ZO-2010

Тема 14. Электрический ток. Закон Ома для однородного и неоднородного участков электрической цепи. Работа и мощность постоянного тока.

Закон Джоуля – Ленца

Пример решения задач

1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 3,00 А в течении времени τ = 10,0 с. Определить зарядQ , прошедший в проводнике.

Дано

I = I0 + kt

I0 = 0

I= 3,00 А

τ= 10,0 с

Q = ?

Анализ и решение

Так как сила тока в проводнике изменяется со временем, то воспользоваться для подсчета заряда формулой Q = It нельзя.

Поэтому возьмем дифференциал заряда dQ = Idt и проинтегри-

руем:

τ

Q = òIdt .

0

Подставим в эту формулу выражение для тока, как функцию времени

τ	τ	τ
Q = ò(I0 + kt)dt =I0	òdt + kòtdt .
0	0	0

Полученное выражение проинтегрируем по времени

Q = (I	0	t + k t2 )		τ	= (I τ + k τ 2 ) .
		2			0	2
				0

Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы если заметим, что при t = 10,0 c, I = 3,00 A

k= (I − I0 ) = 3,00 = 0,30 A/c.

τ10,0

Проверим наименование единицы измерения заряда в системе СИ

н.е.и. Q = A× c + A×cc2 = Кл .

Подставив значения физических величин в формулу (1), найдем

Q = 0 ×τ + 0,30 (10,0)2 =15,0 Кл. 2

Ответ: заряд, прошедший по проводнику Q = 15,0 Кл.

(1)

I = I0 + kt ,

2. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 12,0 Ом равномерно убывает в течение времени t = 2,00 с от I0 = 5,00 А, до I = 0. Какое количество теп-

лоты Q1, выделяется в этом проводнике за первую секунду, и Q2 – за вто- рую?

51

Дано

I = I0 − kt

R = 12,0 Ом

I0 = 5,00 А I = 0

t = 2,00 с

Q1 = ? Q2 = ?

сывается в виде

Анализ и решение

Прохождение электрического тока по проводнику сопровождается выделением в нем тепла. При постоянном токе количество теплоты, выделившееся в проводнике, определяется по закону Джоуля–Ленца

Q = I 2Rt .

Если сила тока в проводнике изменяется, то данный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и запи-

			dQ = I 2Rdt ,			(1)
где сила тока I является функцией времени. В данном случае
гдеk			I = I0 − kt ,
	– коэффициент пропорциональности, равный отношению приращения силы
тока	I к интервалу времени t , за который произошло это приращение
			k =	DI	.
Для нашего случая				Dt
	k =	I0 - I	= k = 5,00 - 0			= 2,50 А/с.
		t
			2,00

Подставим зависимость силы тока от времени в формулу (1)

dQ = (I0 - kt)2 Rdt .

Для определения количества теплоты, выделившегося за данный промежуток времени, проинтегрируем полученное выражение в пределах от t1 до t2

t

R

t

R

(I0 - kt)3

t2

Q = ò2

(I0 - kt)2 Rdt = -

ò2

(I0 - kt)2 d(I0 - kt) = -

×

.

k

3

t

k t

t

1

1

1

Или

R

Q = -

é(I

- kt

)3

- (I

- kt )3

ù .

(2)

3k ë

0

2

0

1

û

Проверим наименование единицы измерения теплоты в системе СИ

Ом × с

3

В × с

2

В × с × Кл

н.е.и. Q =

А

× А

=

А

×

А =

с

= В

× Кл = Дж .

При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду пределы интегрирования в формуле (2) t1 = 0, t2 = 1 c и, следовательно

Q1 = - 312,0× 2,50 éë(5,00 - 2,50 ×1,00)3 - (5,00 - 2,50 ×0)3 ùû = 175 Дж.

За вторую секунду пределы интегрирования в формуле (2) t1 = 1 с, t2 = 2 c и, следовательно

52

Q = -	12,0	é(5,00 - 2,50 × 2,00)3 - (5,00 - 2,50 ×1,00)3 ù = 25,0 Дж.
2	3× 2,50	ë					û
Найдем требуемое отношение количеств теплоты
			Q2	=		25	=	1	.
			Q		175
							7
		1

Таким образом, за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз меньше, чем за первую секунду.

Ответ: за первую секунду в проводнике выделилось Q1 = 25 Дж, за вторую секунду Q2 = 175 Дж. Соответствующее отношение количеств теплоты – 1/7.

ЗАДАЧИ

261. Сила тока в проводнике уменьшается по закону I(t) = I0e−at , где I0 = = 10 А, a = 0,1 с–1. Определить заряд Q , прошедший в проводнике в интервале времени от t1 = 2 c, до t2 = 5 c.

