6____2004

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Руководство по изучению курса

Москва 2004

Асташова И.В., Никишкин В.А. Геометрия и топология. Руководство по изучению курса / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). – М.: 2004. – 15с.

Асташова И.В., 2004

Никишкин В.А., 2004

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004.

152

Содержание
1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе.........................			154
2. Перечень основных тем и подтем..................................................................			155
2.1. Тема 1. Векторная алгебра.......................................................................			155
2.2. Тема 2. Прямая на плоскости...................................................................			156
2.3. Тема 3. Плоскость.....................................................................................			156
2.4. Тема 4. Прямая в пространстве...............................................................			157
2.5. Тема 5. Прямая и плоскость в пространстве..........................................			158
2.6. Тема 6.	Кривые второго порядка............................................................		159
2.7. Тема 7.	Поверхности второго порядка ..................................................		160
2.8. Тема 8.	Множества...................................................................................		161
2.9. Тема 9.	Линейные пространства..............................................................		162
2.10. Тема 10.		Метрические пространства ...................................................	162
2.11. Тема 11.		Нормированные пространства..............................................	163
2.12. Тема 12.		Евклидовы пространства.......................................................	163
2.13. Тема 13. Топологические пространства...............................................			164
2.14. Тема 14.		Элементы дифференциальной геометрии ...........................	165

153

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе

Цель дисциплины состоит в получении студентами прочных теоретических знаний и твёрдых практических навыков в области аналитической геометрии и топологии. Такая подготовка необходима для успешного усвоения многих специальных дисциплин.

Задачей дисциплины является изучение ниже перечисленных фундаментальных разделов высшей математики, которое составит основу математических знаний студента наряду с курсом математического анализа. Прочное усвоение современных математических методов позволит будущему специалисту решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных и практических занятий.

Влекциях излагается содержание тем программы с учётом требований, установленных для специалиста в квалификационной характеристике. Основное внимание уделяется наиболее сложным вопросам курса.

Практические занятия проводятся в учебных группах с целью закрепления теоретических основ, излагаемых в лекционном курсе, и получения практических навыков в применении основных понятий и методов аналитической геометрии и топологии. Практические занятия по каждой теме проводятся в соответствии с планом распределения времени.

Впособии приводятся теоретические сведения, примеры решения типовых задач по основным разделам векторной алгебры, аналитической геометрии, началам теории линейных, метрических, нормированных, евклидовых и топологических пространств и дифференциальной геометрии.

Воснову пособия положен курс, читаемый авторами студентам МЭСИ, обучающимся по специальности 351500 (Математическое обеспечение и администрирование информационных систем). Данное пособие может быть использовано для аудиторной и самостоятельной подготовки студентов, а также для проведения домашних и аудиторных контрольных работ. Пособие может оказаться полезным для студентов МЭСИ, обучающихся по другим специальностям, при изучении разделов «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» в общем курсе «Высшая математика», а его часть, посвященная теории пространств, – студентам, изучающим курс «Функциональный анализ».

154

Необходимый объем знаний, необходимый для изучения дисциплины

Данный курс базируется на школьном курсе математики, так же на курсе линейной алгебры, который может изучаться параллельно. Обеспечивает все математические курсы.

2. Перечень основных тем и подтем

2.1. Тема 1. Векторная алгебра

Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их свойства. Понятия линейной зависимости и независимости. Базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, геометрический смысл и выражение в декартовой системе координат. Преобразование системы координат. Параллельный перенос и поворот осей координат (л.–3ч.,

с.–4ч.).

Цель изучения – усвоить понятие вектора и уметь совершать операции над векторами.

Изучив тему 1, студент должен: знать:

основные определения, свойства операций с векторами, условия для коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов;

уметь:

решать геометрические задачи, связанные с операциями над векторами, применять аппарат векторной алгебры для решения геометрических задач.

При изучении темы 1 необходимо :

Читать [1] с.15 – 34.

Для самооценки темы 1 выполнить задания 1-6 из Контрольной работы № 1.

ответить на вопросы:

как задаются линейные операции над векторами и каковы их свойства, дать определение линейной зависимости и независимости векторов, базиса; что называется скалярным, векторным и смешанным произведением векторов, каковы их свойства и выражение в декартовой системе координат; как записываются формулы параллельного переноса и поворота осей координат.

155

2.2. Тема 2. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Отклонение и расстояние точки от прямой

(л.–2ч., с.–3ч.).

Цель изучения – понять возможность представления геометрических образов в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих линейным уравнениям в прямоугольной системе координат; усвоить основные понятия: соответствие линейного уравнения и прямой, угловой коэффициент прямой, различные виды уравнений прямой.

Изучив тему 2, студент должен: знать:

основные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное, общего вида) в прямоугольной системе координат и геометрический смысл коэффициентов этих уравнений; способ определения угла между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых;

уметь:

решать геометрические задачи, связанные с прямой на плоскости.

При изучении темы 2 необходимо:

Читать [1] с.35 – 44.

Для самооценки темы 2 выполнить задания 7, 8 из Контрольной работы № 1.

ответить на вопросы:

как записать основные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное, общего вида) в прямоугольной системе координат; как определить угол между прямыми; как записать условие параллельности и перпендикулярности прямых.

