2.2 Метод Гаусса

2.2.1 Описание метода Гаусса

Дадим сначала общее описание метод Гаусса для решении СЛАУ (2.2). Этот метод состоит из двух этапов, которые называются прямым и обратным ходом. В процессе прямого хода система уравнений путем исключения переменных приводится к так называемому верхнему треугольному виду. В процессе обратного хода находится решение системы.

Прямой ход состоит из шагов. На шагеисключается неизвестнаяиз всех уравнений, начиная со второго. На шагеисключаетсяиз всех уравнений, начиная с третьего. На любом-м шаге исключается, из всех уравнений, начинаяуравнения. На последнем шагеисключаетсяиз последнего уравнения. В результате выполнения прямого хода мы получаем систему уравнений с так называемой верхней треугольной матрицей коэффициентов.

Обратный ход позволяет последовательно получить неизвестные системы уравнений. Сначала определяют из последнего-го уравнения. Затем это значение подставляют в ()-е уравнение и определяют, и т. д., до определенияиз первого уравнения.

2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса

Получим расчетные формулы метода Гаусса. Начнем с прямого хода. Прямой ход базируется на том, что решение системы уравнений не изменится, если из некоторого уравнения вычесть любое другое уравнение, умноженное на некоторый коэффициент. Коэффициенты подбираются таким образом, чтобы при вычитании исключались определенные переменные.

На первом шаге для -го уравнения начиная свводится коэффициент

,

и из -го уравнения вычитается 1-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место-го. Это приводит к исключению переменнойиз-го уравнения. После этого шага система уравнений примет следующий вид:

где для всех– коэффициенты, полученные на первом шаге прямого хода. Они определяются следующими выражениями:

,

,

.

На втором шаге для -го уравнения начиная свводится коэффициент

,

и из -го уравнения вычитается 2-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Это приводит к исключению из-го уравнения переменной. После второго шага система уравнений примет вид

где – коэффициенты, полученные на втором шаге прямого хода. Они определяются выражениями

,

,

.

Вообще, на -м шаге для-го уравнения начиная свводится коэффициент

, (2.7)

и из -го уравнения вычитается-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место-го. При этом из-го уравнения исключается переменная. Коэффициенты системы уравнений на-м шаге пересчитываются по формулам

, (2.8)

, (2.9)

.

При происходит исключениеиз последнего уравнения, и окончательная верхняя треугольная система записывается следующим образом:

(2.10)

Теперь выполняется обратный ход. Видно, что из последнего уравнения можно сразу определить :

.

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим :

.

Для нахождения любой переменной применяется формула

.

Замечание. В процессе решения СЛАУ легко может быть получен определитель системы . Он равен произведению диагональных элементов матрицы верхней треугольной системы:

.

Алгоритм Гаусса реализуется по схеме, приведенной на рисунке 2.1, в том случае, когда блок № 5 «Выбор главного элемента» пропускается. Назначение этого блока описывается в п. 2.2.3.

Рисунок 2.1 – Схема алгоритма Гаусса