262.Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от I0 = 0 до некоторого максимального значения Imax в течение времени τ = 15 c. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q = 1 кДж. Определить скорость нарастания тока dIdt в проводнике, если сопротивление его R = 3 Ом.

263.На участке цепи сопротивлением R = 3 Ом напряжение изменяется по закону U (t) = U0 /(1+ αt), где U0 = 12 В, a = 1,5 с–1. Определить заряд Q , прошед-

ший по проводнику в интервале времени от t1 = 0 c, до t2 = 2 c.

264.К источнику тока с э.д.с. ε = 1,5 В присоединили сопротивление R =

=0,1 Ом. Амперметр показал силу тока I1 = 0,5 А. Когда к источнику тока присое-

динили последовательно еще один источник тока с такой же э.д.с, то cила тока в том же сопротивление стала I2 = 0,4 А. Определить внутренние сопротивления r1 и

r2 первого и второго источников тока.

265. Ток в проводнике изменяется со временем t по уравнению I(t) = (2 + 12 t)2 , где I измеряется в амперах, t – в секундах. Какой заряд Q проходит через поперечное сечение проводника за время от t1 = 0,5 с до t2 = 2,5 с? При каком постоянном токе I0 через поперечное сечение проводника за то же время проходит такой же заряд?

266. Имеется N одинаковых гальванических элементов с э.д.c. ε и внутренним сопротивлением r каждый. Из этих элементов требуется собрать батарею, состоящую из нескольких параллельно соединенных групп, содержащих по n последовательно соединенных элементов. При каком значении n сила тока I во

53

внешней цепи, имеющей сопротивление R , будет максимальной? Чему будет равно внутреннее сопротивление батареи RБ при этом значении n ?

267.Найти заряд Q , который прошел через поперечное сечение проводника в

интервале времени от t1 = 4 c, до t2 = 6 c, если в течении времени τ = 10 с сила тока в нем уменьшилась от I0 = 10 А до I1 = 5 А по линейному закону.

268.Сила тока в проводнике сопротивлением R = 12,5 Ом равномерно возрас-

тает от I0 = 0 до некоторого максимального значения Imax в течение времени τ	=
5 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q	=

= 7,5 кДж. Найти среднюю силу тока áIñ в проводнике за этот промежуток времени.

269. К батарее аккумуляторов c э.д.с. ε = 8 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, присоединен проводник. Определить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность, выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность P , которая при этом выделяется в проводнике.

270. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 100 Ом изменяется по закону I(t) = I0 (1− e−at ) , где I0 = 5 А, a = 0,15 с–1. Определить количество теплоты Q ,

выделившееся в проводнике в интервале времени от t1 = 1 c, до t2 = 3 c.

54

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 3

Студент-заочник должен решить семь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра, (табл. 3).

									Таблица 3
Вариант				Номера задач
0	310	320	330		340		350	360		370
1	301	311	321		331		341	351		361
2	302	312	322		332		342	352		362
3	303	313	323		333		343	353		363
4	304	314	324		334		344	354		364
5	305	315	325		335		345	355		365
6	306	316	326		336		346	356		366
7	307	317	327		337		347	357		367
8	308	318	328		338		348	358		368
9	309	319	329		339		349	359		369

Тема 15. Магнитное поле в вакууме. Закон Био–Савара–Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей. Индукция магнитного поля прямолинейного и кругового проводников с током

Пример решения задач

Проводник, по которому течет ток I = 5,00 А, имеет вид, показанный на рисунке. Радиус изогнутой части проводника R = 10,0 см, прямолинейные части проводника очень длинные. Определить индукцию магнитного поля созданного током в центре полукольца.

Дано		Z		I
I = 5,00 А			I		I
R = 10,0 см
					2
B – ?		О	R	А			I	X
			r			3
		I
		У 1	B2
			Рис. 1

55

Анализ и решение

Для вычисления индукции магнитного поля воспользуемся законом Био– Савара–Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. В силу этого прин-

ципа магнитная индукция B в любой точке магнитного поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций dB , созданных в этой точке всеми

его элементами Idl , то есть
В = òdB,	(1)
l

где l означает, что интегрирование распространяется на всю длину проводника. Из принципа суперпозиции полей следует также, что если магнитное поле соз-

дано несколькими проводниками с током, то вектор B в какой-либо точке этого поля равен векторной сумме индукций магнитных полей, созданных в этой точке каждым током в отдельности

r	N r
B = åBi .		(2)

i=1

Чтобы получить правильный результат, применяя соотношения (1) и (2), необходимо знать направления складываемых векторов dB или Bi .

