7. Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации

   1. Общие положения

Расчет надёжности по статистическим данным может проводиться в процессе испытаний на надёжность, либо в условиях эксплуатации. Для определения показателей надёжности в этом случае необходимо получить : сведения об отказавшем блоке, узле, элементе; сведения о времени наступления отказа; сведения о причине отказа; сведения о наработке отдельных элементов, блоков, аппаратуры в целом; сведения о времени ремонта и о времени простоя. При расчете надёжности по данным о наработке составляется таблица потока отказов (таблица 7.1), в общем случае, представляющая простой статистический ряд, в котором статистические данные изменяются по величине беспорядочно. На основании этой таблицы строится вариационный ряд наработки данного устройства (таблица 7.2) в котором нумерация отказов делается такой, чтобы статистические данные возрастали с увеличением величины номера. Приведённые числовые значения в таблицах взяты из [4].

Таблица 7.11 - Простой статистический ряд по данным о наработке

Номер отказа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Наработка Т1, ч	37	53	86	65	2	15	18	69	77	5	6	25	21	3	119
Номер отказа	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Наработка Т1, ч	107	98	56	35	28	20	13	9	3	7	8	9	8	17	16

Таблица 7.12 - Вариационный ряд по данным о наработке

Номер отказа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Наработка Т1, ч	2	3	3	5	6	7	8	8	9	9	13	15	16	17	18
Номер отказа	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Наработка Т1, ч	20	21	25	28	35	37	53	56	65	69	77	86	98	107	119

При большем числе наблюдений весь диапазон значений отказов делится на интервалы времени Δt_iи подсчитывается количество отказовn_i, приходящихся на каждыйi-й интервал. Далее строится таблица (таблица 7.3), называемая статистическим рядом, в которой приводятся интервалы в порядке их расположения вдоль оси абсцисс (число отказов в интервале Δt_i) и оценки рассчитываемых показателей надёжности для каждого интервалаΔt_i. По данным этого ряда строятся гистограммы для оценивае­мых показателей надёжности: интенсивности отказовλ(t) и вероятности безотказной работыР(t) (рисунок 7.1).

Расчётные формулы для оценочных значений интенсивности отказовλ_iстат(t), для вероятности безотказной работыР_стат(t) и для вероятностей отказаF_стат(t) иF(t) даны втаблице 7.3.

Таблица 7.13 - Статистический ряд по данным о наработке

Δti , ч	0 - 20	20 - 40	40 - 60	60 - 80	80 - 100	100 - 120
ni	16	5	2	3	2	2
λi стат(t) 1/ч	0,0363	0,0218	0,0125	0,027	0,033	λi стат(t) = ni / {Δti  [n - n(t)]}
Pстат(t) = 1 - n(t) / N	0,46	0,3	0,23	0,13	0,070	t = ti нач. интервала + Δti / 2
Fстат(t) = 1 - Pстат(t)	0,54	0,7	0,77	0,87	0,930	l λср =∑ λi стат(t) / l = 0,026 i = 1
F(t) = 1 - ехр(-λсрt)	0,33	0,54	0,73	0,82	0,900

Интервал Δt_iпринят равным 20 ч. В дальнейшем построенные гистограммы аппроксимируются кривой, по виду которой можно ориентировочно установить закон распределения отказов путем сравнения с соответствующими теоретическими кривыми.

Ширина интервала должна быть не менее чем в два раза больше погрешности измерения параметра. Группировка данных в общем случае приводит к потере информации, но установлено, что для каждого закона распределения существует оптимальное число интер­валов гистограммы, при котором вид гистограммы оказывается наибо­лее близким к действительному виду кривой плотности распределе­ния. На практике можно пользоваться для выбора количества интервалов lтаблицей 7.4илитаблицей 7.5, рекомендованных стандартами. Количество интервалов при построении эмпирической кривой распределения может немного меняться для устранения зигзагообразности, провалов и т.п. [10].

Таблица 7.14 - Рекомендованные пределы для выбора количества интервалов [10]

n	25 .. 40	40 .. 60	60 .. 100	100	100 .. 160	100 .. 250	250 .. 400	400 .. 630	630 .. 1000
l	6	7	8	10	11	12	13	14	15

Таблица 7.15 - Рекомендованные стандартами пределы для выбора количества интервалов

n	50 .. 100	200	400	1000
l	10 .. 20	18 .. 20	25 .. 30	35 .. 40

Для случая, когда ширина всех интервалов статистического ряда Δt_iодинакова (Δt_i= Δt), её можно вычислить через размах варьированияR=t_MAX–t_MINпараметраtпо формуле

Δt = R / l = (t_MAX – t_MIN) / l. (7.1)

Любое значение показателя надёжности, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Приближенное, случайное значение показателя называет оценкой показателя.

К оценке х_статпараметрахпредъявляется ряд требований.

Оценка х_статпри увеличении числа опытов n должна приближаться к параметрух. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

С заданной точностью оценка х_статне должна обладать систематичес­кой ошибкой, т.е. необходимо, чтобы выполнялось условие равенстваМ(х_стат) значению случайной величиных:

М(х_стат) =х. (7.2)

Оценка, удовлетворяющая условию (7.2), при котором её матема­тическое ожидание равно оцениваемому параметру х, называется не­смещенной. При равноточных измерениях оценках_статможет быть вычислена как среднее арифметическое значение величинх₁,х₂, …,х_N.

(7.3)

В частности, статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1статвычисляют по формуле

(3.22)

Выбранная несмещенная оценка должна обладать по сравнению с другими наименьшей дисперсией, т.е.

D[х_стат] = min. (7.4)

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной [4]. Статистическая оценка среднеквадратичного отклонения σ_статот среднего арифметического значения связана с дисперсиейD[х_стат] соотношением

(7.5)

Если среди результатов независимых измерений n_iраз встречаются равные по величине значениях_i, тоn_iназывают частотойх_i. В этом случае можно сократить объём вычисленийх_стати], используя формулы:

(7.6)

(7.7)

где К- число групп (интервалов) с одинаковыми значениямих_i. Эти же формулы используют и в случае статистического интервального ряда, но тогда подх_iпонимают среднее арифметическое значениех_iстатпараметрахвi-ом интервале, а подn_i- количество измеренных значений, которые по величине попадают в указанный интервал.