ZO-2010

равными нулю, а амплитуды одинаковыми, запишем уравнения волн, излучаемых данными источниками

E1 = E01 sin(2πvt - 2π L1 ) ,

λ0

E2 = E01 sin(2π vt - 2π L2 ),

λ0

где ν – частота световых колебаний, L1 = l1n0 , L2 = l2n0 – оптические пути, проходимые волнами, n0 – показатель преломления вакуума.

M

l1

х

S1

х

l2

d / 2

О

I

d

D

d / 2

А

S2

А

Результирующее колебание в точке M находится по принципу суперпозиции

E = E + E

2

= 2E cos(

π

D)sin(2πνt +

π

D) ,

1

01

λ0

λ0

где = (L1 − L2 ) – оптическая разность хода интерферирующих волн.

Как видно из формулы, результат сложения есть гармоническое колебание с частотой ν и амплитудой

E = 2E cos(		π	D) ,	(1)
0	01	λ0

которая зависит от параметра

( π D).

λ0

Так как интенсивность света определяется квадратом амплитуды светового вектора E , то, возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим распределение интенсивности света на экране:

I = 4I	01	cos2	(	π	D) = 2I	é1+ cos(	2π D)	ù.
				λ0		01 ê	λ0	ú
						ë		û

81

Найдем связь геометрической разности хода волн	с координатой	х точки
М на экране. Если величины d и х много меньше l ,	то, как следует из	рисунка,

треугольники ABC и DFO можно приближенно считать подобными. Тогда d = Lx .

Отсюда

D = dL x .

Таким образом, распределение интенсивности имеет вид

I = 2I		é1+ cos(	2π d x)ù .		(2)
	01	ê	λ L	ú
		ë	0	û

График функции (2) представлен на рисунке.

I

4I01

О

О

Учитывая условие интерференционного максимума

= ±kλ0

и интерференционного минимума

D = ±(k + 12)λ0 ,

определяем на экране координаты максимумов, минимумов, а так же расстояние между соседними максимумами и минимумами:

xмакс = dL D = dL kλ0 ,

xмин = dL D = dL (k + 12)λ0 ,

xмакс = xмин = xk+1 - xk = dL λ0 .

Проведем расчет:

1

×10−9

5× 6×500×10−9

−3

(3+

2)× 6×500

−3

х5 макс =

= 3×10

м, х3 мин =

= 2,1×10

м,

5,0

×10−3

5,0×10−3

Dх

= Dх

= 6×500×10−9

= 6×10−4 м.

макс

мин

5×10−3

82

2. Плоско-выпуклая линза положена на стеклянную пластинку, причем меж- ду линзой и пластинкой нет контакта (см. рисунок). Диаметры пятого и пятнадцатого темных колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, соответственно равны D5 = 0,70 и D15 = 1,70 мм. Найти радиус кривизны

R выпуклой поверхности линзы, если система освещается светом с длиной волны λ0 = 581 нм.

					Анализ и решение
Дано			Сделаем рисунок. Если на систему, состоящую из линзы и
		пластинки, падает свет (для простоты будем считать, что свет
D5 = 0,70 м		(луч 1) падает нормально к поверхности пластинки), то про-
D15 = 1,70 мм		исходит следующее: в точке А световой пучок частично
λ0 = 581 нм.		отразится (луч 2) а частично пройдет в воздушный зазор меж-
n = 1,0		ду линзой и пластинкой и отразится от поверхности пластин-
		ки (луч 3).
R = ?
				1
				r
	2			3
			A	r	O

h

x

В точке А обе части светового пучка встречаются, имея разность хода

= 2hn ± λ20 ,

где h – толщина зазора, соответствующего точке A, n – показатель преломления среды между линзой и пластинкой. Наличие λ0 / 2 обусловлено потерей полувол-

ны при отражении света от стеклянной пластинки. С другой стороны условием интерференционного минимума является

= ±(k + 12)λ0 ,

где k = (0, 1, 2, …), λ0 – длина световой волны в вакууме. Таким образом

2hn + λ2o = (k + 12)λ0 .

Откуда для толщины зазора, при котором наблюдается минимум интенсивности световых волн, получаем:

83

h = k 2λn0 .

