6____2004

31

i

j

k

Y1

Z1

X1

Z1

X1

Y1

[a,b ]=

X1

Y1

Z1

=i

−

j

+k

.

Y Z

2

X

2

Z

2

X

2

Y

X 2

Y2

Z2

2

2

Доказательство.

,

взаимно ортогональны и образуют

, k

Учитывая, что базисные векторы i

j

правую

тройку

,

и

=

=

,

имеем

i

j

, k

i

j

k

[i

]

=

[

,

]= [k

]= 0,

, i

i

i

sin 0 = 1 1 0 = 0 ,

j

j

, k

(1.8)

[

]= k

,

[

,

]= −k

, [i

]= −

, [k

] =

,

[

]= i

, [k

,

]= −i

,

, k

, k

i

j

j

i

j

, i

j

j

j

Перемножая векторно a

и

, получим

b

[a,

]= X1 X 2 [i

]+ X1Y2 [i

,

]+ X1Z2 [i

]+ Y1 X 2

[

]+

b

, k

,i

j

j

,i

+ Y1Y3 [

,

]+ Y1Z2 [

]+ Z1 X 2 [k

]+ Z1Y2

[k

,

]+ Z1Z2 [k

].

, k

, k

j

j

j

,i

j

Из этого равенства и соотношений (1.8) получаем разложение (1.7).

Следствие.

Если два вектора a = {X 1 ,Y1 , Z 1 } и

= {X 2 ,Y2 , Z 2 } коллинеарны,

b

то их координаты пропорциональны:

X1

=

Y1

=

Z1

.

X

2

Y

Z

2

2

Доказательство.

Из равенства нулю векторного произведения и из (1.7) имеем

X 1Y2 − X 2Y1 = 0, Z1 X 2 − Z 2 X 1 = 0, Y1 Z 2 −Y2 Z1 = 0 .

□

1.3.7. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора

a ,

,

c

. Если вектор

a

векторно умножается на

b

вектор b , а затем полученный вектор [a,b ] скалярно умножается на вектор c ,

то в результате получается

число ([a ,

],

c

),

называемое

смешанным

b

произведением векторов a,

, c и обозначаемое (a,

, c) .

b

b

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов

Смешанное

произведение

( a ,

,

c

)

равно

объему

b

c

параллепипеда, построенного

на

приведенных

к

общему

	b					, взятому со знаком плюс, если тройка
		началу векторах a , b ,			c
		a

a , b , c правая, и со знаком минус, если тройка a , b , c левая. Если же векторы компланарны, то([a , b ], c )= 0 .

Из определения видно, что ([a , b ], c )= (a , [b , c ]). Этим объясняется, что можно записывать смешанное произведение трех векторов a,b , c просто в виде

(a , b , c )= ([a , b ], c ), не указывая какие именно два вектора перемножаются векторно.

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 2. (a , b , c )= −(b , a , c ).

1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Теорема 1.13.	Если три вектора			a					определены своими декартовыми
					, b		,	c
координатами	a = {X 1 ,Y1 , Z1 },		={X 2 ,Y2 ,Z 2 },								= {X 3 ,Y3 , Z 3 }, то смешанное
		b								c

произведение (a,b , c) равно определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

(a,		,c )=	X1	Y1	Z1
			X 2	Y2	Z2	.
	b
			X 3	Y3	Z3

Доказательство.

Так как

[a,

]=

{Y1Z2

−Y2 Z1 , Z1 X 2 − Z2 X1 ,

X1Y2

− X 2Y1}, c={X 3 ,Y3 ,Z3 }, то скалярное

b

произведение этих векторов равно

(a,

,c)=([a,

],c)= X3 (Y1Z2 −Y2Z1 )+Y3

(X2Z1 − X1Z2 )+Z3 (X1Y2 − X2Y1 )=

b

b

Y1

Z1

X1

Z1

X1

Y1

X1

Y1

Z1

= X

−Y

+ Z

=

X

Y Z

.

3

Y Z

2

3

X

2

Z

2

3

X

2

Y

2

2

2

2

2

X 3

Y3

Z3

□

Следствие.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех

векторов a = {X 1 , Y1 , Z 1

},

= {X 2 ,Y 2 ,Z 2 },

= {X 3 , Y3 , Z 3 } является равенство

b

c

нулю определителя, строками которого являются координаты этих векторов:

X1	Y1	Z1
X 2	Y2	Z 2	= 0 .
X 3	Y3	Z3

32

1.4. Преобразование системы координат

1.4.1. Параллельный перенос

Пусть задана декартова система координат (XOY). Введем новую систему координат (X’O’Y’) с началом в точке O’(x0 , y0), где x0 , y0 – координаты точки O’ в системе XOY, а оси O’X’ и O’Y’ параллельны осям OX и OY соответственно.

