3. Закон распределения функций случайных величин

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y = j(X). Если X - непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле

, (3.1)

где f(·) - плотность вероятности величины X;

y_j(y) - обратные функции функции j(x);

k - число обратных функций для данного y.

Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g(y) по формуле (3.1) для каждого интервала.

Если X - дискретная случайная величина, принимающая значения x_i, то величина Y будет принимать дискретные значения y_i = j(x_i) с вероятностями p(y_i) = p(x_i).

Рассмотрим функцию двух случайных аргументов Y = j(X₁, X₂). Функция распределения G(y) величины Y определяется по формуле

, (3.2)

где f(x₁, x₂) - совместная плотность вероятности величин X₁ и X₂.

В формуле (3.2) интегрирование производится по области D, которая определяется из условия j(x₁, x₂) < y.

В случае, когда Y = X₁ + X₂, функция распределения

, (3.3)

а плотность вероятности

. (3.4)

Если величины X₁ и X₂ независимы, то

. (3.5)

Пример 3.1. Определить плотность вероятности величины Y = X², если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале (-1, 2).

Решение. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y (рис. 3.1):

Рис. 3.1

(-¥, 0) k = 0,

[0, 1) k = 2,

[1, 4) k = 1,

[4, +¥ ) k = 0.

Так как на интервалах (-¥, 0) и [4, +¥) обратная функция не существует, то g(y)=0.

В интервале [0, 1) две обратных функции: y₁(y) = +иy₂(y) = -. По формуле (3.1) получим

В интервале [1, 4) одна обратная функция y₁(y) = +, следовательно

.

Пример 3.2. Устройство состоит из двух блоков - основного и резервного. При отказе основного блока автоматически включается резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 часов, если время безотказной работы блоков случайно и распределено по показательному закону, а среднее время наработки на отказ - 10 часов.

Решение. Определим закон распределения вероятностей времени Y безотказной работы устройства:

Y = X₁ + X₂,

где X₁, X₂ - время безотказной работы блоков.

Величины X₁ и X₂ независимы и имеют одинаковую плотность вероят­ностей:

.

Вычислим величину l. Для показательного закона l = 1/m_x = 0,1.

Определим плотность вероятности Y по формуле (3.5):

Вычислим вероятность того, что Y > 10:

ЗАДАЧИ

3.1. Определить плотность вероятности величины Y = lnX, если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).

Ответ:

3.2. Определить плотность вероятности величины Y = |X|, если X - случайная равномерно распределенная величина со следующими характерис­тиками m_x = 1, D_x = 1.

Ответ:

3.3. Определить закон распределения вероятностей величины Y = sign(X₁ + X₂), если X₁ и X₂ - случайные величины, равномерно распределенные на интервалах (-1, 1) и (-1, 2) соответственно.

Ответ: P(Y = 1) = 2/3, P(Y = -1) = 1/3.

3.4. Случайная точка (X₁, X₂) равномерно распределена в квадрате с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 1) и (1, 0). Определить плотность вероятности величины Y = X₁×X₂.

Ответ: g(y) = -lny, 0 < y £ 1.