Радиус r темного кольца для случая отсутствия оптического контакта выражается формулой (см. рисунок)

r2 = R2 − [R − (h − x)]2	или
r2 = R2 - éR2 - 2R(h - x) + (h - x)2 ù		,
ë	û
где R – радиус поверхности линзы. Слагаемое	(h - x)2	мало по сравнению с

2R(h − x) , поэтому им можно пренебречь. Тогда последняя формула примет вид r2 = 2R(h - x) .

Подставим значение h для темного кольца, получим

r2 = 2R(k 2λn0 - x).

В условии задачи известны радиусы двух темных колец rk и ri :

r2 = R(k

λ0

- 2x) и r2

= R(i

λ0

- 2x) .

k

n

i

n

Взяв разность r2

и r2

, исключаем неизвестную величину зазора х :

k

i

r2

2 = Rλ (k − i),

- r

откуда

k

i

0

(D2 - D2 )n

R =

k

i

.

4λ (k - i)

0

Подставляя числовые значения заданных величин, получаем

R =

(1,702 - 0,702)10−6 ×1

= 0,10

(м).

4 ×581×10−9 (15 - 5)

Ответ: радиус кривизны линзы равен 0,10 м.

ЗАДАЧИ

401. Расстояния от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соответственно равны а = 48,0 см, b = 6,00 м (см. рис. 4.1 Приложения). Показатель преломления бипризмы n = 1,50, преломляющий угол γ = 20 минут. Определить длину волны света λ0 , если ширина интерференционных полос х = 0,65 мм.

402. Пучок монохроматических световых волн (λ0 = 600 нм) падает на стек-

лянную пластинку c показателем преломления n = 1,50. В каких пределах может изменяться толщина d пластинки, чтобы в отраженном свете можно было наблюдать интерференционный максимум 12-го порядка?

403. Между двумя плоскопараллельными пластинками положили очень тонкую проволочку, расположенную параллельно линии соприкосновения пластинок и находящуюся на расстоянии l = 75,0 мм от нее. Пластинки освещаются нор-

84

мально падающим монохроматическим светом ( λ0 = 0,50 мкм). В отраженном све-

те на верхней пластинке на протяжении а = 30,0 мм наблюдается N = 16 светлых интерференционных полос. Найти диаметр d поперечного сечения проволочки.

404. Интерференционная картина в виде колец Ньютона наблюдается с помощью двух плосковыпуклых линз, сложенных вплотную выпуклыми поверхностями (плоские поверхности параллельны). Пространство между линзами заполнено жидкостью с показателем преломления nж = 1,4. Радиусы кривизны линз

R1 = 1,00 м и R2 =2,00 м. Определить радиус r2св. второго светлого интерференционного кольца, наблюдаемого в отраженном свете (λ0 = 660 нм) при нормальном падении света на поверхность верхней линзы.

405.Во сколько раз в опыте Юнга нужно изменить расстояние до экрана, чтобы 5-я светлая полоса новой интерференционной картины оказалась на том же расстоянии от нулевой, что и 3-я в прежней картине? То же для четвертой темной

ишестой светлой. То же для третьей темной и седьмой темной.

406.Найти минимальную толщину пленки ( n = 1,33), при которой свет с длиной волны λ01 = 0,64 мкм отражается максимально, а свет с длиной волны

λ02 = 0,40 мкм, не отражается совсем. Угол падения света на пленку α = 30°.

407. Мыльная пленка ( n = 1,33), расположенная вертикально, образует клин. Свет падает на клин под углом α = 15°. При наблюдении интерференции полос в отраженном свете ( λ0 = 546,1 нм) оказалось, что расстояние между пятью поло-

сами l = 2,0 см. Найти угол γ клина.

408. В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной волны λ0 = 0,50 мкм падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны

R1 = 1,00 м. Линза положена выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом R1 = 2,00 м. Пространство между линзами заполне-

но жидкостью, показатель преломления которой nж = 1,4. Найти радиус r3св. третьего темного кольца Ньютона, наблюдаемого в отраженном свете.

409. При освещении зеркал Френеля монохроматическим светом с длиной волны λ0 = 486 нм на экране, отстоящем на расстоянии а = 1,0 м от линии пере-

сечении зеркал, наблюдают интерференционную картину (см. рис. 4.2 Приложения). Угол между зеркалами α = 10 минут. Источник света находится на расстоянии r = 10,0 см от линии пересечения зеркал. Определить расстояние между интерференционными полосами х на экране. Сколько интерференционных полос можно видеть на экране?

