Теор.вер

	ˆ				x	2t2
де	Ф(x)				e		dt	– зведена функція Лапласа, таблиця якої
				0

наведена в дод. 2. Зв’язок між функцією Лапласа Ф(х) та зведеною

ˆ

ˆ

x

функцією Лапласа

Ф(x)

такий:

Ф(x) Ф

або

2

ˆ

Ф(x) Ф( 2x) .

Для розв’язання задач у цьому випадку найчастіше

використовують формули:

ˆ

a

ˆ

a

P Ф

Ф

;

E

E

a

ˆ

P{

} 2Ф

.

(2.13)

E

Згідно з ”правилом 4Е”, практично всі значення нормально

розподіленої випадкової	величини знаходяться в інтервалі
(a 4E, a 4E) , тому що	P		a		4E 0,993.

Приклади розв’язання задач

Задача 2.5. Під час роботи ЕОМ час від часу виникають збої. Середня кількість збоїв за добу дорівнює 1,5. Будемо вважати кількість збоїв за добу випадковою величиною, яка розподілена за законом Пуассона. Знайти ймовірності подій:

1)за дві доби не буде жодного збою;

2)протягом доби буде принаймні один збій;

3)за тиждень буде не менше трьох збоїв.

Розв’язання.

1. Нехай випадкова величина 1 означає кількість збоїв за дві доби. Середня кількість збоїв за дві доби дорівнює трьом, тобто M 1 =3. Отже, 1 має розподіл Пуассона з параметром а = 3, а тому за формулою (2.10)

P{ 1 0} a0 e a e 3 0,0498. 0!

2. Нехай випадкова величина 2 означає кількість збоїв за добу, тоді M 2 = 1,5 = а. Імовірність того, що протягом доби буде принаймні один збій знайдемо так:

P{ 2 1} 1 P{ 2 0} 1 1,50 e 1,5 1 e 1,5 0,777. 0!

3. Нехай випадкова величина 3 означає кількість збоїв за тиждень, тоді M 3 = 10,5 = а. Відповідну ймовірність обчислюємо

так:
P 3 3 1 P 3 0 P 3 1 P 3 2
1 e 10,5 10,5e 10,5	10,5 2	0,998.
	e 10,5
	2

Задача 2.6. Частота передавача імпульсної радіостанції розподілена за рівномірним законом на проміжку 8300 30 МГц. Яка ймовірність того, що з п’яти сигналів РЛС принаймні один буде виявлений станцією розвідки зі смугою пропускання приймача 8225 ... 8285 МГц?

Розв’язання. За умовою випадкова величина – частота

передавача імпульсної радіостанції – розподілена за рівномірним законом на проміжку [а, b], де а = 8300 – 30 = 8270, b = 8300+30 =

=8330 МГц.

		8285		8285	1		15
	Тоді P{8225 8285}		f (t)dt			dt			0,25.
					60		60
		8225		8270

Нехай подія А ={принаймні один з п’яти сигналів буде виявлено}. Знайдемо ймовірність події A ={жодного сигналу не виявлено}. За формулою Бернуллі (1.5):

P(A) (0,75)5 0,237, звідси P(A) 1 P(A) 0,763.

Задача 2.7. Час безвідмовної роботи (у годинах) деякого приладу є випадкова величина , яка задана щільністю розподілу

ймовірностей

f (t) 0,08e 0,08t ,	t 0 .

Знайти: 1) середній час безвідмовної роботи приладу;

2)імовірність безвідмовної роботи приладу протягом 4 год;

3)імовірність відмови приладу в інтервалі часу [4, 20] год;

4) надійність системи, яка складається з п’яти послідовно під’єднаних однакових приладів протягом 4 год. Вважати відмови приладів незалежними.

Розв’язання.

1. Середній час безвідмовної роботи приладу є математичним сподіванням випадкової величини – часу безвідмовної роботи

приладу. З вигляду щільності розподілу ймовірностей робимо висновок, що величина розподілена за експоненціальним

законом з параметром = 0,08. Отже, M 1 = 12,5 год.

2. Імовірність безвідмовної роботи приладу знайдемо за формулою

P{ t} 1 F (t) e t .

За умовою задачі = 0,08, t = 4 год, а тому

P{ 4} e 0,32 0,726.

3. Спочатку знайдемо ймовірність безвідмовної роботи приладу в інтервалі часу [4, 20]:

P{4 20} F (20) F (4) e 0,32 e 1,6 0,524.

