Нормальное распределение

При построении статистических моделей весьма широко применяется нормальное распределение.

В 1727 г. английский математик Абрахам де Муавр (1667—1754) открыл закон распределения вероятностей, названный законом нормального распределения. Позднее, в начале XIX в., разработкой вопросов, относящихся к данному закону, занимались Пьер Лаплас (1749-1827) и Карл Гаусс (1777-1855). Общие условия возникновения закона нормального распределения установил А.М.Ляпунов (1857-1918).

Распределение непрерывной случайной величины называют нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

или

где:

	значение изучаемого признака
	средняя арифметическая ряда
	дисперсия значений изучаемого признака
	среднее квадратическое отклонение изучаемого признака
	нормированное отклонение

При графическом изображении плотности распределения получают кривую нормального распределения, симметричную относительно вертикальной прямой, поэтому величинуназываютцентром распределения.

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров и, поэтому очень важно выяснить, как эти параметры влияют на вид нормальной кривой.

Если не меняется, а изменяется только, то:

1) чем меньше, тем более вытянута вверх кривая, а так как площадь, ограниченная осью и данной кривой, равна 1, то вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределенияи более быстрым приближением кривой к оси абсцисс;

2) чем больше, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая.

Рис. 3.7. Кривая нормального распределения теоретическая и экспериментальная

Если остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты.

Особенности кривой нормального распределения.

1. Кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению .

2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Чем больше отдельные значения отклоняются от, тем реже они встречаются.

Кривая имеет две точки перегиба на расстоянии от.

Площадь между ординатами, проведенными на расстоянии (заштрихованная область на рис. 5.8, б), составляет 0,683. Это означает, что 68,3% всех исследуемых единиц (частот) отклоняется от средней арифметической не более чем на , т.е. находится в пределах. В промежуткенаходится 95,4%, а в промежутке, соответственно, 99,7% всех единиц исследуемой совокупности.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

Порядок расчета теоретических частот кривой нормального распределения:

1) по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение;

2) находят нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической:

3) по таблице распределения функции определяют ее значения;

4) вычисляют теоретические частоты по формуле

где - объем совокупности,- длина интервала.

5) в случае, если вариационный ряд имеет равные интервалы,