Возьмем на плоскости точку M. Обозначим ее координаты в системе XOY через (x, y), а в системе X’O’Y’ через (x’,y’). Найдем соотношение между этими координатами. Для этого проведем векторы OD' , O' M и OM . По правилу сложения векторов получаем

OM = OO' +O' M ,

откуда, записывая по столбцам координаты векторов, имеем

x		x	0		x'		,
		=			+
y		y0			y'

или, записывая это равенство покомпонентно, получим систему

x = x0 + x ',y = y0 + y ',

задающую формулы преобразования координат при параллельном переносе.

1.4.2. Поворот

Пусть задана система координат (XOY). Направляющие векторы осей координат обозначим соответственно e1 и e2 . Введем новую систему

координат (X’O’Y’), получающуюся из старой поворотом осей на угол φ. Единичные векторы новой системы координат обозначим e1 ' и e2 ' .

33

Возьмем на плоскости произвольную точку M. Обозначим ее координаты в системе XOY через (x, y), а в системе X’O’Y’ через (x’, y’), и найдем соотношение между ними.

Так как координаты точки M совпадают с координатами вектора OM , воспользуемся разложением вектора по базису (e1 , e2 ) и базису (e1 ', e2 ') :

OM

= xe1 + ye2

= x' e1 '+ y' e2 ' .

(1.9)

Выразим координаты векторов e1 ' ,

e2 ' в базисе

(e1 , e2 ) , пользуясь тем, что

|

e1 ' | = |

e

2 ' | = 1 . Имеем:

cosϕ

,

−sinϕ

, т.е.

e1

e2

=

=

sinϕ

cosϕ

e1 ' = e1 cosϕ + e2 sinϕ,e2 ' = −e1 sinϕ + e2 cosϕ.

Подставим в формулу (1.9):

xe1 + ye2 = x'(e1 cosϕ +e2 sinϕ) + y'(−e1 sinϕ +e2 cosϕ) ,

откуда, группируя коэффициенты при e1 и e2 в правой части равенства, получаем

xe1 + ye2 = (x'cosϕ − y'sinϕ)e1 +(x'sinϕ + y'cosϕ)e2 .

Приравниваем коэффициенты при e1 и e2 и получаем систему

x = x'cosϕ − y'sinϕ,y = x'sinϕ + y'cosϕ,

или, записывая эту систему в матричной форме,

x		cosϕ		−sinϕ x'		, где
		=
y		sinϕ		cosϕ y'
cosϕ		−sinϕ		– матрица поворота.
P =
		cosϕ
sin ϕ

Замечание.

Матрица поворота является частным случаем матрицы перехода от одной системы координат к другой. Эта матрица составлена из координат новых базисных векторов в старом базисе, записанных по столбцам.

34

Тема 2. Прямая на плоскости

2.1. Исследование общего уравнения первой степени

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

Ax + By +C = 0 , A2 + B2 ≠ 0 .

Можно показать, что общее уравнение первой степени

Ax + By +C = 0

задает прямую линию, и любая прямая может быть задана таким уравнением. Рассмотрим случаи, когда один или два коэффициента уравнения обращаются в нуль.

1. C =0. В этом случае уравнение имеет вид

Ax + By = 0

изадает прямую, проходящую через начало координат.

2.A =0. Уравнение имеет вид

By +C = 0

или

y = −BС =b.

Прямая расположена параллельно оси OX на расстоянии | b |от нее.

3.B = 0. В этом случае прямая линия расположена параллельно оси OY .

4.C = 0, B = 0. Уравнение принимает вид

Ax = 0 или x =0

и задает ось OY .

5. C = 0, A =0 . Уравнение принимает вид By = 0 или y = 0 и задает ось OX .

2.2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

	Решим уравнение первой степени					Ax + By +C = 0 относительно y в
	случае, когда B ≠ 0 :				x2	≤ x − C .
				y = −
					a2
		A				B
	Положим здесь k = −		,	b = −C . Уравнение принимает вид
		B
				B

y = kx +b ,

35

оно называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В случае B =0 уравнение имеет вид

Ax +C = 0 ,

Откуда

x = −AC = a .

Определим геометрический смысл постоянных k и b . y

b

x

0

рис. 2.1

Если положить x =0 , то y = b . Другими словами, b есть отрезок,

отсекаемый данной прямой на оси ординат.

Чтобы выяснить геометрический смысл k , перенесем начало координат в точку (0,b) , сохраняя направление осей.

Формулы преобразования координат будут иметь вид x = x′, y = y′+b .

Данное уравнение преобразуется к виду

y′+b = kx′+b .

Или

y′= kx′,

Откуда

k = xy′′ .

Выбирая произвольную точку M (x′, y′) на прямой линии, видим, что ϕ - это

угол между положительным направлением оси OX и данной прямой, отсчитываемый против движения часовой стрелки.

