Теор.вер
.pdfУдеяких технічних застосуваннях замість параметрів 1 та
2 іноді використовують серединні відхилення E1 E , E2 E .
Зв’язок між параметром E та середньоквадратичним відхиленням
задається формулою |
(2.12). |
При |
r 0 |
|
щільність |
розподілу |
|||||||||||||||||||||||||||
набуває вигляду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
y b |
|
|
|
|||||||||||
f |
|
(x, y) |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
Е12 |
|
|
|
|
Е22 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Е1Е2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцію розподілу задаємо через зведену функцію Лапласа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
x a |
|
|
|
|
|
1 |
|
ˆ |
y b |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
F (x, y) Ф |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
E2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рівняння еліпсів розсіювання при r 0 будуть такими: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x a 2 |
|
y b 2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
E 2 |
|
|
|
|
E 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зв’язок між сталими |
та |
|
такий: 2 |
2 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Імовірність того, що нормально розподілена випадкова точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
з координатами |
, |
попаде в еліпс розсіювання |
|
G 1 , |
|
рівняння |
|||||||||||||||||||||||||||
якого (3.17), обчислюємо за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Р , G |
1 e 2 12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точки ( , ) у прямокутник |
П |
x, y |
: x , |
y при |
|||||||||||||||||||||||||||||
r 0 обчислюємо так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р , П |
ˆ |
|
a |
|
|
|
ˆ |
|
a |
ˆ |
b |
|
|
ˆ |
b |
||||||||||||||||||
Ф |
|
Е1 |
|
Ф |
Е1 |
|
|
|
Ф |
|
Е2 |
|
Ф |
Е2 |
|
. (3.18) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розсіювання нормально розподіленої випадкової точки з координатами , називається коловим, якщо 1 2 (або
E1 E2 E ). У цьому випадку еліпси розсіювання стають колами.
Випадкові величини та при коловому розсіюванні незалежні
за будь-якого вибору системи координат.
Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової точки в коло КR x, y : x2 y2 R2 обчислюємо так:
P , K |
|
|
R 2 |
|
||
R |
1 e 2 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
P , K |
|
1 e |
2 R 2 |
|||
R |
E 2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Відстань від точки з |
|
координатами , до центра |
розсіювання є випадкова величина, яка розподілена за законом Релея, тобто щільність розподілу ймовірностей має вигляд:
|
x |
|
x |
2 |
|
||
|
|
|
|
x 0; |
|||
|
2 |
exp |
2 |
2 , |
|||
f (x) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, |
|
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
Приклади розв’язання задач
Задача 3.5. Задано функцію нормального розподілу системи випадкових величин , :
|
x 3 |
|
|
1 |
|
y 2 |
|
|
1 |
|
|||
F (x, y) Ф |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
. |
|||
2 |
2 |
4 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Знайти числові характеристики системи випадкових величин , .
2.Записати щільність розподілу ймовірностей системи.
3.Скласти рівняння еліпсів розсіювання.
4.Знайти ймовірності подій:
А 2, |
1 ; B 0 4, |
4 0 . |
5. Знайти ймовірність попадання випадкової точки з координатами , в еліпс розсіювання при 1,5.
Розв’язання.
1. Порівнюємо задану функцію розподілу з формулою (3.13). Імовірнісний зміст параметрів закону Гаусса дає можливість
записати M 3, M 2, 1 2, 2 4, r 0 .
2. За відомими параметрами нормального закону запишемо щільність розподілу ймовірностей:
|
1 |
|
x 3 |
2 |
|
y 2 |
2 |
|
f (x, y) |
exp |
|
|
|
. |
|||
16 |
8 |
|
32 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Рівняння еліпсів розсіювання мають вигляд:
x 3 2 y 2 2 2 .
4 32
4. Імовірності подій обчислимо за формулами (3.13) та (3.16), скориставшись таблицею значень функції Лапласа (дод. 1).
P A P 2, 1 F 2, 1
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
Ф |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
0,185; |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
P B P 0 4, 4 0
Ф 0,5 Ф 1,5 Ф 0,5 Ф 0,5 0,24.
5.Імовірність події , Е1,5 знаходимо за формулою
(3.15):
P , E |
1 e |
2,25 |
|
|
0,675. |
||
2 |
|||
1,5 |
|
|
|
Задача 3.6. Винищувач атакує літак у хвіст і робить два поодиноких постріли з відстані 800 м. Для ураження літака достатньо одного влучення. Умовна схема контуру літака вказана на рис. 3.12.