Тоді ймовірність відмови приладу в цьому інтервалі

p1 P{4 20} 0,476.

4.Надійність (імовірність безвідмовної роботи) системи

послідовно під’єднаних приладів за теоремою множення ймовірностей

		n
n	n	t i
Pсист (t) Pi (t) e it e		i 1	,
i 1	i 1
де i – параметри експоненціального			закону розподілу

безвідмовної роботи для кожного приладу. Якщо прилади однакові,

	n
то 1 = 2 =...= n . За умовою задачі n = 5, = 0,08, тому i =5		=
	i 1
=0,4. Надійність роботи системи за 4 год
P (4) e 4 0,4 e 1,6	0,202.
сист

Задача 2.8. Літак виконує поодиноке бомбометання по автостраді, ширина якої 20 м. Напрям польоту – вздовж автостради. Серединне відхилення у напрямі, перпендикулярному до польоту, дорівнює 25 м. Систематичної помилки приціл не дає. Знайти ймовірність влучення в автостраду.

Розв’язання. Відхилення точки влучення від точки прицілювання є нормально розподілена випадкова величина . За

умовою задачі систематичної помилки приціл не дає, тобто M =0. Крім того, Е = 25 м. Розв’язання задачі зводиться до знаходження ймовірності події { 10} (рис. 2.10).

y

				25
				10
				0	Лінія прицілювання
	Автострада			-10 Напрям польоту літака					x
				-25
				Рис. 2.10
За формулою (2.13)
					ˆ 10
	P{			10} 2Ф				0,2127.
					25

Задачі

Група А

2.36. Чотири літаки незалежно один від одного скидають по одній бомбі в наземну ціль. Імовірність влучення в ціль для літаків однакова й дорівнює 0,6. Випадкова величина означає кількість

влучень. Побудувати ряд розподілу величини , записати функцію

розподілу. Знайти числові характеристики M , D та ймовірність події {2 4} .

2.37. Визначити ймовірність влучення в ціль при кожному пострілі та кількість пострілів, якщо середня кількість влучень дорівнює 240, а середньоквадратичне відхилення випадкової величини, яка характеризує кількість влучень, дорівнює

12.

2.38.Незалежні випробування проводять за схемою Бернуллі

зімовірністю успіху p. Їх повторюють до першого успіху, після

чого припиняють. Нехай випадкова величина означає кількість

проведених випробувань до першого успіху включно. Записати закон розподілу випадкової величини та знайти ймовірність

P 3 .

2.39.Проводять незалежні випробування за схемою Бернуллі. Ймовірність успіху в одному випробуванні дорівнює р. Знайти

ймовірність події А = {всі k успіхів в n випробуваннях з’являться один за одним, k n }.

2.40.Коректура з 500 сторінок містить 1300 помилок. Із врахуванням того, що можна застосувати закон Пуассона, знайти найбільш імовірну кількість помилок на одній сторінці тексту та ймовірність цієї кількості помилок.

2.41.На вузол зв’язку надходять у середньому 120 повідомлень за годину. Кількість повідомлень є випадкова величина, яка розподілена за законом Пуассона. Знайти ймовірності того, що протягом хвилини: 1) на вузол зв’язку надійшло не більше одного повідомлення; 2) надійшло три повідомлення; 3) надійшло не менше п’яти повідомлень.

2.42.Радіостанція веде передачу інформації протягом 100

мкс в умовах імпульсних завад. Середня кількість імпульсів завад за секунду дорівнює 103. Збігу одного імпульсу завад з періодом роботи радіостанції достатньо для зриву передачі. Визначити ймовірність того, що передача інформації не відбудеться.

2.43.Випадкова величина розподілена за законом

Пуассона з математичним сподіванням M = а = 3. Записати функцію розподілу випадкової величини . Знайти ймовірність:

1) того, що випадкова величина набуває значень, менших за математичне сподівання M ; 2) величина набуває додатних

значень.

2.44. Помилка виміру деяким вимірювальним приладом є випадкова величина , яка задана щільністю розподілу

ймовірностей

A,		x [ 1,	1];
f (x)	0,	x [ 1,	1].

Знайти коефіцієнт А, записати функцію розподілу F (x) . Яка

ймовірність того, що при одному вимірі помилка не вийде за межі0,5 , а також числові характеристики помилки виміру?

