Теор.вер
.pdf
|
|
x ( |
|
|
|
|
|
|||||
A cos x, |
|
|
, |
|
|
|
); |
|||||
2 |
2 |
|||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0, |
x ( |
, |
|
). |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1.Знайти коефіцієнт А та побудувати графік щільності розподілу ймовірностей f (x) .
2.Записати функцію розподілу F (x) та побудувати її
графік.
3. Обчислити числові характеристики M , D та середньоквадратичне відхилення .
4. Знайти ймовірність події |
|
. |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
1. Коефіцієнт А знайдемо з |
умови |
нормування щільності |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
розподілу ймовірностей. Маємо: |
Acos xdx 1, |
звідси A= |
. |
|||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
Графік щільності розподілу ймовірностей наведений на рис. 2.4.
0,5
– |
– |
0 |
x |
|
|
Рис. 2.4
2. Знайдемо функцію розподілу випадкової величини :
|
x |
|
1 |
x |
1 |
|
|
F (x) |
|
f (t)dt = |
costdt |
(sin x 1) , |
|||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
якщо x ( |
, |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x |
|
, |
F (x) = 0, при |
x , |
F (x) = 1. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x |
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
F (x) = |
1 |
(sin x 1), |
x ( |
|
, |
|
); |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1, |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графік функції розподілу випадкової величини наведений на рис. 2.5.
1 |
|
0,5 |
|
0 |
x |
Рис. 2.5 |
|
3. Числові характеристики випадкової величини обчислимо за формулами (2.7) і (2.8):
|
|
1 |
2 |
|
M |
xf (x)dx |
x cos xdx 0 ; |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
D (x M )2 |
f |
(x)dx |
|
x2 cos xdx |
|
2 ; |
|||||||||
2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Імовірність попадання випадкової величини в заданий проміжок знайдемо за властивістю 4 функції розподілу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Р |
|
|
|
= F |
|
F |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
. |
|
3 |
3 |
2 |
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Задачі
Група А
У задачах 2.16 – 2.22 випадкова величина має щільність розподілу ймовірностей f (x) . Знайти коефіцієнт А, побудувати графік функції f (x) , знайти функцію розподілу F (x) та
побудувати її графік, обчислити числові характеристики величини |
|||
|
та знайти ймовірність події . |
|
|
|
2.16. f (x) = 0, |
x 2, x 8; |
3; = 5. |
|
A, |
2 x 8; |
|
2.17.f
2.18.f (
0, (x) =
Ax,
0, x) =
A(x 1),
x 0, x 2; 0 x 2;
x 1, x 2;
1 x 2;
1,5; = 2.
0; = 1.
2.19. |
f (x) = 0, |
|
x 1, x 2; |
|
|
A(x 1), |
1 x 2; |
||
2.20. |
f (x) = 0, 2 |
, |
x 0, |
x 1; |
|
Ax |
0 x 1; |
1; = 43 .
0,25; = 0,25.
2.21. f (x) = |
0, |
2 x 0, |
x 3; |
1; = 2. |
||||||||
|
A(3x x |
), |
|
|
|
|
0 x |
3; |
|
|||
2.22. f (x) = |
0, |
2 x 0, |
x 2; |
0,5; = 1. |
||||||||
|
A(2x x |
), |
|
|
|
|
0 x |
2; |
|
|||
2.23. Функція розподілу неперервної випадкової величини |
||||||||||||
має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
x 0 ; |
|
||||
|
|
F (x) |
|
|
|
5 |
, |
|
0 x 3; |
|
||
|
|
Ax |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1, |
|
|
|
x 3. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Знайти |
коефіцієнт А, |
|
щільність |
розподілу ймовірностей |
||||||||
f (x) , числові характеристики M |
і D , а також імовірність події |
|||||||||||
1 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.24. Функція розподілу неперервної випадкової величини |
||||||||||||
має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
x a ; |
|
||
F (x) A B arcsin |
x |
, |
|
|
a x a , |
a 0 ; |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
x a. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти коефіцієнти А та В, побудувати графік функції F (x) . |
||||||||||||
Записати щільність |
розподілу |
|
ймовірностей |
f (x) , побудувати |
||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||
графік. Яка ймовірність події |
|
|
|
|
|
? |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
У задачах 2.25 – 2.27 неперервна випадкова величина має функцію розподілу, яка задана графічно (рис. 2.6 – 2.8). Записати
аналітичні вирази для функції |
F (x) |
та щільності |
розподілу |
||||
ймовірностей f (x) . Обчислити числові характеристики M |
і D |
||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
2.25. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
5 |
|
x |
|
Рис. 2.6
2.26.