0,25 м |
|
0,5 м |
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 м |
1 |
0
1м
2 |
3 |
|
x
4 м |
2 м |
Рис. 3.12
Знайти ймовірність ураження літака, якщо прицілювання виконують по центру літака, систематичні помилки відсутні,
розсіювання колове із серединним відхиленням Е 6,2510 3 D , де D – дальність стрільби (в метрах). Визначити необхідну кількість пострілів, за якої ймовірність ураження літака буде не меншою за
P = 0,8.
Розв’язання. Нехай подія A ={літак уражений}. Імовірність знищення літака дорівнює ймовірності хоча б одного влучення при
двох незалежних пострілах, тобто Р A 1 1 p 2 , де р –
імовірність влучення в літак при одному пострілі. Систематичні помилки відсутні, тобто центр розсіювання збігається з точкою прицілювання. Тому ймовірності влучення в праву та ліву частини
літака однакові. Обчислимо ймовірність |
p |
влучення при одному |
|||||||||||||||||||||||||
пострілі в праву частину літака, тоді |
p 2 p . |
У |
свою чергу |
||||||||||||||||||||||||
ймовірність |
|
|
p |
дорівнює |
сумі |
|
ймовірностей |
|
|
влучення |
у |
||||||||||||||||
прямокутники |
1, 2 і 3 |
(рис. |
3.12). |
Отже, |
|
р р1 |
р2 р3 . |
За |
|||||||||||||||||||
умовою E E |
2 |
6,2510 3 |
800 5 м. Імовірність p |
знаходимо за |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
формулою (3.18), в якій візьмемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
a b 0, |
|
0, |
1, |
0,5, |
|
0,5 . |
|
||||||||||||||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ˆ |
1 0 |
|
ˆ |
0 |
ˆ |
0,5 |
|
ˆ |
0,5 |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|||||||||||||
p1 Ф |
|
|
|
|
|
Ф |
|
Ф |
|
Ф |
|
|
|
2Ф 0,2 Ф 0,1 0,00289. |
|||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для знаходження |
p2 |
також використовуємо формулу (3.18). |
|||||||||||||||||||||||||
У цьому випадку а= b = 0, 1, |
|
5, 0,25, |
0,25 . Тоді |
||||||||||||||||||||||||
|
ˆ |
5 0 |
|
ˆ |
1 0 |
|
ˆ |
|
0,25 0 |
ˆ |
0,25 |
|
|||||||||||||||
p2 Ф |
|
|
|
|
Ф |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
0,00528. |
|||||||||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Для p3 : а = b = 0, 5, |
7, |
0,125, |
0,125, тому |
|||||||||
ˆ |
7 0 |
ˆ |
5 0 |
|
ˆ |
0,125 |
|
ˆ |
0,125 |
|
||
p3 Ф |
|
|
Ф |
|
Ф |
|
|
|
Ф |
|
0,001. |
|
|
5 |
5 |
|
|
5 |
|
5 |
|
||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 p 2( 0,00289 0,00528 0,001) 0,0184. |
||||||||||||
Остаточно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P A 1 1 p 2 |
1 0,98162 0,04. |
|
|||||||||
Необхідну кількість пострілів N для ураження літака з |
||||||||||||
імовірністю, |
не |
меншою |
за |
Р 0,8 , |
визначимо |
з формули |
знаходження ймовірності принаймні одного влучення при N
пострілах. Ця ймовірність має дорівнювати (або більше) 0,8, тобто |
||||||
1 (1 p) N Р. |
|
|
N |
ln 1 Р |
|
|
Звідси |
маємо |
|
. |
Або |
||
ln 1 p |
ln 1 0,8
N 86,7 . Отже, треба зробити не менше ніж 87 ln 1 0,0184
пострілів для ураження літака з імовірністю, не меншою за 0,8. Задача 3.7. Система двох випадкових величин , має
нормальний закон розподілу із щільністю розподілу ймовірностей
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x 1 |
2 |
|
y 3 |
2 |
||||
f |
|
x, y |
|
|
|
exp |
|
|
x 1 y 3 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
16 |
0,75 |
|
|
|
1,5 |
|
|
16 |
8 |
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти умовні закони розподілу випадкових величин та . |
|||||||||||||||||||
|
|
Розв’язання. |
|
Із |
виразу |
щільності |
розподілу |
маємо: |
|||||||||||||
М 1, |
М 3, |
1 |
4, |
|
2 |
2, r 0,5 0. |
Отже, |
|
та |
– |
залежні випадкові величини. Знайдемо умовні щільності розподілу
цих компонент за формулами (3.11): |
|
|
x 1 y 3 |
|
y 3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
16 0,75 |
|
|
1,5 |
|
|
|
16 |
|
|
|
8 |
|
4 |
|
||||||
f |
|
x / y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо спростити цей вираз, то будемо мати:
f x |
y |
1 |
|
|
1 |
x y 2 |
2 |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||
4 1,5 |
24 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Аналогічно знайдемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f y x |
f x, y |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
y 3 0,25 x 1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
. |
|||
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 1,5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||
Із цих виразів |
випливає, що умовні щільності розподілу |
|||||||||||||
ймовірностей f x / y |
|
та |
f y |
x |
також є щільностями розподілу |
нормального закону з параметрами, які збігаються з умовним математичним сподіванням та умовною дисперсією. Порівнюючи умовні щільності розподілу із загальним виглядом щільності розподілу закону Гаусса, маємо такі умовні математичні сподівання: M y 2 , M 3 0,25 x 1 . Цей результат
показує, що лінії регресії для нормально розподілених випадкових величин є прямі.
