Предисловие ко второму изданию

Второе издание отличается от первого включением ряда новых вопросов и более детальным изложением некоторых существующих. В частности, дополнительно рассматриваются методы LU–разложения и квадратного корня решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), метод хорд решения скалярных нелинейных уравнений, вопросы анализа вычислительной сложности метода Гаусса решения СЛАУ и задачи интерполирования функций. Более детально рассматриваются полиномы Чебышева 1-го рода, ортогональные полиномы скалярной переменной, задача выбора наилучших узлов интерполирования. Добавлены схема алгоритма Гаусса решения СЛАУ и схема алгоритма расчета значения интерполяционного полинома Лагранжа в одной точке, полезные как для программной реализации этих методов, так и для анализа их вычислительной сложности. Исправлены замеченные опечатки.

1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений

1.1 Математические модели и моделирование

Построение любой технической системы или запуск любого производственного процесса начинается с их проектирования и исследования. На первой стадии проектирования обычно строится модель системы. Использование при проектировании технической системы ее модели называется моделированием. Можно выделить физические и математические модели реальных технических систем. Физическая модель системы воспроизводит реальную техническую систему, но в уменьшенных размерах. Физическое моделирование позволяет получить ответы на поставленные вопросы, но слишком медленным и дорогим способом. Подчас построить физическую модель не проще, чем реальную систему. Другой способ – построение математической модели технической системы. Математическая модель представляет собой математические соотношения, описывающие техническую систему. Это может быть функция , выражающая зависимость выходной переменной системыот входной переменной, или дифференциальное уравнение относительнои. Математическая модель должна правильно отражать важнейшие связи между переменными системы, т.е. должна быть адекватной реальной системе. В противном случае она будет бесполезной, а то и вредной, поскольку выводы на ее основе не будут соответствовать тому, что происходит в действительности. В то же время математическая модель должна быть достаточно простой, с тем чтобы ее исследование было не слишком трудоемким. Следующая стадия проектирования – это анализ или исследование полученной модели. Анализ физической модели состоит в загрузке построенной установки сырьем, запуске ее в работу и исследовании полученной продукции. Анализ математической модели заключается в получении общих и частных аналитических решений сформулированной математической задачи и их интерпретации. Аналитические решения можно получить для наиболее простых (наиболее грубых) моделей. Для более точных и более сложных моделей аналитические решения удается получить сравнительно редко. В этих случаях на помощь приходят численные методы, позволяющие получить частные численные решения практически любых задач. Получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов иногда называютимитационным моделированием реального процесса.

В данном пособии мы будем иметь дело с математическими моделями технических систем и процессов, а также численными методами решения задач по их исследованию на ЭВМ.