ZO-2010

зан с шириной щели a по формуле (2). Из условия задачи видно, что угол ϕ весьма мал. Поэтому для углов менее 5°

sinϕ » tgϕ = 2bl .

Отсюда, полагая, что в формуле (2) k = 1, имеем λ = ab . Подставив это значение
λ в (1), найдем							2l
			h2l
	υ =				.				(3)
			mab
Проверим наименование единицы измерения скорости в системе «СИ»
н.е.и. υ =	Дж × с × м		=	нм × с		=	кгм × мс	=	м	.
	кг × м × м			кг × м
							с2 × кгм		с

Произведем вычисления, предположив, что υ << c . Считаем электрон классической частицей, тогда m = m0 = 9,11·10–31 кг и расчет дает

	υ =	6,63×10−34 × 2 × 0,5	= 4,55·106 (м с).
		9,11×10−31 × 2 ×10−6 ×80 ×10−6

Так как в действительности масса движущегося электрона не меньше его массы покоя m0 , то истинное значение скорости υ , определяемое по (3), будет не

больше, чем вычисленное нами. Таким образом, предположение о том, что υ << c , соответствует действительности и, значит полученный результат правильный. Если бы полученный результат противоречил неравенству υ << c , это означало бы, что электрон следует рассматривать как релятивистскую частицу, масса которой зависит от скорости. Тогда, чтобы получить правильный ответ, надо подставить в

(3) вместо m её значение

	m =		mo
		1-		υ2
				c2

и решить квадратное относительно υ уравнение.

2. Исходя из соотношения неопределенностей, найти наименьшую неточ- ность х , с которой можно вычислить координату электрона в атоме во- дорода, если его средняя кинетическая энергия Eк в невозбужденном ато-

ме равна 2,18·10–18 Дж.

Дано

Eк = 2,18·10–18 Дж me = 9,1·10–19 кг

h= 6,63·10–34 Дж·с х – ?

Анализ и решение

Как следует из соотношения неопределённостей

DхDрх ³ h ,

где х , Dрх – неопределенности координаты и про-

екции импульса на ось Х микрочастицы, h – постоянная Планка, неточность координаты электрона в

101

	атоме водорода	h
	Dх ³		.	(1)
		Dрх		p (точнее его среднее квадратич-
	Величина рх неизвестна, однако сам импульс

ное значение) легко найти, так как нам известна средняя кинетическая энергия электрона. Так как Ek << m0c2 , то электрон можно считать нерелятивистской

частицей. Тогда его импульс р и кинетическая энергия áEк ñ связаны соотношением

áЕк ñ = mеυ2		=		mе2υ2	=		р2	.
е	2			2mе 2mе
Отсюда
	p =					.			(2)
			2meEк
Теперь сравним величины Dрх и p . Поскольку импульс									p – вектор, то по-

следняя формула позволяет лишь вычислить модуль этого вектора, тогда как его направление остается неизвестным. Поэтому проекция импульса px на ось Х ока-

зывается неопределенной: её величина лежит в интервале (– p , p ). Это значит, что

неопределенность проекции импульса на ось Х равна

рх = 2 р или рх ~ p ,

то есть величины Dрх и p одного порядка. Поэтому, заменив Dрх в формуле (1) величиной p и учитывая соотношение (2), получим ответ

Dх ³

h

=

h

.

р

2mе áЕек ñ

Произведя вычисления, найдем

Dх ³

6,63×10−34

= 3,3·10

–10

(м).

2 ×9,1×10−31 × 2,18 ×10-18

Следовательно, наименьшая, допустимая соотношением неопределенностей минимальная неточность ( х ), с которой можно определить координату электрона в атоме водорода, есть величина порядка 10–10 м.

ЗАДАЧИ

441.Найти длину волны де Бройля λД для электрона, обладающего кинетической энергией Eк 1) 100 эВ; 2) 3,00 MэВ.

442.Приняв, что минимальная энергия E нуклона в ядре равна 10,0 эВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры l ядра.

443.Какую энергию необходимо сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны λД уменьшилась от 100 до 50,0 пм?

102

444. Электрон в атоме водорода движется по первой боровской орбите. Неопределенность скорости υ электрона составляет 10 % от её числового значения. Определить неопределенность координаты х электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?

445. Электрон обладает кинетической энергией Eк = 1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля λД , если кинетическая энергия электрона уменьшится в два раза?

446.Используя соотношение неопределенностей, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Принять радиус ядра rя = 1,00·10–13 см.

447.Найти длину волны де Бройля λД электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов ϕ : 1) 1,00 кВ; 2) 1,00 МВ.

