2. Основные распределения, связанные с набором независимых одинаково распределенных по стандартному нормальному закону случайных величин.

При работе с ,, ..., - набором случайных величин, каждая из которых распределена по закону , часто возникает необходимость рассматривать распределение случайных величин, получающихся, как какая-либо комбинация всех этих величин. Основные такие распределения также, как и стандартное нормальное, посчитаны таблично для различных значенийn.

1) Распределение хи-квадрат.

Распределение хи-квадрат с n степенями свободы, , -это распределение случайной величины

2) Распределение Стьюдента.

Распределение Стьюдента (или t-распределение) с n степенями свободы – это распределение случайной величины

3) Распределение Снедекора-Фишера.

Распределение Снедекора-Фишера, или F-распределение с n, m степенями свободы – это распределение случайной величины

3. Основные понятия математической статистики

Выборкой объема n называется случайный вектор X=(X₁, X₂,..., X_n)^Т, где СВ (случайные величины) X_i, i=1..n являются независимыми одинаково распределенными с функцией распределения F(x). Апостериорно выборка X является неслучайным вектором – набором n независимых реализаций одной и той же случайной величины.

Упорядоченный по возрастанию набор из неслучайных значений выборки X обозначается X⁽ⁱ⁾ i=1...n и называется вариационным рядом выборки.

Разница между наибольшим и наименьшим значениями выборки называется размахом выборки.

Эмпирической функцией распределения (или выборочной функцией распределения) называется ступенчатая функция F_n(x), построенная следующим образом:

F(x)=M(x)/n, где M(x)={число реализаций, значение которых меньше x}.

Выборочная функция распределения в каждой точке является оценкой F(x).

Гистограммой называется оценка функции плотности вероятности, состоящая из столбцов. Для ее построения вся область значений выборки разбивается на k одинаковых интервалов, k<<n. Далее подсчитывается количество значений выборки, принадлежащих каждому из интервалов m₁, m₂, … m₂. Затем подсчитываются соответствующие частоты v_i= m_i/n. Для выполнения условия нормировки (см пункт 1) необходимо значения полученных частот разделить на длину интервалов, и далее строить над каждым интервалом столбец найденной высоты.

Свойства оценок.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Ниже приведены важнейшие из них.

Пусть * - оценка неизвестного параметра  какого-то теоретического распределения. Допустим, по выборке объема n найдена оценка *₁. При использовании другой выборки, полученной по тому же распределению, будет определена оценка *₂. Повторяя опыт многократно с новыми выборками, получим набор значений *₁, *₂, …, *_n, которые будут различаться между собой. Таким образом, оценку * можно рассматривать, как случайную величину, а – как ее *₁, *₂, …, *_n возможные значения.

1) Несмещенность.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру:

M(*)=

2) Состоятельность.

Состоятельной называется оценка, для которой вероятность

P{|*-|<}  1, при n  , для любого >0.

Т.е., при достаточно большом n вероятность того, что отклонение оценки от оцениваемого параметра не превысит любую, сколь угодно малую, величину стремится к единице. Иначе говоря, * стремится к  по вероятности.

3) Эффективность.

Эффективной называется статистическая оценка, имеющая (при заданном объеме выборки n) наименьшую возможную дисперсию