1
0,5
-3 |
0 |
2 |
x |
Рис. 2.7
2.27.
1
0,5
0 |
1 |
2 |
6 x |
Рис. 2.8
Група Б
2.28. Неперервна випадкова величина має щільність
|
|
|
|
|
|
|
|
||
розподілу ймовірностей |
f |
|
(x) Ae |
|
x |
|
, 0 |
(розподіл |
Лапласа). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначити коефіцієнт А, |
|
побудувати графіки функції |
f (x) та |
функції розподілу F (x) . Знайти числові характеристики розподілу Лапласа та ймовірність події M .
2.29. Неперервна випадкова величина має щільність
розподілу ймовірностей, графік якої зображено на рис. 2.9 (закон Сімпсона).
|
0 |
1 |
2 |
|
|
x |
|
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
|
||
Записати аналітичні вирази |
функцій |
f (x) та |
F (x) . |
Обчислити числові характеристики M і D , знайти ймовірність події 1 1,5 .
2.30. Деякі неперервні випадкові величини, які використовують в економіці, статистиці та інших прикладних науках, розподілені за законом Парето. Функція розподілу закону Парето задається так:
|
|
0, |
|
|
|
x0 |
a |
||
F (x) |
|
|||
1 |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
x x0 ;
x x0 , |
a 0. |
Записати щільність розподілу ймовірностей закону Парето. При яких значеннях параметра а існує математичне сподівання M та дисперсія D ? Знайти числові характеристики закону.
2.31. У задачах з радіотехніки і радіолокації часто зустрічаються неперервні випадкові величини , які розподілені за
законом Релея:
|
|
|
|
0, |
|
|
x 0 ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
f (x) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
x 0, |
0. |
|
|||||
|
|
|
|
e 2 |
|
, |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записати функцію розподілу |
|
F (x) . Побудувати графіки |
|||||||||
функцій щільності розподілу |
ймовірностей |
f (x) та |
F (x) , |
обчислити числові характеристики M і D .
2.32. Щільність розподілу ймовірностей випадкових амплітуд шумової напруги задають законом Релея з параметром . Чи однаково часто зустрічаються амплітуди, менші та більші за середню?
2.33. У деяких приладах термін служби елементів електронної апаратури задається законом розподілу Вейбулла,
функція розподілу якого має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
1 ехр сxa |
, |
x 0, a 0, c 0; |
|
|
||
F (x) |
0, |
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Записати щільність розподілу ймовірностей закону Вейбулла |
||||||
та знайти числові характеристики M |
і D . |
|
|
|
||
2.34. Неперервна випадкова величина розподілена за законом |
||||||
Коші, якщо її функція |
розподілу |
дорівнює |
F (x) b c arctg |
x |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
x . Знайти коефіцієнти b і с. Записати щільність розподілу закону Коші. Чи існує математичне сподівання цього розподілу?
2.35. У теорії масового обслуговування та теорії надійності важливу роль відіграє закон Ерланга, щільність розподілу
|
|
|
0, |
x 0; |
|
ймовірностей якого має вигляд: f |
|
|
n 1 |
|
|
|
(x) |
|
|||
|
|
|
x n e x , x 0. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
n! |
|
Записати функцію розподілу закону Ерланга та знайти його числові характеристики.
2.3. Деякі закони розподілу випадкових величин
Біномний розподіл. Цілочислова невід’ємна випадкова величина розподілена за біномним законом, якщо подія m
має ймовірность:
P m Cnm pmqn m , m = 0, 1, 2, ..., n; q = 1 – p.