Задачі
Група А
3.36. Щільність розподілу ймовірностей системи випадкових
величин , |
f |
|
x, y a exp x 2 2 |
y 3 2 |
. |
Знайти |
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
коефіцієнт a та ймовірність події A 2, 3 . |
|
|
3.37. Центр розсіювання системи двох нормально розподілених випадкових величин є точка М(4,–3), а кореляційна
|
3 |
0,75 |
|
||
матриця системи має вигляд: |
K |
|
|
|
. Записати щільність |
|
|
0,75 |
12 |
|
|
|
|
|
|
розподілу ймовірностей f x, y випадкового вектора , .
3.38.Система двох випадкових величин , має
нормальний закон розподілу |
з параметрами: 1) М(3, –2), |
D 4, D 16, r 0 ; 2) М(1, 2), |
3, 1, r 0,4. |
Записати щільність розподілу ймовірностей та функцію розподілу системи випадкових величин , в обох випадках.
3.39.Ціль на плані є прямокутник із сторонами 30 та 10 м, траєкторія руху ракети проходить через центр прямокутника, прицілювання виконують по центру прямокутника. Напрямок стрільби збігається з напрямком більшої сторони прямокутника, серединне відхилення за дальністю дорівнює 20 м, у боковому напрямку – 4 м. Яка ймовірність влучення ракети в ціль?
3.40.Система двох незалежних випадкових величин ,
має нормальний закон розподілу з параметрами М(0, 0), 1 10 та2 15. Знайти ймовірність попадання випадкової точки з координатами , в еліпс з центром на початку координат та з
півосями, які відповідно дорівнюють: 1) 5 та 7,5; 2) 10 та 15; 3) 20 та 30 м.
3.41. Задано щільність розподілу ймовірностей випадкової точки на площині:
f (x, y) Aexp 4 x 5 2 2 x 5 y 3 5 y 3 2 .
Треба: 1) знайти коефіцієнт А; 2) скласти кореляційну матрицю системи випадкових величин , ; 3) обчислити площу еліпса розсіювання з 1.
3.42.Система двох випадкових величин , має
нормальний розподіл з числовими характеристиками |
М(0, 0), |
||||||
4 |
0 |
|
. Записати щільність розподілу ймовірностей |
f |
|
x, y |
|
К |
|
|
|
||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
, та знайти необхідну кількість |
||||
системи випадкових величин |
випробувань, за яких імовірність принаймні одного попадання |
|||
випадкової точки |
з координатами |
, |
в прямокутник |
П x, y : 0 x 4, |
0 y 3 була б не меншою за 0,9. |
3.43. Випадкова точка з координатами |
, розподілена за |
||||
коловим нормальним законом з параметрами М(0, 0), 1 |
2 2 . |
||||
Знайти ймовірності попадання випадкової точки в області: |
|
||||
1) |
S x, y : 4 x2 y2 9 ; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
S2 , : 0 2, 0 |
|
, |
де , – |
полярні |
|
|||||
|
|
6 |
|
|
координати точки.
3.44. Помилки визначення координат повітряних об’єктів РЛС розподілено за нормальним законом розподілу із щільністю
|
|
2 |
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
y 10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x, y) |
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
200 |
|
400 |
100 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яка ймовірність того, що координати об’єкта будуть виміряні з помилками за модулем не більше як 5 м вздовж осі ОХ та 10 м – вздовж осі ОУ?
