Распределение Пуассона

К числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение, относится пуассоновское распределение, названное по фамилии французского математика Симеона Пуассона (1781-1840). Классическую форму распределение Пуассона принимает в том случае, если значения признака носят дискретный характер и являются результатом какого-либо редко возникающего события среди наблюдаемых единиц. Причем с увеличением значений признака вероятность наступления события падает. Природа распределения Пуассона наиболее полно раскрывается в теории случайных процессов, поэтому его еще называют законом распределения редких явлений. Распределение Пуассона наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико , а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала.

Аналитически распределение Пуассона можно выразить формулой:

где:

- вероятность того, что признак примет то или иное значение,

- средняя арифметическая ряда

Из формулы видно, что единственным параметром распределения является средняя арифметическая.

Порядок расчета теоретических частот кривой распределения Пуассона:

1) находят среднюю арифметическую ряда, т.е. ;

2) по таблицам определяют ;

3) для каждого значения вычисляют теоретическую частоту по формуле

где:

- число единиц в изучаемой совокупности.

Рис.3.8 Кривая распределения Пуассона

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута — правая или левая — различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

В нормальном ряду распределения размах вариации

; ;

Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения.

При

разности между и положительные и асимметрия правосторонняя,

при ,

разности между и отрицательные и симметрия левосторонняя.

Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе:

Если , то асимметрия правосторонняя, а если , то асимметрия левосторонняя. Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше.

В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона, представляющий собой отношение разности между средней арифметической и модой к среднему квадратическому отклонению:

Если, скошенность правосторонняя (как и для );

если , скошенность левосторонняя;

если , вариационный ряд симметричен

Крутизна, островершинность кривой распределения называется эксцессом.

Различают эксцессы: нормальный, выше нормального и ниже нормального.

Рис.3.9. Симметричная кривая распределения () и асимметричные кривые распределения (правосторонняя асимметрия и левосторонняя асимметрия).

Для характеристики степени эксцесса применяют коэффициент эксцесса, который равен отношению центрального момента четвертого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвертой степени: .

Рис. 3.10. Эксцессы распределения

Рис. 3.11. Изменение квадратического отклонения для кривых распределения с различным эксцессом

Если распределение нормальное, то эксцесс нормальный и равен 3. Если , то эксцесс выше нормального, а если , то эксцесс ниже нормального. На рис.7.5. показано изменение квадратического отклонения для кривых распределения с различным эксцессом.

Так как все предположения о характере того или иного распределения — это гипотезы, а не категорические утверждения, то необходима статистическая проверка с помощью так называемых критериев согласия. Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда — существенными (неслучайными). Критерии согласия позволяют принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Существует ряд критериев согласия. Чаще других применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона (хи-квадрат) — один из основных критериев согласия, предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857—1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:

где:

	число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;
	наблюдаемая частота признака в -й группе
	теоретическая частота, рассчитанная по предполагаемому распределению.

Вычисление Пирсона связано с показателем, который называется числомстепеней свободы. Под числом степеней свободы понимают количество независимых величин, которые могут принимать независимые значения, не изменяющие заданные характеристики.

Для распределения составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласиядля выбранного уровня значимостии данного числа степеней свободы.

Уровень значимости — вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

1) , тогда

2) , тогда

3) , тогда

Например, вероятность 0,01 означает, что в одном случае из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза. В экономических исследованиях считается практически приемлемой вероятность ошибки 0,05, т.е. в 5 случаях из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза.

Кроме того, -критерий, определяемый по таблице, зависит и от числа степеней свободы.

Число степеней свободы определяется как число групп в ряду распределенияминус число связей

Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при исчислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты .

Так, в случае выравнивания по кривой нормального распределения имеется три связи:

, ,

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как , где— число групп в ряду.

В случае выравнивания по кривой Пуассона , так как при построении частот используются две ограничивающие связи:.

Для оценки существенности расчетное значение сравнивается с табличным.

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений , в противном случае.

Если то при заданном уровне значимостии числе степеней свободыгипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют.

В случае если заключают, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностьюможно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Используя критерий согласия , необходимо соблюдать следующие условия:

1. объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим , при этом частота или численность каждой группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить маленькие частоты;

2. эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Критерий Романовского основан на использовании критерия Пирсона(найденных значений) и числа степеней свободы:

Он весьма удобен при отсутствии таблиц для .

Если , то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны, если же, то не случайны и, соответственно, теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических и теоретических распределений:

или

где и— соответственно максимальная разность между накопленными частотамии между накопленными частостямиэмпирического и теоретического рядов распределений;— число единиц в совокупности.

Рассчитав значение , по таблицеопределяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятностьможет изменяться от 0 до 1. Припроисходит полное совпадение частот, при- полное расхождение. Еслипринимает значения до 0,3, то.

Основное условие для использования критерия Колмогорова — достаточно большое число наблюдений.

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой статистический ряд распределения?

2. Виды рядов распределения и чем они отличаются?

3. Что такое вариация ряда распределения?4. Какие существуют показатели вариации и для каких целей они применяются?

5. Что такое среднее квадратическое отклонение и каков порядок его вычисления?

6. Что такое коэффициент вариации, для каких целей он применяется и как рассчитывается?

7. В чем сущность показателя дисперсия?

8. Какими свойствами обладает дисперсия?

9. В чем заключается правило сложения дисперсий?

10. Какую задачу решают статистические графики?

11. Как строятся столбиковые диаграммы?

12. Что такое полосовая диаграмма и ее разновидность — скользящая диаграмма?

13. В чем сущность круговых диаграмм и как они строятся?

14. Что такое знак Варзара? Как он строится и для чего применяется данный график?

15. Что является одной из важных задач анализа рядов распределения?

16. Что выражают кривые распределения?

17. Какие кривые называются эмпирическими и теоретическими?

18. В чем сущность моделирования рядов распределения и его значение в анализе?

19. Как определяются коэффициенты асимметрии и что они характеризуют?

20. Как определяется коэффициент эксцесса и что он характеризует?

21. Что характеризует критерий согласия?

22. Какова формула критерия согласия Пирсона, с каким показателем связано его вычисление и применение в анализе?

23. Что представляет собой число степеней свободы и как оно определяется?

24. Какова формула критерия согласия Колмогорова и ее применение в анализе?