Функція розподілу випадкової величини має вигляд:
|
0, |
|
|
|
x 0 ; |
|
|
|
|
||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
(x) Cnm p m q n m , |
0 x k ; |
|
||||||||||
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1, |
|
x |
n, |
k 1, 2, ...,n. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Числові характеристики біномного розподілу: |
|
||||||||||||
M np ; |
D npq; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
npq . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розподіл Пуассона. Цілочислова невід’ємна випадкова |
|||||||||||||
величина має |
розподіл Пуассона, |
якщо |
|
подія |
m має |
||||||||
ймовірність: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P m |
a m |
e a , |
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|||
|
m! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де а > 0 – параметр закону Пуассона, m = 0,1,2,... |
|
||||||||||||
Функція розподілу величини має вигляд: |
|
||||||||||||
|
0, |
|
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|||
F (x) n 1 a m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
e a , |
0 x n, |
|
n 1,2,... |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m 0 m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числові характеристики закону Пуассона: M = D =а. Рівномірний розподіл. Неперервна випадкова величина
має рівномірний розподіл на проміжку [a,b], якщо її щільність розподілу ймовірностей задається так:
|
1 |
|
|
|
|
, |
x [a,b]; |
|
|||
f (x) b a |
|
|
|
|
0, |
|
x [a,b]. |
|
|
|
|
Функція розподілу рівномірного закону має вигляд:
0,
F(x) x a ,
b a1,
x a ;
a x b ; x b.
Числові характеристики рівномірного розподілу дорівнюють:
M |
a b |
; D |
(b a)2 |
||||
|
|
. |
|||||
2 |
12 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Експоненціальний (показниковий) розподіл. Неперервна |
|||||||
випадкова величина |
|
|
має експоненціальний (показниковий) |
||||
розподіл, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд: |
|||||||
|
|
|
0, |
x 0; |
|||
f |
|
(x) |
e x , |
x 0, |
|||
|
|
|
де > 0 – параметр закону.
Відповідно функція розподілу записується так:
|
|
|
0, |
|
|
|
|
x 0; |
|
|
|
|||||||
F |
(x) 1 e x , x 0. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Експоненціальний закон має числові характеристики: |
||||||||||||||||||
M |
1 |
; D |
|
1 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Неперервна |
||||||||||||||||||
випадкова величина |
розподілена |
за |
законом Гаусса, якщо її |
|||||||||||||||
щільність розподілу має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( x a)2 |
|
|
|
||||||
f |
(x) |
|
|
|
|
e |
|
2 2 |
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де а і >0 – параметри закону. Зміст цих параметрів такий: |
||||||||||||||||||
M a; D 2 , тобто |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функція розподілу F (x) |
закону Гаусса записується через |
|||||||||||||||||
функцію Лапласа Ф(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
F (x) Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де Ф(x) 1
2
Функція
x |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
||
e |
2 |
dt . |
|
|
0 |
|
|
|
|
Ф(х) – непарна, lim Ф(x) 0,5 , |
lim Ф(x) 0,5 . |
|||
|
|
|
x |
x |
Таблиця значень функції Лапласа наведена в дод. 1. Для х > 5 вважають Ф(х) = 0,5.
При розв’язанні задач найчастіше користуються формулами:
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
||||
P Ф |
|
|
Ф |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P{ |
a |
} 2Ф |
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
3 } 2Ф 3 0,9973. |
(2.11) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (2.11) є змістом “правила 3 ”, згідно з яким практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини знаходяться в інтервалі a 3 , a 3 .
У технічних задачах іноді замість параметра застосовують параметр Е, який називається серединним відхиленням. Цей
параметр визначається так: |
|
||||||
Р |
|
a |
|
3 } 0,5 . |
|
||
|
|
|
|||||
З параметром він пов’язаний співвідношенням |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E 2 , |
(2.12) |
||||
де 0,477. |
|
Якщо за числову характеристику розсіювання береться серединне відхилення, то щільність розподілу ймовірностей закону Гаусса набуває вигляду:
|
|
|
|
2 ( x a)2 |
|
||||||
f (x) |
|
|
|
2 |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
e |
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а функція розподілу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ x a |
|
1 |
|
|
||||||
F (x) Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
E |
|
|
|