2.3. Тема 3. Плоскость

Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельно двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости,

156

проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости (л.–2ч., с.–2ч.).

Цель изучения – понять возможность представления плоскостей в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих линейным уравнениям в прямоугольной системе координат; усвоить основные понятия: соответствие линейного уравнения и плоскости, нормальный вектор плоскости, различные виды уравнений плоскости;

Изучив тему 3, студент должен: знать:

основные три способа задания плоскости в пространстве (точка и нормальный вектор; точка и два вектора, коллинеарные плоскости и неколлинеарные одной прямой; три точки, не лежащие на одной прямой) и вид уравнения плоскости в каждом случае; особенность нормального уравнения плоскости и его применение для вычисления расстояния от точки до плоскости; способ определения угла между плоскостями;.

уметь:

решать геометрические задачи, связанные с плоскостью в пространстве.

При изучении темы 3 необходимо:

Читать [1], с.45 – 60.

ответить на вопросы:

как записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору; проходящей через заданную точку параллельно двум заданным неколлинеарным векторам; проходящей через три точки не лежащие на одной прямой; как записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельности, совпадения двух плоскостей, как записать формулы для вычисления косинуса угла между плоскостями, расстояния от точки до плоскости.

2.4. Тема 4. Прямая в пространстве

Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Задачи на плоскость и прямую в пространстве - сведение к использованию

157

соответствующих условий для векторов нормали и направляющих векторов

(л.–2ч., с.–2ч.).

Цель изучения – понять возможность представления прямых в пространстве в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих системам линейных уравнений в прямоугольной системе координат; усвоить основные понятия: направляющий вектор прямой, различные виды уравнений прямой, угол между двумя прямыми.

Изучив тему 4, студент должен: знать:

канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве; способ вычисления расстояния от точки до прямой; способ определения угла между прямыми.

уметь:

решать геометрические задачи, связанные с прямой в пространстве.

При изучении темы 4 необходимо:

Читать [1], с.61 –65.

ответить на вопросы:

как записать канонические, параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору; проходящей через две заданные точки; проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной плоскости; как записать условия необходимые и достаточные для перпендикулярности, параллельности, пересечения двух прямых; как записать формулы для вычисления косинуса угла между прямыми.

2.5. Тема 5. Прямая и плоскость в пространстве

Пересечение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве (л.–2ч., с.–2ч.).

Цель изучения – научиться решать задачи о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве.

158

Изучив тему 5, студент должен: знать:

как находится точка пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью, как записывается уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, как находится расстояние от точки до прямой в пространстве

уметь:

находить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые; находить расстояние от точки до прямой в пространстве, расстояние между параллельными прямыми в пространстве, расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

При изучении темы 5 необходимо:

Читать [1], с.66 – 74.

Для самооценки тем 3, 4, 5 выполнить задания № 1–5 Контрольной работы №

2.

ответить на вопросы:

как найти точку пересечения прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью; как записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые, уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые; как находится расстояние от точки до прямой в пространстве, расстояние между параллельными прямыми в пространстве, расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Для контроля знаний по темам 1 – 5 выполнить тесты № 1, 2.

2.6. Тема 6. Кривые второго порядка

Эллипс и его каноническое уравнение. Исследование формы эллипса. Гипербола и её каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы. Парабола и её каноническое уравнение. Исследование формы параболы. Классификация кривых второго порядка (л.–4ч., с.–4ч.).

Цель изучения: понять возможность представления геометрических образов в форме уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих квадратным уравнениям в прямоугольной системе координат. Усвоить основные понятия: линия, соответствующая уравнению F(x,y)=0 в прямоугольной системе координат; кривые второго порядка, соответствующие уравнениям второго порядка.

159

Изучив тему 6, студент должен: знать:

геометрический смысл уравнений второго порядка, определения, канонические уравнения и геометрические свойства окружности, эллипса, гиперболы, параболы; изменение вида уравнения линии при параллельном переносе и повороте прямоугольной декартовой системы координат;

уметь:

решать геометрические задачи, связанные с кривыми второго порядка, приобрести навыки определения формы линии, заданной уравнением в прямоугольной системе координат различными методами.

При изучении темы 6 необходимо:

Читать [1], с.75 – 95.

Для самооценки темы 6 выполнить задания № 1-4 Контрольной работы № 3, № 1, 3, 4 Контрольной работы № 4.

ответить на вопросы:

как записываются канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы; какими методами производится классификация кривых второго порядка.

2.7. Тема 7. Поверхности второго порядка

Основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, вырожденные поверхности. Классификация поверхностей второго порядка. Приведение общего уравнения поверхности к каноническому виду методом Лагранжа (л.–3ч., с.–3ч.).

Цель изучения – понять возможность представления поверхностей в форме уравнений или систем уравнений, изучить особенности геометрических образов, соответствующих квадратным уравнениям в прямоугольной системе координат.

Усвоить основные понятия: поверхность, соответствующая уравнению второго порядка в прямоугольной системе координат.

Изучив тему 7, студент должен: знать:

канонические уравнения и геометрические свойства сферы, эллипсоида, гиперболоида, параболоида; особенность уравнения цилиндрической поверхности;

160