448. При какой относительной погрешности L / L момента импульса электрона на первой боровской орбите его угловая координата ϕ окажется совершенно неопределенной?

449.Определить, при каком числовом значении кинетической энергии Eк длина волны де Бройля λД электрона равна его комптоновской длине волны λК .

450.Атом испустил фотон с длиной волны λ = 600 нм. Продолжительность

излучения τ = 20,0 нс. Определить наибольшую неточность λ , с которой может быть измерена длина волны излучения.

Тема 26. Строение атомных ядер. Модели ядра. Дефект массы. Энергия связи ядра. Ядерные реакции

			Примеры решения задач
	1. Вычислить энергию связи Eсв и дефект массы m ядра гелия 24 He .
	Дано		Анализ и решение
			Опытным путем было установлено, что масса покоя
Не – гелий			ядра mя всегда меньше суммы масс покоя составляющих
ma	= 6,6443·10–27 кг		его нуклонов. Но так как всякому изменению массы
mH = 1,6736·10–27 кг			должно соответствовать изменение энергии, то, следова-
mn	= 1,6721·10–27 кг		тельно, при образовании ядра должна выделяться опре-
			деленная энергия. Энергия равная работе, которую нужно
Eсв	– ? m – ?
			совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны

(протоны и нейтроны) и удалить их друг от друга на расстояния, при которых они практически не взаимодействуют, называется энергией связи ядра Eсв

Есв = с	2	é	ù	- mя},
		{ëZmр + (A - Z)mn û

103

здесь c – скорость света в вакууме;mp , mn , mR – соответственно массы протона,

нейтрона и ядра; Z – количество протонов в ядре; A – массовое число (число нуклонов в ядре); (A − Z) = N – число нейтронов в ядре.

Это соотношение практически не нарушится, если заменить массу протона mp массой атома водорода mН , а массу ядра mR – массой атома mА . Указанная заме-

на будет означать добавление к уменьшаемому и вычитаемому выражениям, стоящим в фигурных скобках, одинаковой величины, равной Zme где me – масса элек-

трона

ZmH − ma = Z(mp + me ) − (mя + Zme ) = Zmp − mя .

Тогда	= с2 {[Zm		] - m	}.
Е		+ (A - Z)m			(1)
св	H	n	a

Это соотношение удобнее предыдущего, потому что в таблицах даются обычно не массы ядер mя , а массы атомов ma .

Величина

é	ù	- mя	,
Dm = ëZmp + (A - Z )mn û
или
Dm = [ZmH + (A - Z)mn ]		- ma	(2)

называется дефектом масс ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра.

В состав ядра 42 He , входят два протона ( Z = 2) и два нейтрона ( A– Z ) = 2. Подставляя эти величины в формулу (1) получим

Есв = 9×1016 éë2×1,6736×10−27 + 2×1,6721×10−27 - 6,6443×10−27 ùû = 4,239 ×10−12 ( Дж).

Рассчитаем дефект масс по формуле (2)

Dm = éë2 ×1,6736 ×10−27 + 2 ×1,6721×10−27 - 6,6443×10−27 ùû = 4,71×10−29 (кг).

Ответ: энергия связи ядра гелия Eсв = 4,24·10–12 Дж, дефект масс

m= 4,71·10–29 кг.

Вядерной физике часто пользуются внесистемной единицей энергии, при которой значение энергии системы численно равно значению её массы. Она называется атомной единицей энергии (а.е.э) и её можно определить с помо-

щью соотношения ε = mc2 : 1 а.е.э. = 1 а.е.м.·с2 = 1,66·10-27·кг (3·108)2 м2/c2 =

= 1,49·10-10 Дж = 931 МэВ.

Массу частиц в ядерной физике принято выражать в атомных единицах массы (а.е.м.), являющейся так же внесистемной единицей измерения. За 1

а.е.м. принята 1/12 массы изотопа углерода 126 C:

1 а.е.м. = 1,6605655·10–27 кг.

104

2. Определить энергию E ядерной реакции деления ядра азота нейтронами 14 N(n, p)14 C , если энергия связи ядра азота Есв N = 104,66 МэВ и ядра угле- рода Есв С = 105,29 МэВ.

Дано

Есв N = 104,66 МэВ Есв С = 105,29 МэВ

Едел – ?