410. На поверхность плоскопараллельной пленки падает под углом α = 30° параллельный пучок белого света. Показатель преломления пленки n = 1,30. При какой наименьшей толщине dмин пленка будет наиболее прозрачна одновременно

85

для света с длинами волн λ01 = 0,60 мкм и λ02 = 0,50 мкм? Наблюдение ведется в проходящем свете.

Тема 23. Дифракция световых волн. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Дифракционная решетка. Поляризация световых волн. Степень поляризации. Закон Малюса. Поляризация света при отражении и двойном лучепреломлении. Закон Брюстера

Примеры решения задач

1. Дифракция наблюдается на расстоянии l от точечного источника моно- хроматического света (λ = 0,50 мкм). Посередине между источником све- та и экраном находится непрозрачный диск диаметром D = 5,00 мм. Опре- делить расстояние l , если диск закрывает только центральную зону Френе- ля.

Дано		Анализ и решение
D = 5,00 мм		Дифракция света – явление, наблюдаемое при распро-
λ0 = 500 нм.		странении света в среде вблизи непрозрачных тел, сквозь
n = 1,0		малые отверстия и связанное с отклонениями от законов
		геометрической оптики. Расчет дифракционной картины на
m = 1
		диске можно провести с помощью метода зон Френеля. Зо-
а = b = l / 2
		ны Френеля – это участки волнового фронта (геометриче-
l = ?
		ское место точек, до которых доходят колебания к моменту

времени t ), выделенные таким образом, что расстояния от соответствующих точек двух соседних зон до точки, в которой определяется действие этой волновой

поверхности, отличаются наλ0		2 . Сделаем рисунок.
		А		b + m	λ0	Э
	а+x
		rm		2
S	a
		В	х	b
☼
						M
		С

На рисунке S – точечный источник света, АС – диск, Э – экран, rm – радиус

m -ой зоны Френеля, b – расстояние от волнового фронта до точки наблюдения M , a – расстояние от источника света до диска. Волновой фронт источника изображен пунктирной линией.

86

Рассмотрим прямоугольный треугольник				ABS и выразим из него радиус m –
ной зоны Френеля r2
m
r2	= (a + x)2 - a2		= a2 + 2ax + x2 - a2 .
m
Так как x << α , то величиной x2 можно пренебречь тогда
		r2 = 2ax .		(1)
		m
Рассмотрим треугольник ABM и найдем из него r2
			λ ö2 -	m
	r2	= æb + m		(b + x)2 ,
	m	ç	÷
		è	2 ø

или

rm2 = b2 + mbλ + æç mλ ö÷2 - b2 - 2bx - x2 . è 2 ø

æ mλ ö2

x2

можно пренебречь, так как

b>> λ , и x >> b. Тогда

Величинами ç

÷ и

è

2 ø

r2 = mbλ - 2bx .

(2)

Dm

m

l

По условию задачи r

=

, a = b =

. Учитывая это, запишем уравнения (1)

m

2

2

и (2) в виде

D2

l

m =

2

x,

2

D2

l

4

l

l

D2

m

= m

λ − 2

x = m

λ −

m

.

2

2

2

4

4

Решаем последнее уравнение относительно l, получаем

D2

(5,00×10−3)2

l =

m

=

×10−7

= 50,0(м) .

mλ

1×5,00

2. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического све- та. Расположенная за щелью линза с фокусным расстоянием F = 2,00 м проецирует на экран дифракционную картину в виде светлых и темных полос. Ширина центральной светлой полосы l = 5,00 см. Как надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой его ширине?

Дано

F = 2,00 м l = 5,00 см а2 – ?

Анализ и решение

Сделаем рисунок. Кривая на рисунке показывает распределение интенсивности света на экране. Центральная светлая полоса заключена между двумя минимума первого порядка. Ёе ширина l зависит от угла дифракции ϕ , который соответствует первому

минимуму. В свою очередь угол ϕ связан с шириной щели а формулой

87

а

ϕmin

ϕmin

F

					l
		аsinϕ = ±kλ0 ,							(1)
где λ0 – длина световой волны в вакууме, k = 1.
Так как при изменении ширины щели от а1 до а2 величины λ0 , k									остаются
постоянными, то из формулы (1) следует
			а2	=	sinϕ2	,			(2)
			а
					sinϕ
1				1

где ϕ1 , ϕ2 – углы первых дифракционных минимумов, соответствующих размерам щели а1, а2 . Из условия видно, что угол ϕ1 очень мал. Поэтому

sinϕ1 ≈ tgϕ1 = 2lF .

