Министерство образования и науки Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

___________________________________________________________

Кафедра вычислительных методов и программирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов радиотехнических специальностей

в двух частях

Часть 2

Минск 1995

УДК 519.2

Методические указания к практическим занятиям по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов радиотехнических специальностей в 2-х частях Часть 2/ Сост. А.В. Аксенчик, А.И. Волковец, Н.А. Волорова и др. - Мн.: БГУИР, 1995. - 47с.

Методические указания содержат задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по специальным курсам высшей математики: теории вероятностей и математической статистике. Темы практических занятий соот­ветствуют типовой рабочей программе курса «Теория вероятностей и матема­тическая статистика». Во всех разделах приводятся необходимые теорети­ческие сведения и решения типовых задач.

Составители: А.В.Аксенчик,

А.И.Волковец,

Н.А.Волорова,

А.В.Епихин,

В.П.Лозицкий

Ил. 7, табл. 9, список лит. — 10 назв.

ã Составление. А.В. Аксенчик

и др., 1995

Содержание

1. Многомерные слУчайные величины 5

2. Числовые характеристики многомерных случайных величин 10

3. Закон распределения функций случайных величин 14

4. Числовые характеристики функций случайных величин 18

5. ОЦЕНКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 21

5.1. Эмпирическая функция распределения 21

5.2. Гистограмма распределения случайной величины 22

27

6. Точечные ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ И ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 28

6.1. Примеры точечных оценок 28

6.2. Методы получения оценок параметров распределения 29

7. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 34

8. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 39

8.1 Критерий согласия c239

8.2. Критерий согласия Колмогорова 41

8.3 Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости 42

9. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ 47

ЛИТЕРАТУРА 50

ПРИЛОЖЕНИЕ 51

1. Многомерные слУчайные величины

Основные свойства многомерных случайных величин рассмотрим на примере двумерных случайных величин.

Функией распределения двумерной случайной величины называ­вается вероятность совместного выполнения двух событий {Х < х} и {Y < у}:

. (1.1)

Свойства двумерной функции распределеия:

1. 0 £ F(x, y) £ 1.

2. F(x, +¥) = F₁(x); F(+¥ , y) = F₂(у); F(+¥ ,+¥) = 1.

3. F(-¥ , y) = F(x, -¥ ) = F(-¥ , -¥ ) = 0.

4. F(x₁, y) £ F(x₂, y), если x₂ > x₁;

F(x, y₁) £ F(x, y₂), если y₂ > y₁.

Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.

Для непрерывных случайных величин существует плотность распределения или дифференциальный закон распределения:

. (1.2)

Свойства двумерной плотности.

1. f(x, y) ³ 0.

2. . (1.3)

3. . (1.4)

4. Условие нормировки

. (1.5)

5.;. (1.6)

Для дискретных случайных величин (X, Y) закон распределения задается матри­цей вероятностей, содержащей вероятности p_ij появления всех возмож­ных пар значений (x_i, y_j):

p_ij = P(X =x_i , Y = y_j ), (1.7)

удовлетворяющих условию

. (1.8)

Одномерные ряды вероятностей составляющих X, Y определяются по формулам

; (1.9)

. (1.10)

Условным законом распределенияназывается распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y определяются по формулам:

f(x/y) = f(x, y)/f₂(y), f₂ (y) 0; (1.11)

f(y/x) = f(x, y)/f₁(x), f₁ (x) 0. (1.12)

Условные ряды вероятностей для дискретных составляющих Х и Y определяются по формулам:

p_i/j = P(X = x_i/Y = y_j) = p_ij/P(Y = y_j), i = 1, ..., N; (1.13)

p_j/i = P(Y = y_j/X = x_i) = p_ij/P(X = x_i), j = 1, ..., M. (1.14)

Теорема умножения законовраспределений:

-для непрерывных величин

f(x, y) = f₁(x) × f(y/x) = f₂(y)×f(x/y); (1.15)

-для дискретных величин

. (1.16)

Условия независимостислучайных величин:

-для непрерывных

f(x, y) = f₁(x)f₂(y), (1.17)

-для дискретных

p_ij = p_i p_j , для " i, j. (1.18)

Пример 1.1. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена по закону, приведенному в таблице:

	xi
yj	x1 = 0	x2 = 0
y1 = -1	0,1	0,2
y2 = 0	0,2	0,3
y3 = 1	0	0,2

Определить одномерные ряды вероятностей величин X и Y, условный ряд вероятностей величины X при условии, что Y = 0. Исследовать зависимость случайных величин X и Y.

Решение. Определим ряды вероятностей X и Y по формулам (1.9) и (1.10), т.е. выполним суммирование по столбцам и по строкам:

xi	0	1		yj	-1	0	1
pi*	0,3	0,7		p*j	0,3	0,5	0,2

Условный ряд X при Y = 0 получаем по формуле (1.13):

xi	0	1
pi/Y=0	0,4	0,6

Величины X и Y зависимы, так как P(X = 0, Y = 0) ¹ P(X = 0)P(Y = 0), 0,2 ¹ 0,3 × 0,5.

Пример 1.2. Иглу длиной b бросают на плоскость, на которой на расстоянии L друг от друга проведены параллельные линии. Определить вероятность пересечения иглой одной из линий, если b < L (задача Бюффона).

Решение. Рассмотрим двумерную случайную величину (X, a), где X -расстояние от середины иглы до ближайшей линии, a - острый угол между иглой и линией.

Составляющая X распределена равномерно в интервале [0; L/2], а a распределена равномерно в интервале [0; p/2]. Тогда плотность распределения составляющей X: f₁(x) = 2/L, а составляющей a: f₂(a) = 2/p.

Согласно теореме умножения законов распределений (1.15) двумерная плотность равна f(x, a) = (2/L)×(2/p). Пересечение иглой одной из линий для заданного угла будет, когда 0 < X < (b/2)sina.

Тогда

.

ЗАДАЧИ

1.1. В двух ящиках находятся по шесть шаров; в первом ящике: один шар с номером 1, два шара с номером 2, 3 шара с номером 3. Во втором ящике: два шара с номером 1, три шара с номером 2, один шар с номером 3. Пусть X номер шара, вынутого из первого ящика, Y номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить матрицу вероятностей двумерной случайной величины X, Y. Найти одномерные ряды распределений составляющих X и Y.

Y X	x1 =1	x2=2	x3=3
y1=2	1/18	1/9	1/6
y2=3	1/12	1/6	1/4
y3=1	1/36	1/18	1/12

Ответ:

Одномерные ряды составляющих X и Y:

X	x1=1	x2=2	x3=3		Y	y1=2	y2=3	y3=1
	1/6	1/3	1/2			1/3	1/2	1/6

1.2. Двумерная случайная величина имеет закон распределения с плотностью

.

Область D - квадрат, ограниченный прямыми x = 0, x = 3, y = 0, y = 3.

Требуется определить коэффициент a; вычислить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2.

Ответ: a = 1, P = 1/9.

1.3. Двумерная случайная величина распределена по закону:

.

Найти коэффициент а, установить зависимость случайных величин X и Y.

Ответ: a = 1/p² , независимы.

1.4. Имеются две независимые случайные величины (X, Y), распреде­ленные по показательному закону:

Найти f(x, y), F(x, y).

Ответ: ;.

1.5. Положение случайной точки (X, Y) равновозможно в любом месте круга радиусом R, центр которого совпадает с началом координат. Определить плотность распределения и функцию распределения каждой составляющей X и Y . Выяснить зависимость X и Y.

Ответ: ,,X и Y независимы.