29

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к заданиям по курсу «Теория математической

обработки геодезических измерений»

Ошибки измерений

(для студентов 2-го курса специальности 300100)

Ростов-на-Дону

2012

УДК 528

Методические указания к заданиям по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений». Ошибки измерений (для студентов 2-го курса специальности 300100).- Новочеркасск: Южно-Рос. гос. техн. ун-т.- 2007.- 29 с.

В методических указаниях приведены основные формулы, дан порядок математической обработки результатов измерений одной величины. Приведены примеры решения задач. Разработаны варианты индивидуальных заданий для студентов.

Составители: к.т.н., доцент Губеладзе А.Р.

ассистент Яговкина Е.Н.

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Пимшин Ю.И.

С Губеладзе Автандил Рубенович

Яговкина Елена Николаевна

С Ростовский государственный

строительбный университет, 2012

1. Элементы теории ошибок измерений

1. Меры точности результатов измерений

В качестве меры точности, характеризующей надежность результатов измерений, используют среднюю квадратическую m, среднюю, вероятнуюrи предельную_прошибки.

Средняя квадратическая ошибка результата измерения вычисляется по формулам

(1.1)

или

, (1.2)

где _i – истинная ошибка измерения, _i = x_i - X ;

v_i – отклонение от арифметической средины, ;

n – число измерений;

X – истинное значение измеряемой величины;

среднее арифметическое из результатов измерений;

x_i – результаты измерений.

При этом значение данной ошибки определяется с некоторой надежностью, значения которой вычисляется согласно формулам:

(1.3)

и, соответственно,

, (1.4)

а также вероятностно статистическими методами.

Средняя ошибка – это среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок данного ряда

 =. (1.5)

При n   между величинами m и  существует устойчивая зависимость

 = = 0,798m  . (1.6)

Вероятная – это такая ошибка, которая делит пополам ряд случайных ошибок, расположенных в порядке возрастания их абсолютных значений.

При n   между величинами m и r существует устойчивая зависимость

r = 0,674 m  . (1.7)

За предельную ошибку принимают утроенное значение средней квадратической ошибки, т.е.

_пр = 3m . (1.8)

2. Свойства случайных ошибок

Нормальное распределение является достаточно правдоподобной моделью образования случайных ошибок измерений. В этой модели предусматривается возможность появления ошибок от - до +. При этом используется нормированная функция плотности распределения (рис. 1), математическое ожидание которой МХ = 0, а среднее квадратическое отклонение = 1.

Нормированную нормальную кривую мож-но представить как кривую распределения нормированной случайной величины

,

где а– математическое ожидание случайной величины Х.

Нормированную плотность

(1.9)

используют для расчета кривой распределения, соответствующей данному эмпирическому ряду.

Свойства случайных ошибок измерений проявляются при массовых испытаниях и могут быть характеризованы следующим образом.

П е р в о е с в о й с т в о. При данных условиях измерений случайные ошибки не могут превосходить по абсолютной величине определенного предела, т.е.

. (1.10)

В т о р о е с в о й с т в о. Малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие.

Т р е т ь е с в о й с т в о. Положительные ошибки появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные ошибки, т.е. положительные и отрицательные ошибки равновозможны:

Р(+) =Р(-). (1.11)

Ч е т в е р т о е с в о й с т в о. Среднее арифметическое из случайных ошибок измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном возрастании числа наблюдений, т.е. математическое ожидание случайной ошибки равно нулю:

. (1.12)

Задача 1.1.Проанализировать свойства невязок треугольников, приведенных в табл. 1. Определить средние квадратические ошибки вычисления невязки треугольника, измеренного угла, среднюю, вероятную и предельную ошибки.

Таблица 1

№ пп	wi, c	wi wi	№ пп	wi, c	wi wi	№ пп	wi, c	wi wi	№ пп	wi, c	wi wi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0,02	0,004	12	-0,38	0,1444	23	-0,75	0,5625	34	0,50	0,2500
2	0,33	0,1089	13	-0,64	0,4096	24	1,37	1,8769	35	0,85	0,7225
3	0,57	0,3249	14	1,28	1,6384	25	-1,53	2,3409	36	-1,96	3,8416
4	-1,14	1,2996	15	0,07	0,0049	26	0,17	0,0289	37	-0,27	0,0729
5	-0,03	0,0009	16	0,39	0,1521	27	-0,45	0,2025	38	-0,51	0,2601
6	0,34	0,1156	17	-0,69	0,4761	28	-0,77	0,3465	39	-0,92	0,8464
7	0,62	0,3844	18	-1,32	1,7424	29	1,85	3,4225	40	1,98	3,9204
8	1,24	1,5376	19	0,11	0,0121	30	-0,23	0,0529	41	2,31	5,3361
9	-0,05	0,0025	20	-0,42	0,1764	31	0,48	0,2304	42	-0,31	0,0961
10	0	0	21	-1,10	1,2100	32	0	0	43	0,06	0,0036
11	0,55	0,3025	22	-2,49	6,2001	33	0,18	0,0324	44	-0,07	0,0049
С у м м ы										+15,27 -16,03	40,6948

Решение. Числовыми характеристиками данного ряда являются: