2. Числовые характеристики многомерных случайных величин

Рассмотрим основные числовые характеристики двумерной случайной величины (X, Y).

Начальный момент порядка k+s равен математическому ожиданию произведения X^k и Y^s:

. (2.1)

Центральный момент порядка k+s равен математическому ожиданию произведения центрированных величин и:

,

где ;

.

Расчетные формулы:

, (2.3)

, (2.4)

где p_ij - элементы матрицы вероятностей дискретной величины (X, Y);

f(x, y)-совместная плотность вероятности непрерывной величины (X, Y).

Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

a_0,0(x, y) = m_0,0(x, y) = 1; a_1,0(x, y) = m_x; a_0,1(x, y) = m_y;

m_1,0(x, y) = m_0,1(x, y)=0; a_2,0(x, y) = a₂(x); a_0,2(x, y) = a₂(y);

m_2,0(x, y) = D_x; m_0,2(x, y) = D_y; m_1,1(x, y) = K_xy.

Корреляционный момент Kxy характеризует степень линейной зависи­мости величин X и Y и рассеивание относительно точки (m_x, m_y).

Вычислить K_xy можно и через начальные моменты:

K_xy = a_1,1(x, y) - m_x×m_y. (2.5)

Коэффициент корреляции r_xy характеризует степень линейной зависи­мости величин

r_xy = . (2.6)

Для любых случайных величин |r_xy| £ 1.

Если величины X и Y независимы, то r_xy = 0.

Пример 2.1 Определить коэффициент корреляции величин X и Y (пример 1.1).

Решение. Определим математические ожидания величин X и Y по формуле (2.3):

m_x = a_1,0(x, y)= 0×0,1 + 0×0,2 + 0×0 + 1×0,2 + 1×0,3 + 1×0,2 = 0,7,

m_y = a_0,1(x, y)=×-1×0,1 - 1×0,2 + 0×0,2 + 0×0,3 + 1×0 + 1×0,2 = -0,1.

Найдем значение K_xy по формуле (2.5)

K_xy =-m_xm_y = 0×(-1)×0,1 + 0×0×0,2 + 0×1×0 +

1×(-1)×0,2 + 1×0×0,3 + 1×1×0,2 - 0,7×(-0,1) = 0,07.

Определим дисперсии величин X и Y по формуле (2.4):

D_x = m_2,0 (x, y)== (-0,7)×2×0,1 + (-0,7)×2×0,2 +

+ (-0,7)×2×0 + (0,3)×2×0,2 + (0,3)×2×0,3 + (0,3)×2×0,2 = 0,21,

D_y = m_0,2(x, y)== (-1,1)×2×0,1 + (-1,1)×2×0,2 +

+ (0,1)×2×0,2 + (0,1)×2×0,3 + (0,9)×2×0 + (0,9)×2×0,2 = 0,49. Значение коэффициента корреляции r_xy вычислим по формуле

. (2.6)

Пример 2.2 Двумерная случайная величина равномерно распределена в области D, ограниченной прямыми X = 0, Y = 0 и X + Y = 4. Определить коэффициент корреляции величин X и Y.

Решение. Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:

.

Определим c, используя условие нормировки (1.5):

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X по формулам (2.3) и (2.4) соответственно:

m_x = a_1,0 (x,y) = ;

D_x = m_2,0 (x,y)= .

Так как область D симметрична относительно осей координат, то величины X и Y будут иметь одинаковые числовые характеристики: m_x = m_y = 4/3, D_x = D_y = 8/9.

Определим корреляционный момент K_xy по формуле (2.5):

.

Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен (2.6):

.

ЗАДАЧИ

2.1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 3%, а вследствие дефекта B - 4.5%. Годная продукция составляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов A и B.

Ответ: r_ab = 0.669.

2.2. Число X выбирается случайным образом из множества (1,2,3). Затем из того же множества выбирается наудачу число Y, равное или большее X. Найти коэффициент корреляции X и Y.

Ответ: r_xy = 0,594.

2.3. Плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) равна

.

Найти коэффициент корреляции X и Y.

Ответ: r_xy = 0,091.

2.4. Плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) равна

.

Найти коэффициент корреляции X и Y.

Ответ: r_xy = 0.