2.45. Ціна поділки шкали радіодалекоміра дорівнює 10 м. Яка ймовірність того, що абсолютна помилка виміру відстані не перевищує 2 м?

2.46. Шкала секундоміра має ціну поділки 0,2 с. Яка ймовірність зробити за цим секундоміром відлік часу з помилкою, більшою за 0,05 с?

2.47.Випадкова величина означає тривалість

прямокутного імпульсу напруги. Вона має рівномірний закон розподілу на інтервалі (10, 18) мкс. Записати закон розподілу величини , знайти її числові характеристики. Яка ймовірність

того, що різниця між математичним сподіванням М і величиною

не перевищує 1,5 ?

2.48.Випадкова величина означає час безвідмовної роботи системи. Вона має щільність розподілу ймовірностей

		0,	t 0;
f		(t)	t 0.
		Ae 0,1t ,

Знайти коефіцієнт А, функцію розподілу F (t) , числові характеристики величини , а також надійність (імовірність

безвідмовної роботи) системи протягом часу . Яка ймовірність того, що час безвідмовної роботи системи буде меншим від математичного сподівання?

2.49. Функція розподілу часу безвідмовної	роботи
радіоапаратури літака (у годинах) має вигляд: F (t) 1 e	t
	40 , t 0.

Знайти щільність розподілу часу безвідмовної роботи, а також надійність (імовірність безвідмовної роботи) радіоапаратури протягом трьох льотних змін по 6 год кожна. Яка ймовірність відмови радіоапаратури за 10 льотних змін по 6 год кожна?

2.50.Час відновлення каналу зв’язку має експоненціальний розподіл. Середній час відновлення дорівнює 10 хв. Яка ймовірність того, що час відновлення буде знаходитись у межах від

5 до 25 хв?

2.51.Час безвідмовної роботи приладу літака має експоненціальний розподіл. Яким має бути середній час безвідмовної роботи приладу, щоб його надійність за 4 год польоту літака була не нижчою за 0,99?

	2.52.	Щільність розподілу			ймовірностей					часу	роботи
						1	e	t
					(t)					t 0 .
	елемента	деякого приладу	f					540,			Знайти
						540

ймовірності подій А ={елемент відмовив протягом 648 год}; В ={елемент відмовив в інтервалі часу від 324 до 800 год};

С ={елемент безвідмовно працював протягом трьох діб}. Знайти надійність (імовірність безвідмовної роботи) протягом трьох діб безперервної роботи приладу, який складається з 15 однакових елементів. Відомо, що відмова хоча б одного з елементів призводить до відмови всієї схеми. Вважати відмови елементів незалежними.

2.53. Неперервна випадкова величина розподілена за законом Гаусса та має числові характеристики: M = 2, D = 1.

Записати щільність розподілу ймовірностей та функцію розподілу величини . Яка ймовірність події {0< <3}?

2.54. Амплітуда струму в коливальному контурі розподілена за законом Гаусса з числовими характеристиками M = 30 мА, D

= 55 мА2. Знайти ймовірності того, що амплітуди струму в контурі будуть: 1) у межах від 20 до 40 мА; 2) не менше 25 мА; 3) не більше 42 мА.

2.55.Систематична помилка вольтметра дорівнює 20 мВ. Випадкові помилки вольтметра розподілені за законом Гаусса. Яким має бути серединне відхилення помилки, щоб у 90 % випадків помилка виміру не перевищувала помилки в бік завищення 100 мВ?

2.56.Численними вимірами встановлено, що напруга в електричній мережі в 220 В не відхиляється від свого номіналу на

28 В. Записати щільність розподілу ймовірностей нормального закону, який має напруга. Яка ймовірність нормальної роботи телевізора, якщо відомо, що вона розрахована на діапазон напруги від 205 до 235 В?

2.57.Визначити серединне відхилення вимірювального приладу, якщо систематичних помилок він не робить, а випадкові помилки розподілені за нормальним законом. Крім того, відомо, що помилки з імовірністю 0,8 не виходять за межі мінус 20 ... плюс

20 м.

2.58.Гармата веде вогонь по залізничній колії шириною 10 м. Площина стрільби перпендикулярна до напрямку колії.

Прицілювання – на середину колії. Систематична помилка відсутня. Імовірність відхилення у напрямку, перпендикулярному до колії, дорівнює 20 м. Зроблено 60 пострілів. Яким буде найбільш імовірне число влучень?

