НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F(x) называется первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , если F(x) дифференцируема на (a, b) и F′(x) = f (x) . Аналогичным образом определяется первообразная функции f (x) в любой точке интервала (a, b) .

Если F(x) − одна из первообразных функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная f (x) на этом интервале имеет вид F(x) +C ,

где C − некоторая постоянная.

Множество F(x) +C на интервале (a, b) всех первообразных функции f (x) на (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и обозначается ∫ f (x)dx = F(x) +C , где F(x) − какая-либо пер-

вообразная для функции f (x) на (a, b) ; C − произвольная постоянная.
Операция нахождения всех первообразных функции f (x) называется ин-
тегрированием этой функции.
	СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1.	∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx где A = const. A ≠ 0 .
2.	∫( f (x) ± ϕ(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ϕ(x)dx .

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. ∫0dx = C ; 2. ∫xndx =

xn+1

+C

. 3. ∫dx = x +C.

4. ∫dx = ln

x

+C .

5. ∫axdx =

ax

n +1

x

+C.

6. ∫exdx = ex

+C. 7. ∫sin xdx = −cos x +C.

ln a

dx

dx

8. ∫cos xdx = sin x +C.

9. ∫

= tgx + C.

10. ∫

= −ctgx + C.

2

x

2

x

dx

x

cos

x

sin

dx

11. ∫

= arcsin

+ C = −arccos

+ C.

12. ∫

= ln( x +

x2

+ a2 )

+C .

a

2

2

x2 + a2

− x

a

a

dx

13. ∫

= ln

x

+

x2 − a2

+C .

x2 − a2

14. ∫

dx

=

1 arctg

x

+ C = −

1 arcctg

x

+ C.

a

2

2

a

+ x

a

a

a

15. ∫

dx

=

1

ln

a + x

+C .

a

2

2

− x

2a

a − x

5