Анализ и решение

Согласно условию задачи здесь нужно применить не стандартное решение с использованием таблиц масс ядер, а решение с использованием данных энергий связи. В ядерной реакции

147 N + 01n = 146C + 11H

число нейтронов (N = A − Z = 8) а и число протонов ( Z = 7) не изменяется. По-

этому, если представить энергию покоя ядра как разность энергий свободных нуклонов и энергии их связи

E0 = c2 (Zmp + Nmn ) −Wсв ,

то энергии свободных нуклонов в уравнении закона сохранения энергии

Eдел = (WN +Wn ) − (WC +Wp )

взаимно уничтожатся. Действительно,

Eдел = [c2(7mp + 7mn + mp ) − EсвN ] −[c2 (6mp + 8mn + mp ) − EсвC ] = EсвC − EсвN ,

то есть энергия в ядерной реакции выделяется в виде тепла за счет изменения энергии связи ядра. Подставив данные в задаче величины, получим

Eдел = 105,29 – 104,66 = 0,63 (МэВ).

ЗАДАЧИ

451. При бомбардировке изотопа 63 Li дейтонами 21 H образуются две

α -частицы тия.

4

2

Hе и выделяется энергия E = 22,3 МэВ. Найти массу изотопа ли-

452.Какая энергия связи Eсв выделится при образовании m = 1,00 г гелия 42 H из протонов и нейтронов.

453.При соударении α -частицы с ядром бора 105 В произошла ядерная реакция

врезультате которой образовалось два новых ядра. Одно из них – ядро атома во-

дорода 11 H . Определить порядковый номер Z и массовое число A второго ядра. Записать ядерную реакцию и определить её энергетический эффект.

454. При бомбардировке с помощью α -частиц бора 115 В наблюдается вылет

нейтронов. Написать уравнение ядерной реакции, приводящей к вылету одного нейтрона. Каков энергетический выход E этой реакции?

455. Определить массу m изотопа 157 N , если изменение массы m при образовании ядра 157 N составляет 0,2508·10–27 кг.

105

456.Найти энергию реакции 94 Be+ 11 H → 42 He+ 63 Li, считая, что кинетические энергии и направления движения ядер неизвестны.

457.Какую наименьшую энергию связи Eсв нужно затратить, чтобы оторвать

один нейтрон от ядра азота 147 N ?

458.При отрыве нейтрона 01n от ядра гелия 42 Hе образуется ядро 23 Hе . Определить энергию связи Eсв , которую необходимо для этого затратить.

459.Определить энергию связи Eсв бериллия 94 Ве и полную выделившуюся

энергию E , если при реакции 94 Be+ 21 H → 105 Be+ 01n подверглись превращению все ядра, содержащиеся в 1,00 г бериллия.

460. Вычислить дефект массы m и энергию связи Eсв ядра изотопа лития

37Li .

Тема 27. Радиоактивное излучение и его виды. Закон радиоактивного распада

Примеры решения задач

1. Определить число ядер, которые распадутся за 10,0 минут и за 10 суток

	в радиоактивном препарате иода 13153 I массой m = 10–10 кг. Период полурас-
	пада иода T = 8,00 суток.
	Дано		Анализ и решение
	t1 = 10,0 мин, t2 = 10,0 сут		Самопроизвольное превращение	одних
	m = 10–10 кг, T = 8,0 сут		атомных ядер в другие, сопровождаемое ис-
	N1 – ?		пусканием элементарных частиц, называется
			радиоактивным распадом. Закон, по которо-
	N2 – ?
			му происходит распад, описывается формулой
			dN = −λNdt ,	(1)

где dN – число ядер, распавшихся за промежуток времени от t до (t + dt) , N –

число ядер, нераспавшихся к моменту времени t , λ – постоянная радиоактив-

ного распада; знак минус указывает, что общее число радиоактивных ядер в процессе распада уменьшается. Интегрируя это уравнение, получим

N = N0e−λt ,	(2)
где N0 – число радиоактивных ядер в момент t	= 0.

Время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое, называется периодом полураспада T . Период полураспада и постоянная распада связаны соотношением

Tλ = ln 2 .

(3)

106

Так как период полураспада радиоактивного иода намного больше времени t1 , то можно считать, что в течение этого промежутка времени число нераспав-

шихся ядер N остается практически постоянным и равным их начальному числу N0 . Тогда для нахождения числа распавшихся ядер N1 применим закон радио-

активного распада (1), записав его так

N1 = −λN t1 ,

или, учитывая (3),

DN1 = lnT2 N0Dt1.

Чтобы определить начальное число ядер (атомов) N0 , умножим постоянную Авогадро NA на число молей ν , содержащихся в данном препарате:

N

= N ν = N

m0

,

(4)

A M

0

A

131 I,

где m

– начальная масса препарата,

M –

молярная масса иода

численно

0

53

равная (приблизительно) его массовому числу. С учетом (4) получим

DN = ln 2

N

m0

Dt .

