость и независимость векторов

Опр. Если {a1, a2 ,..., an } -

некоторая система векторов пространства R (R1, R2 или R3), тогда любой вектор вида

1

a

1

2

a

2

...

n

a

n

называется линейной комбинацией

векторов a1, a2 ,..., an , ãäå 1, 2 ,..., ï

некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Если же все коэффициенты 1 , 2 ,..., n равны нулю, то комбинация векторов называется тривиальной, если же хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля, то комбинация векторов называется нетривиальной.

Замечание. Если какой-либо вектор представляется в виде линейной комбинации некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам или что он есть линейная комбинация этих векторов.

Опр. Система векторов

{a1 , a2 ,..., an }

Замечание. Существует также другой критерий линейно зависимых(независимых) векторов, очень полезный на практике: Теорема. Система векторов

линейно зависима тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы.

Следствия

1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Действительно, пусть

	{0, a , b, c}
					0
0	0 a	0 b	0 c 0, где
система		векторов		линейно	зависима.

2. Если среди векторов системы какие- либо k векторов линейно зависимы, то и вся система векторов линейно зависима.

Максимальное число линейно независимых векторов

1. На прямой или в R1				Пусть
a 0	{a}
	- линейно независима,
			ïðè 0.
т.к. a 0 только

Т.к.	b, b a	{a,b}
		- линейно зависима.

a

b

Следствия

1.Максимальное число линейно независимых векторов на прямой равно 1.

2.Система,содержащая более одного вектора линейно зависима.

2. На плоскости или в R2

Если - линейно зависима. a//b {a,b}

Но если-линейно независима.

Действительно, предположим противное,

пусть {a, b} - линейно зависима.

b a, a // b

что противоречит условию.