Разобьем проводник с током на три участка: два прямолинейных отрезка 1 и 3, ограниченных с одного конца, и полукольцо 2. Согласно (2), индукция магнитного поля в центре полукольца будет равна

BA = B1 + B2 + B3 .

Рассмотрим участок проводника 1 (см. рис. 2). Выделим на нем элемент тока

									dB
			О			R		α
	С								А
							dα
	Idl	α			r
	N
		D
			Рис. 2
	Idl и запишем закон Био–Савара–Лапласа в векторной форме
	r		μ	I	r	r
	dB	=	0		édl	r ù	,			(3)
			4π r3
	1				ë	û

здесь dB1 – индукция магнитного поля, создаваемая элементом провода dl с током I в точке, определяемой радиус-вектором r , μ0 – магнитная постоянная, dl

– вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r – модуль радиуса-вектора r .

56

Как следует из (3), вектор dB1 перпендикулярен к плоскости, содержащей векторы dl и r . Направление dB1 можно найти по правилу правого винта: если поступательное движение винта совпадает с направлением тока в элементе, то направление вращения винта укажет направление вектора dB1 в данной точке.

Поскольку у нас проводник с током и точка A, в которой определяется B1, лежат в одной плоскости, все элементарные векторы dB1 направлены вдоль одной прямой (см. рис. 1). Тогда выражение (1) можно переписать в скалярной форме.

	ò		ò	4π r2
В =		dB =		μ0I	dl sinα ,	(4)
1		1
	l		l
где α – угол между векторами dl		и r .

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы в нем была одна переменная, например, угол α . Из прямоугольного треугольника ОАС можно выра-

	зить модуль радиуса-вектора	R		R
	r =		=		.	(5)
		sin(π -α )
				sinα

Для определения dl проведем дугу СД радиуса r с центром в точке A и найдем ее длину по формуле CД = r dα , где dα – центральный угол, лежащий напротив дуги. Так как участок провода с током CN = dl мал, то дугу можно заменить её хордой. Получившийся треугольник СДN можно считать прямоугольным и из него, с учетом (5), следует

dl =

СД

=

r dα

=

r dα

=

R

dα .

sin(π − α )

sin(π −α )

sin2 α

sinα

Подставим в формулу (4) полученные значения r и dl

B = α2

μ0I

sin2 α

R dα

sinα = α2

μ0I

sinα dα =

μ0I

(−cosα)

α1

1

ò

4π R2

sin2 α

ò 4π R

4π R

α

2

α1

α1

Так как участок проводника ограничен с одной стороны, то угол α меняется от

α = π		до α	2	= π . В результате получим
1	2
						μ0I	(cosπ − cosπ ) =	μ0I
				B	=				.
						4π R
				1			2	4π R
	Рассмотрим участок проводника 3. Как следует из закона Био–Савара в ска-
лярной форме (4), угол, образованный любым элементом тока										I dl и радиус-
вектором r ,				проведенным	от элемента в точку			A, равен π .		Следовательно,
sin(dl ^		r
		r ) = 0 и dB3 = 0 . Отсюда следует, что и B3 = 0 , то есть, участок 3 в точке

А магнитного поля не создает.

Рассмотрим участок проводника 2. Выделим на нем элемент тока I dl . Вектор dB2 , в соответствии с законом Био–Савара и правилом правого винта, в точке A будет перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен к нам (см. рисунок).

57

По причине, указанной выше, туда же будет направлен и вектор Угол, образованный элементом тока I dl и радиус-вектором

r , равен	π		r
	2	. Следовательно, sin(dl ^	r )

dB2 будет равен

dB2 =

=1 Тогда модуль

μ0I2 dl .

4π R

B2 (см. рис. 1).

2 dB2

R	r

АdB2

Согласно принципу суперпозиции, индукция B2 в точке A определяется интегрированием

π R

μ

I

μ

I

π R

μ

I

B =

ò

0

dl =

0

l

=

0

.

2

4π R2

4π R2

0

4R

0

Векторы B1 и B2 взаимно перпендикулярны (см. рис. 1), следовательно

æ

μ0I

ö2

æ

μ0I

ö2 .

B = B2

+ B2

=

+

ç

ç

1

2

÷

÷

è

4π R ø

è

4R ø

Итак

μ0I

B =

1

+1 .

4R

π 2

Проверим наименование единицы измерения индукции магнитного поля в системе СИ

	н.е.и. B =	Гн × А	=	Вб × А	=	Тл × м2	= Тл .
		м × м		А× м × м		м2

Подставим числовые значения физических величин и сделаем вычисления. Ответ: индукция магнитного поля в точке A равна 6,0·10–6 Тл.