Следовательно, k =tgϕ, т. е. k равно тангенсу угла между положительным

направлением оси абсцисс и данной прямой, отсчитываемого от оси OX против движения часовой стрелки. Число k называют угловым коэффициентом данной прямой.

36

Пример 1.

Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и наклоненной к оси абсцисс под углом в 45 0 .

Здесь k = tg45o =1, b = ±2 .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид: y = x ± 2 .

2.3. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями

y = kx +b и y′= kx′+b .

Обозначая через α угол между этими прямыми, видим, что

α =ϕ′−ϕ ,

где ϕ и ϕ′ – углы наклона прямых к оси абсцисс.

Заметив, что k =tgϕ, k′=tgϕ′, определим tgα . Из тригонометрии известно, что

tgα = tg(ϕ'−ϕ) =		tgϕ'−tgϕ			.
	1 + tgϕ'tgϕ
Заменяя в последней формуле tgϕ и tgϕ′ на k ,			k′, имеем окончательно
tg α =		k '−k		.		(2.1)
	1 + kk '

Пример 2.

Найти угол между прямыми: y – 2x – 5=0, 3x + y – 8 = 0.

Угловые коэффициенты данных прямых: k = 2, k = – 3. Применяя формулу (2.1), получим

tgα = 1−−32−*23 =1.

Откуда α = 45 0 .

2.4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые параллельны, то угол между ними равен нулю, и обратно, если α = 0, то прямые параллельны. В этом случае формула (2.1) обращается в равенство:

	tg 0 =	k '−k
		1 + kk '

Или

37

0 = 1k+'−kkk ' ,

откуда

k′− k =0, k′= k.

Это и есть условие параллельности прямых.

Случай перпендикулярности прямых получится из формулы (2.1) при α =π2 :

	k '−k	= tg	π	(= ∞) ,
	1 + kk '		2

откуда условие перпендикулярности прямых принимает вид:

1 + k k′=0 или k k′= −1.

Пример 3.

Являются ли прямые 2x – 3y + 1 = 0 и -6x + 9y – 5 = 0 параллельными?

Угловые коэффициенты этих прямых равны:

k = 23 , k′= 64 = 23 ,

т. е. условие параллельности выполнено.

Следовательно, прямые 2x – 3y + 1 = 0, -6x + 9y – 5 = 0 параллельны.

Пример 4.

При каком значении k уравнение

y = kx + 1

изображает прямую, перпендикулярную прямой y = 2x – 1?

Угловой коэффициент второй прямой k′ = 2. Условие перпендикулярности дает 2k = -1, откуда

k = − 12 .

2.5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки A(x′, y′) и B(x′′, y′′) . Составим уравнение пучка прямых линий, проходящих через точку A(x′, y′) :

38

y'

x '

рис. 2.2

y − y ' = k ( x − x ' ),

(2.2)

где k – произвольный параметр пучка. Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, проходящую через точку B(x′′, y′′) , нужно, чтобы

координаты этой точки удовлетворяли уравнению (2.2):

y ' '− y ' = k ( x ' '− x ' ),

(2.2′)

Из равенства (2.2′) нужно определить значение параметра k и внести это значение в уравнение (2.2′).

В результате получим:

y − y'	=	x − x'	.	(2.3)
y''−y'
		x' '−x'

Это уравнение задает прямую линию, проходящую через точки A(x′, y′) и

B(x′′, y′′) .

Пример 5.

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1,2) и В(-1, 1).

Подставляя в уравнение (2.3)

x′ = 1,

y′ = 2,

x′′= - 1, y′′ = 1 получим:

y −2

=

x −1

, или

y −2

=

x −1

, или

y – 2 =

x – 1,

1−2

−1 −1

1

2

откуда

x – y + 1 = 0.

39

2.6. Нормальное уравнение прямой линии

Прямая линия на плоскости определена, если заданы ее расстояние от начала координат p , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из начала

координат на прямую, и угол α между положительным направлением оси OX и направлением этого перпендикуляра (рис. 2.3).

P	y M
P
0 α		x
	R

рис. 2.3

Построим на чертеже координаты произвольной точки M прямой линии: OR = x , MR = y . Рассмотрим ломаную линию ORMP . Возьмем ее проекцию

на OP . Заметим, что

пр. (ORMP ) = пр. (OP ).

(2.4)

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев, следовательно, равенство (2.4) перепишется в виде:

пр. (OR ) + пр. ( RM ) + пр. ( MP ) = пр. (OP ).

(2.4′)

Так как проекция отрезка равна самому отрезку, умноженному на косинус угла между положительными направлениями оси проекции и той прямой, на которой лежит отрезок, то

пр. (OR ) = x cosα ,

пр. ( RM ) = y cos(90o −α) = y sinα ,

пр. ( MP ) = 0, пр. (OP ) = p .

Подставляя эти значения в равенство (2.4′), получим:

xcosα + ysinα = p,

(2.5)

xcosα + ysinα − p =0.

40