С другой стороны, чтобы центральная полоса занимала весь экран при его любой ширине, должно выполняться соотношение

ϕ2 = π2 , sinϕ2 =1.

Подставив найденные значения sinϕ1 , sinϕ2 в формулу (2), получим

	b		5×10−2	а
а =		а =	а =	1	.
				80
2	2F 1		2 × 2 1

Таким образом, ширину щели следует уменьшить в 80 раз.

3. Частично поляризованный свет проходит через николь. При его повороте на угол 60° от положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшается в к = 2 раза. Пре- небрегая поглощением света в николе, определить отношение интенсивно-

стей естественного и плоскополяриизованного света Ie / I0п , составляющих

данный частично-поляризованный свет и степень поляризации падающего света Р .

88

Дано

α = 60° к = 2

Ie / I0п – ?

Р – ?

Анализ и решение

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Световые волны, в которых направле-

ния колебаний светового вектора E быстро и хаотически меняются, называется естественным светом. Если колебания вектора E в световых волнах каким-то образом упорядочены, то свет бу-

дет поляризованным. Световые волны, в которых колебания вектора E одного направления преобладают над колебаниями других направлений, называется частично поляризованным светом.

Для преобразования естественного света в плоскополяризованный используются поляризаторы, в частности призма Николя: двойная призма из исландского шпата (см. рисунок). Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется, вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа. Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна

I е

I п

плоскости чертежа. Обыкновенный пучок света вследствие полного отражения от границы соединения отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок проходит через призму без отклонения, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения.

Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь плоскополяризованного и естественного света. Николь всегда пропускает половину падающего на него естественного света (превращая его в плоскополяризованный). Интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через николь, зависит, согласно закону Малюса

I п = I0п cos2 α ,

от угла α между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Поэтому полная интенсивность частично поляризованного света, прошедшего через николь

I = 0,5I е + I0п cos2 α ,

где Ie и I0п – интенсивности естественной и поляризованной составляющих света,

падающего на николь.

При первом положении николя, соответствующем максимальному пропусканию света, через николь проходит свет, интенсивность которого составляет поло-

вину интенсивности естественного света и весь ранее поляризованный свет I0п .

I1п = 0,5Iе + I0п .

89

При втором положении николя прошедший свет имеет интенсивность:

I2п = 0,5Iе + I0п cos2 600 = 0,5Iе + 0,25I0п .

По условию задачи

I1п = 2I2п .

Тогда

0,5I е + I0п = 2(0,5Iе + 0,25I0п ),

откуда

Ie = I0п .

Следовательно, отношение интенсивностей естественного и плоскопараллельного света равно единице

I е =1. I0п

Степень поляризации определяется отношением интенсивности поляризованного света к общей интенсивности света или отношением:

р= Iмаксп − Iминп , Iмаксп + Iминп

где Iмаксп и Iминп – максимальная и минимальна интенсивности в двух взаимно

перпендикулярных направлениях.

Максимальная интенсивность света, пропускаемая николем,

Iмаксп = I1п = 0,5Iе + I0п ,

или учитывая, что Ie = I0п ,

Iмаксп =1,5I0п

При этом положении плоскости поляризации николя и падающего света параллельны.

При повороте николя на 90° свет, ранее поляризованный, не пройдет, а на экран будет падать свет с минимальной интенсивностью:

Iминп = 0,5I е = 0,5I0п .

Подставляем значения максимальной и минимальной интенсивностей в формулу степени поляризации, получаем:

	р =	1,5I п − 0,5I п		= 0,5 .
		0	0
		1,5I0п + 0,5I0п

ЗАДАЧИ

411. На непрозрачную преграду c отверстием радиуса R = 1,00 мм падает плоская монохроматическая световая волна. При расстоянии от преграды до установленного за ней экрана b1 = 0,58 м, в центре дифракционной картины наблюдается

90