ЗАДАЧИ

301. Тонкой ленте шириной l = 50 см, придали форму цилиндра радиуса R = = 20 см. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток силой I = 250 А. Найти напряженность магнитного поля H в точке A, расположенной на оси трубки в площади основания цилиндра.

302. Проводник, имеющий форму квадрата со стороной a = 20 см, находится в вакууме. По нему течет ток силой I = 15 А. Определить величину индукции магнитного поля B0 в точке пересечения диагоналей квадрата. Сравнить с величиной

индукции магнитного поля B1 в центре кругового провода с таким же током, если его длина равна длине окружности, вписанной в квадрат.

303. В вакууме по двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам, расположенным на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут токи силой I1 = 50 А и

58

I2 = 100 А в противоположных направлениях. Определить индукцию магнитного поля B в точке A, удаленной на расстояние r1 = 25 см от первого и на r2 = 40 см от второго провода.

304. Два бесконечно длинных прямых провода в вакууме скрещены под прямым углом. По проводам текут токи силой I1 = 60 А и I2 = 80 А. Расстояние d

между проводами равно 15 см. Определить индукцию магнитного поля B в точке A , одинаково удаленной от обоих проводников на расстояние r1 = r2 = 7,5 см.

305. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи силой I1 = 20 А и I2 = 30 А в одном направлении. Расстояние d между проводами

равно 10 см. Вычислить напряженность магнитного поля H в точке A, удаленной от обоих проводов на одинаковое расстояние r1 = r2 = 8 см.

306.Напряженность магнитного поля H1 в центре кругового витка (точка 1) радиусом R = 15 см равна 30 А/м. Определить напряженность H2 в точке 2, расположенной на оси витка на расстоянии d = 6 см от точки 1.

307.Тонкий прямой стержень длиной l = 20 cм согнут посередине под углом

α= 120°. По нему течет ток силой I = 50 А. Найти напряженность магнитного поля H в точке 1, лежащей на биссектрисе угла α и удаленной от его вершины на расстояние a = 5 см.

308.По контуру в виде ромба с длиной стороны a = 10 см и углом α = 60° идет ток силой I = 10 А. Определить напряженность магнитного поля H в точке пересечения диагоналей ромба.

309.Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом r = 53 пм. Вычислить силу эквивалентного кругового тока I

инапряженность H поля в центре окружности.

310.По тонкому проволочному кольцу радиусом R течёт ток I . Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму равностороннего треугольника. Во сколько раз изменилась индукция магнитного поля B0 в центре контура?

Тема 16. Магнитное поле в вакууме. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (сила Ампера)

Пример решения задач

Проводящее кольцо поместили в однородное магнитное поле. По кольцу цир- кулирует ток I = 40,0 А. Если проволока кольца выдерживает на разрыв на- грузку F = 15,0 Н, то при какой индукции магнитного поля В кольцо разо- рвется? Радиус кольца R = 20,0 см, его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции.

59

Дано

I = 40,0 А F = 15,0 Н R = 20,0 см

B = ?

	У
B		dFAу					dFА
I	У						Aхi
		ϕ				dF
	Оi	dβ dϕR					Х
	j	j β
	O
		i
	B
F		I				F1упр
2 упр

Анализ и решение

На каждый элемент кольца dl , по которому течет ток, со стороны магнитного поля действует сила dFA (сила Ампера). Величина и направление этой силы определяется по закону Ампера

dF = I édlBù .			(1)
A	ë	û
r	r	π . Поэтому в скалярной форме урав-
По условию во всех точках кольца (dl ^ B) =
нение (1) имеет вид		2
dFA = IdlBsin(dl ^ B) = IdlB .			(2)

Если ток в кольце течет против хода часовой стрелки, а вектор внешнего магнитного поля направлен на нас (см. рисунок), то силы dFA , действующие на все

элементы кольца, лежат в одной плоскости (в плоскости рисунка), направлены по радиусам кольца и стремятся растянуть его. В результате, внутри сечения кольца возникает упругая сила, препятствующая растяжению. Чтобы определить эту силу, надо из кольца вырезать элемент и приложить к разрезам силы со стороны остальной части кольца. Так как кольцо находится в равновесии, то и выделенный элемент под действием всех сил, приложенных к нему, так же будет находиться в равновесии.

В качестве элемента удобно взять верхнюю половину кольца. К местам разреза приложим силы F1упр и F2 упр , которые действуют со стороны нижней половины кольца. Так как верхняя половина кольца должна находится в равновесии, то

FA + F1упр + F2 упр = 0,

(3)

здесь FA – сила Ампера, действующая на полукольцо с током со стороны внешнего магнитного поля. Если эта сила будет больше сил упругости, то кольцо с током

60