3.45. Нормально розподілена система незалежних випадкових величин , має колове розсіювання із серединним
відхиленням 10 м та нульовим математичним сподіванням. Треба: 1) записати щільність розподілу системи; 2) знайти ймовірність того, що в чотирьох дослідах випадкова точка з координатами, не менше як три рази попаде у коло радіусом 18 м;
3) записати функцію розподілу та щільність розподілу ймовірностей радіального відхилення випадкової точки з координатами , від початку координат.
Група Б
3.46. Систему двох випадкових величин , розподілено за нормальним законом із щільністю
f x, y |
1 |
exp |
|
1 |
x 5 2 0,8 x 5 y 5 0,25 y 5 2 . |
|
2,4 2 |
|
|
0,72 2 |
|
|
|
|
Записати щільності розподілу ймовірностей компонент та
і умовні щільності розподілу.
3.47.Відхилення від номіналів двох розмірів деталі та розподілено за нормальним законом із характеристиками:
M 1 мм, M 2 мм, 2,97 мм, 3,71 мм.
Відділ технічного контролю (ВТК) приймає тільки ті деталі, в яких відхилення від номіналів обох розмірів не виходить за межі (– 5; 5) та (– 7; 5,5) мм відповідно. Знайти ймовірності подій: А = {вибрана навмання деталь буде забракована ВТК}; В = {три деталі, вибрані навмання, прийняті ВТК}; С = {не менше, ніж дві з трьох деталей прийнято ВТК}; D = {принаймні одна з трьох деталей забракована ВТК}.
3.48.Ціль на плані є прямокутник зі сторонами 250 та 150 м. Заходження літака на бомбометання проходить вздовж більшої сторони. Серединне відхилення за дальністю дорівнює 100 м, за напрямком – 80 м. Прицілювання виконують по центру цілі, але через систематичні помилки центр розсіювання змістився в бік недольоту на 20 м та вправо на 10 м. Знайти: 1) імовірність влучення при скиданні однієї бомби; 2) імовірність ураження цілі при скиданні трьох бомб, якщо для цього достатньо одного влучення; 3) імовірність влучення в ціль двох з п’яти скинутих бомб; 4) середню кількість влучень при скиданні чотирьох бомб.
3.49.Парашутист бере участь у змаганні на точність приземлення й виконує свій стрибок останнім. Характеристики розсіювання точки приземлення парашутиста дорівнюють за
вітром – 2,5 м, проти вітру – 2 м. Систематичні помилки відсутні. Три кращих результати (відхилення точки приземлення від центра хреста), що були показані попередніми парашутистами, відповідно дорівнюють 1,5; 2 та 2,5 м. Знайти ймовірність того, що парашутист: 1) посяде перше місце; 2) посяде друге місце; 3) посяде третє місце; 4) не посяде призове місце.
ГЛАВА 4. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВИХ АРГУМЕНТІВ
4.1. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу
Нехай – дискретна випадкова величина, закон розподілу якої має вигляд: P xk pk , k = 1, 2, ..., тоді закон розподілу дискретної випадкової величини знаходимо за таким алгоритмом:
1)обчислюємо всі значення, яких може набувати випадкова величина , тобто yk xk , k = 1, 2, ... ;
2)упорядковуємо ці значення;
3)під упорядкованими значеннями yk пишемо відповідні
ймовірності, якщо yk (xk ) (xr ) ... (xs ) , то ймовірність
обчислюємо так:
P yk } pk pr ... ps .
Нехай |
неперервна випадкова |
величина із |
щільністю |
||||||
розподілу |
ймовірностей |
f x |
і |
. Якщо |
функція |
||||
y (x) |
неперервна, |
монотонна, |
диференційовна |
на області |
|||||
визначення, |
|
то вона |
має обернену диференційовну |
функцію |
|||||
y (x) . |
У |
цьому |
випадку |
закон |
розподілу |
неперервної |
випадкової величини знаходимо за формулою:
f y f y |
|
y |
|
. |
(4.1) |
|
|
||||
Якщо функція y x неперервна, |
кусково-монотонна, |
диференційовна функція на області визначення, то кожна її монотонна частина має свою обернену функцію y i x , і=1,2,....,
n, де п – кількість монотонних частин функції y x . У цьому разі закон розподілу знайдемо за формулою:
n |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
f y f i y |
|
i |
. |
(4.2) |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклади розв’язання задач