Задачи на Экзам по ТВиМС 2012-2013

1.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова Вероятность того, что в нем все цифры различные. Номер телефона не начинается с нуля.

2.Телеграфное сообщение состоит из «*» и «–». Искажаются в среднем 2/5 «*» и 1/3 «–». Известно, что среди передаваемых сигналов «*» и «–» встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность, что приняли искаженный сигнал, если отправили «–».

4.Случайная величина X имеет нормированное нормальное распределение, X~N(0,1). Y – площадь квадрата со стороной X. Найти – плотность Y.

5.X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале (a,b). Y – площадь ромба со стороной X и острым углом 30. Найти плотность Y.

6.В первой корзине 40 белых и 8 красных яблок. Во второй 10 белых и 2 красных яблока. Из первой во вторую переложили 35 яблок. Затем из второй извлекли одно яблоко. Определить вероятность, что это яблоко белое.

7.В столе 12 дефектных и 5 годных плат. Извлекаются наудачу 2 платы и если надо ремонтируются и возвращаются в стол. После этого вновь наудачу извлекаются 2 платы. Определить вероятность того, что обе платы дефектные.

8.В столе 12 дефектных и 5 годных плат. Извлекаются наудачу 2 платы и если надо ремонтируются и возвращаются в стол. После этого вновь наудачу извлекаются 2 платы. Определить вероятность того, что одна плата дефектная.

10.Найти плотность распределения случайной величины Y=1, где X имеет плотность .

11.В 2-х корзинах находится соответственно M1 и M2 белых и N1 и N2 красных яблока. Из каждой корзины наудачу извлекается одно яблоко, а затем из этих двух яблок наудачу берется одно. Определить вероятность того, что это яблоко – белое.

13.Вероятность того, что акции, переданные на депозит будут востребованы равна 0,08. Оценить вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

14.Вероятность произрастания зерна равна 0.96. Оценить вероятность, что число не проращенных зерен из 2000 находится в границах от 60 до 100.

15.При приемке изделий, проверке подвергается половина изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака будет принята.

16.Сделано 2 вклада – 10000 руб. в компанию А и 15000 руб. в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от 2-х компаний через год.

18.Для проведения соревнования 16 команд разбиты на подгруппы (по 8 в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в различных подгруппах.

19.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры одинаковые. Номер телефона не начинается с нуля.

20.Нефтяная компания получила финансирование для проведения 10 нефтеразработок. Вероятность успешной разработки 0,01. Нефтяные разработки осуществляются независимо друг от друга. Найти математическое ожидание и дисперсию числа успешных разработок.

22.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры нечетные. Номер телефона не начинается с нуля.

23.Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-ом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказалось 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-ой. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины.

24.Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки вынимаются в порядке следования букв заданного слова «СТАТИСТИКА».

25.Распределение дискретной случайной величины X задано формулой P(X=k)=C/, к=0,1,2,… . Найти C, P(X=3).

26.Найти вероятность того, что из 10 книг, расположенных в случайной порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.

27.Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты по жребию на 2 подгруппы по 8 команд в каждой. Найти вероятность того, что 2 наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.

29.На плоскость с нанесенной на нее квадратной сеткой многократно случайным образом бросалась монета достоинством 5 руб. (2,5 см.). В 36% случаев монета не пересекала линии сетки. Оценить размер сетки.

32.Подбрасываются три игральные кости. Пусть событие А состоит в том, что на первой и второй костях выпало одинаковое число очков, событие В – одинаковое число очков выпало на второй и третьей костях, С – одинаковое число очков выпало на первой и третьей костях.

а)будут ли события А, В, С попарно независимы.

б)Независимы в совокупности.

33.Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания в мишень, но не свыше 4 выстрелов. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию числа произведенных выстрелов.

34.Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,6. Составить закон распределения числа выигрышей, найти математическое ожидание и дисперсию.

35.Вероятность того, что в библиотеке нужная студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки.

36.Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,7. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

37.Задана плотность распределения случайной величины X,

Найдите параметр А, математическое ожидание X, дисперсию X.

38. Задана плотность распределения случайной величины X,

Найдите параметр А, математическое ожидание X.

39.Наудачу взяты 2 положительных числа x, y, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того что сумма x+y не превышает 1, а произведение xy не меньше 0,09.

40.Два студента условились встретиться в определенном месте между 14 и 15 часами. Пришедший первым ждет второго в течении ½ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода.

42.Вероятность того, что студент сдает семестровые экзамены по алгебре, матанализу, физике равны соответственно 0,6; 0,7; 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдает студент.

43.Только один из n ключей подходит к данной двери. Найти вероятность того, что для открывания двери придется опробовать ровно k (k≤n) ключей.

44.Какова вероятность, что дни рождения 4-х человек из случайно выбранных 6 людей приходится на определенных месяца года?

45.Случайная величина ζ имеет ряд распределения:

ζ	1	0	β	2	3
P	0,2	α	2,5 α	0,3	1,5 α

Найти D ζ, если известно, что M ζ=1.

46.Плотность распределения величины ζ имеет вид:

Найти K, M ζ, P(-0,5< ζ<0,5), F

47.Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

48.Игра между А и В ведется на следующих условиях … первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести его к выигрышу с вероятностью … Определить вероятности выигрыша для А и В.

49.В урне имеется два шара – белый и черный. Производятся извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится черный шар, причем при извлечении белого шара в урну возвращается этот шар, и добавляются еще два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти опытах черный шар не будет извлечен.

51.Найти вероятность того, что дня рождения 6 человек придутся на разные месяцы года.

52.Игрок А поочередно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрыша В и С.

53.В урне имеетcя n шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений.

54.Предположим, что одна монета из 1000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается 10 раз, причем при всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность, что была выбрана монета с двумя гербами.

55.Урна содержит М занумерованных шаров с номерами от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события: А – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1,2,…,М; В – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения; С – нет ни одного совпадения номера шара и порядковый номер извлечения. Найти P(A), P(B), P(C).

57.Задана плотность распределения независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y:

Найти F(z), p(z), где z=X+Y.

58.Для выполнения некоторой работы необходимо сделать последовательность двух операций. Время выполнения 1-й – случайная величина Х имеет равномерное распределение на [1;3], время выполнения 2-й – случайная величина Y имеет равномерное распределение на [2;5]. X и Y – независимые случайные величины. Найти функцию и плотность распределения X+Y – времени выполнения всей работы.

59.Отеделений банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а)не более 200 клиентов; в)более 150 клиентов.

60.Среднее изменение курса акции компании в течении одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более чем на 3%.

61.В среднем 10% работоспособного населения региона безработные. Оценить вероятность того, что уровень среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9% до 11%.

62.Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. Найти границы, в которых с вероятностью не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 часов легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.

65.Задана плотность распределения случайной величины X:

Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.