2.59. Помилка, яку дає вимірювальний прилад, розподілена за законом Гаусса з дисперсією 16 мм2. Систематична помилка відсутня. Знайти ймовірність того, що в п’яти незалежних вимірах помилка: 1) один раз буде більша за модулем 6 мм; 2) принаймні один раз буде в інтервал від 0,5 до 3,5 мм.

Група Б

2.60. Час Т між двома збоями ЕОМ має експоненціальний розподіл з параметром . Розв’язування деякої задачі вимагає безвідмовної роботи ЕОМ протягом часу . Якщо за час відбувся збій, то задачу потрібно розв’язувати спочатку. Збій виявляється тільки через час після початку розв’язання задачі. Розглянемо випадкову величину – час, за який задача буде

розв’язана. Знайти закон розподілу та середній час розв’язання задачі.

2.61. Прилад складається з чотирьох блоків, які мають однакову інтенсивність відмов 8,5 10 2 (1/год). Відмова приладу настає при відмові принаймні одного з блоків, відмови блоків незалежні. Вважаємо, що час безвідмовної роботи приладу та блоків має експоненціальний розподіл. Треба: 1) записати функцію розподілу часу безвідмовної роботи приладу; 2) визначити надійність (імовірність безвідмовної роботи) приладу протягом

6 год; 3) скласти ряд розподілу, знайти функцію розподілу та числові характеристики кількості блоків приладу, які відмовили протягом 6 год роботи.

2.62.Систематична помилка утримання висоти літаком дорівнює плюс 20 м, а випадкова помилка розподілена за нормальним законом і має середньоквадратичне відхилення, яке дорівнює 75 м. Для польоту літака відведений коридор, висота якого становить 100 м. На початку польоту літаку задана висота, що відповідає середині коридору. Яка ймовірність того, що літак буде летіти: 1) нижче від коридору; 2) усередині коридору; 3) вище від коридору?

2.63.Бракування кульок для підшипників виконують так:

якщо кулька не проходить через отвір діаметром d1 , але проходить через отвір діаметром d2 d1 , то її розмір вважається допустимим. Якщо будь-яка умова не виконується, то кульку бракують. Відомо,

що діаметр кульки D є	нормально	розподіленою		випадковою
величиною з числовими	характеристиками:		MD d1 d2		/ 2 ;
D d2 d1 / 4 . Знайти	ймовірність	того,	що	кулька	буде

забракована.

2.64.За умов задачі 2.63 знайти середньоквадратичне відхилення D , якщо відомо, що брак складає 10 % усієї продукції.

2.65.Дві випадкові величини та мають однакові

дисперсії. Випадкова величина розподілена нормально,

величина розподілена рівномірно. Знайти співвідношення між серединними відхиленнями цих випадкових величин.

2.66.Встановити зв’язок між середнім абсолютним

відхиленням М М нормально розподіленої випадкової величини та її середньоквадратичним відхиленням.

2.67.Випадкова величина розподілена за законом Гаусса з параметрами m і . Знайти ймовірності подій: 1) А = x1 ;

2)В= x2 , де x1 і x2 – точки перегину кривої щільності розподілу ймовірностей випадкової величини .

2.68.Випадкова величина розподілена за законом Гаусса з

параметрами a 1, 1 . Знайти коефіцієнт асиметрії, коефіцієнт ексцесу та початковий момент шостого порядку величини .

ГЛАВА 3. СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН (ВИПАДКОВІ ВЕКТОРИ)

3.1. Дискретні випадкові вектори, їхні закони розподілу та числові характеристики

Нехай , f , P}– ймовірнісний простір. Назвемо n-вимірним

випадковим вектором, або		системою випадкових величин,
	1 , 2 ,..., n }
		векторну функцію, яка визначена на

просторі та має значення у n-вимірному евклідовому просторі

R n . Крім того, подія {			( ) x ,	2	( ) x		2	,...,		n	( ) x				n	} f , для
		1	1
	{x , x ,...,x } Rn .		Випадкові			величини						,				, ...,
x														2			n
	1 2	n									1

називаються координатами, або компонентами випадкового вектора. Найчастіше розглядають двовимірні випадкові вектори

або систему з двох випадкових величин , . За означенням функція розподілу випадкового вектора дорівнює:

F (x1, x2 , ..., xn ) Р{ 1 x1, 2 x2 , ..., n xn}.