6. Точечные оценки параметров и числовых характеристик

Почти все распределения случайной величины зависят от одного и нескольких параметров. Например, плотность вероятности экспоненциального закона:

зависит от параметра l.

Статистической оценкой параметраQ распределения называется при­бли­жен­ное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке).

Статистические оценки делятся на точечные и интервальные. Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Желательно, чтобы оценка была несмещенной, состоятельной и эффективной.

1. Оценка называетсянесмещенной, если M[] =Q. Несмещенность ­минимальное требование к оценкам.

2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа n она сходится по вероятности к значению параметраQ:

где e- любое положительное число. Несмещенная оценка является состоятельной, если

3. Несмещенная оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки.

6.1. Примеры точечных оценок

1. Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним, вычисляется по формуле

(6.1)

2. Несмещенная состоятельная оценка дисперсии равна

(6.2)

3. Смещенная состоятельная оценка дисперсии

(6.3)

4. Несмещенная состоятельная оценка дисперсии

(6.4)

5. Состоятельная оценка среднеквадратического отклонения

(6.5)

6. Несмещенная состоятельная оценка корреляционного момента

(6.6)

где x_k, y_k - значения, которые приняли случайные величины X, Y в k-м опыте;

- средние значения случайных величин X и Y соответственно.

7. Состоятельная оценка коэффициента корреляции

(6.7)

8. Выборочный начальный момент k-го порядка определяется по формуле

(6.8)

9. Выборочный центральный момент k-го порядка равен

(6.9)

10. В случае неравноточных измерений несмещенная состоятельная оценка математического ожидания равна

, (6.10)

где D[x_i] - дисперсия случайной величины в i-м опыте.

11. Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности в схеме независимых опытов Бернулли:

p* = w =m/n, (6.11)

где m - число успешных опытов.

6.2. Методы получения оценок параметров распределения

Для вычисления приближенных значений параметров чаще всего применяются методы моментов и максимального правдоподобия.

Суть метода моментов заключается в следующем. Пусть имеется выборка {x₁ , ..., x_n } независимых значений случайной величины с известным законом распределения f( x, Q₁ , ..., Q_m ) и m неизвестными параметрами Q₁, ..., Q_m. Последовательность вычислений следующая.

1. Вычислить значения m начальных и/или центральных теоретических моментов

. (6.12)

2. Определить m соответствующих выборочных начальных и/или центральныхмоментов по формулам (6.8, 6.9).

3. Составить и решить систему из m уравнений, в каждом из которых приравниваются теоретические и выборочные моменты. Каждое уравнение имеет вид или.

Замечание. Часть уравнений может содержать начальные моменты, а оставшаяся часть - центральные.

Согласно методу максимального правдоподобия оценки получаются из условия максимума по параметрамQ₁ , ..., Q_m положительной функции правдоподобия L( x₁ , ..., x_n , Q₁ , ..., Q_m ).

Если случайная величина X - непрерывна, а значения x_i ­независимы, то

(6.13)

Если случайная величина X - дискретна и принимает независимые значения x_i с вероятностями

(6.14)

то функция правдоподобия равна

(6.15)

Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух видах:

(6.16)

или (6.17)

Пример 6.1. Пусть x_i - независимые значения случайной величины X, распределенной по экспоненциальному закону, т.е.

Необходимо получить оценку параметра l методом максимального правдоподобия.

Решение. Функция правдоподобия имеет вид

Тогда

Далее записываем уравнение

=0.

Отсюда получаем выражение для оценки параметра l:

Пример 6.2. Случайная величина X распределена по равномерному закону, т.е.

Необходимо определить оценки параметров a и b.

Решение. Составляем систему их 2-х уравнений:

Здесь

Подставив данные выражения в систему и решив ее, получим

ЗАДАЧИ

6.1. Имеется выборка объема n: x₁, ..., x_n из генеральной совокупности, распределенной по закону с неизвестным параметромa, т.е. с плотностью (x>0). Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра a.

Ответ:

6.2. Найти методом моментов по известной выборке x₁, ..., x_n оценку параметра Q случайной величины с плотностью .

Ответ:

6.3. Отобрано 5 телевизоров для контроля некоторых параметров. Результаты измерения напряжения источника питания в телевизорах: 12; 11,5; 12,2; 12,5; 12,3 В. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра m, если напряжение - случайная величина X, распределенная по нормальному закону .

Ответ: = 12,1 В.

6.4. Отобраны случайно 200 однотипных радиостанций. Время их работы до первого отказа характеризуется таблицей

Срок службы, ч	900-1100	1100-1300	1300-1500
К-во радиостанций,ni	10	120	70

Вычислить выборочное среднее , дисперсию, и среднее квадратическое отклонение S_* срока службы радиостанций до первого отказа.

Примечание. Если отдельные значения в ряде распределения повторяются по нескольку раз, то следует учесть частоту каждого повторения. Тогда выборочное среднее и дисперсию вычисляют по формулам

,

где x_i -среднее значение X в i-том интервале;

n_i - количество значений, попавших в i-тый интервал;

m- количество интервалов.

Ответ: =1260 ч,=12400 ч², =111.4 ч.

6.5. Определить методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения если вn₁ независимых опытах событие A появилось m₁ раз и в n₂ независимых опытах - m₂ раз.

Ответ: p = (m₁ + m₂)/(n₁ + n₂).