1

T

A M

1

Произведем вычисление с учетом, что ln 2= 0,693, в результате

DN =

0,693

23

10-10

9

(ядер).

6,02 ×10

600 = 277 ×10

6,91×105

131×10-3

1

Во втором случае время

t2 и период полураспада иода – величины одного

порядка, и дифференциальная форма закона радиоактивного распада (1) здесь неприменима. Поэтому для решения задачи воспользуемся интегральной формой (2) закона, справедливой для любого промежутка времени. Тогда получим

DN2 = N0 - N = N0 (1- e-λt ) ,

или, учитывая (3) и (4),

		m		-ln 2Dt2
	DN2 = NA	0	(1- e	T	).
		M

Подставим числовые значения данных величин в системе «СИ» и произведем вычисления

		23 10-10		-	0,693	8,64×105
					6,9110× 5		12
DN2	= 6,02 ×10			(1- e			) = 266 ×10	(ядер).
		131-3

Ответ: число распавшихся ядер за время за 10 минут – 277·109, за 8 суток –

266·1012.

ЗАДАЧИ

461. Каков возраст t урановой руды, если известно, что на массу m = 1,00 кг

урана 23892 U приходится масса m = 320 г свинца 20682 Рb? Считать, что весь свинец является конечным продуктом распада уранового ряда.

107

462.Определить массу m изотопа 13153 I, имеющего активность A = 37,0 ГБк. Сколько атомов этого препарата распадется за время 5 суток?

463.Некоторое число атомов N* радона помещено в замкнутый сосуд. По-

строить кривую зависимости изменения числа атомов N / N* радона в сосуде от времени в интервале 0 ≤ t ≤ 20 суток через каждые 2 суток. Постоянная распада радона λ = 0,181 сут–1. Из графика найти период полураспада T1/ 2 радона.

464. Изменение во времени массы изотопа радиоактивного кальция характеризуется следующей таблицей:

Время наблюдения t , сут	0	20	40	60	80	100
Масса препарата m , г	1,0000	0,9126	0,8398	0,7704	0,7112	0,6500

Из графика зависимости ln m = f (t) найти период полураспада изотопа кальция.

465.В образцах урановой руды всегда содержится некоторое количество атомов тория-234, образовавшихся в результате α -распада урана-238. Торий также радиоактивен. Сколько атомов тория содержится в образце урановой руды, содержащего m = 0,50 г урана-238? (Период полураспада тория равен 24 суткам).

466.Флюоресцирующий экран площадью S = 0,03 см2 находится от пылинки

радия 22688 Rа массой m = 18,0 нг на расстоянии r = 1,00 см. Сколько вспышек возникнет на экране за время t = 60,0 c?

467.Масса радиоактивного изотопа фосфора 3215 Р m = 1,00 мг. Определить число N ядер, распадающихся в течение времени: 1) t1 = 1,00 мин; 2) t2 = 5 сут.

468.Радий помещен в замкнутый сосуд. Через какое время t число атомов ра-

дона N будет отличаться на 10 % от числа атомов радона N* , соответствующего радиоактивному равновесию радия с радоном? Построить зависимость изменения

N / N* в сосуде от времени t в интервале 0 ≤t ≤ 6 T1/ 2 . За единицу времени принять период полураспада радона T1/ 2 . Для расчета воспользоваться формулой

NRn = No Ra (1− e−λRnt )λRa /λRn .

469. Радиоактивный препарат 2760 Со распадается по β -распаду. Какой элемент образуется? Сколько граммов m2 этого элемента образуется за 2,65 года из m1 = 1 10–10 кг радиоактивного кобальта?

470. Крупинка с радием 22688

Rа , находится на расстоянии r = 1,20 см от флюо-

ресцирующего экрана. Какую массу m имеет крупинка, если на площади экрана S = 0,602 см2 в течение t = 1,00 мин было зарегистрировано n = 47 сцинтилляций?

108

ПРИЛОЖЕНИЕ

d l

d l

l

I1 I2

I2

Рис. 3.1

Рис. 3.2

I2 l

I1

r b r

Рис. 3.3

	Р
S′′	θ

			x
d		ϕ
S
S′			Q2
a		b
	l		Э
	Рис. 4.1

109

			S
			Э
	S1	α	r
			xmin
	d	2α	а
			O
	S2

Рис. 4.2

α

γ

nж α′б

nст

Рис. 4.3

110