- •Определенный интеграл
- •Определение интеграла Римана
- •Суммы Дарбу и их свойства
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Свойства, связанные с операциями над функциями
- •Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •Свойства, связанные с неравенствами
- •Интегрируемость кусочно непрерывной функции
- •Первая интегральная теорема о среднем
- •Свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •Вторая интегральная теорема о среднем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функции многих переменных
- •Пространство Rn и его подмножества
- •Сходящиеся последовательности в Rn
- •Компактные множества в Rn
- •Функции многих вещественных переменных и их предел
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Отображения из Rn в Rp
- •Принцип сжимающих отображений
- •Частные производные и дифференциал
- •Дифференцируемость отображения и суперпозиции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению, градиент
- •Частные производные и дифференциалы старших порядков
- •Дифференциалы старших порядков суперпозиции
- •Формула Тейлора для функций многих переменных
- •Локальный экстремум функции многих переменных
- •Функциональная зависимость
- •Условный экстремум функции многих переменных
- •Задания для самостоятельной работы
что семейство {Uxk (δxk /2), k = 1, . . . , m} является конечным подпокрытием G. Положим δ = min{δx1 , δx2 , . . . , δxm} (очевидно, δ > 0). Зафиксируем любые две точки x0, x00 G, ρ(x0, x00) < δ/2. По определению покрытия существует 1 ≤ k ≤ m такое, что x0 Uxk (δxk /2). Тогда ρ(x0, xk) < δxk /2 и
ρ(x00, xk) ≤ ρ(x00, x0) + ρ(x0, xk) < δ/2 + δxk /2 ≤ δxk /2 + δxk /2 = δxk .
Поэтому |f(x0) − f(xk)| < ε/2 и |f(x00) − f(xk)| < ε/2. Следовательно,
|f(x0) − f(x00)| ≤ |f(x0) − f(xk)| + |f(x00) − f(xk)| < ε,
что означает равномерную непрерывность функции f на G. Приведем определение точки разрыва функции.
Определение 2.36. Пусть функция f определена в окрестности точки x0 Rn, кроме быть может самой точки x0. Точку x0 называют точкой разрыва функции f, если либо f не определена в точке x0, либо определена в ней, но не является непрерывной.
Последнее возможно, если либо не существует lim f(x), либо этот
x→x0
предел существует, но не равен значению функции в точке x0.
2.6 Отображения из Rn в Rp
Перенося на функции многих переменных результаты, доказанные для функции одной переменной, мы пока не рассмотрели две очень важные теоремы: теорему о промежуточном значении и теорему о непрерывности суперпозиции. Чтобы провести эти обобщения наиболее естественным образом, введем новые понятия, полезные во многих приложениях математического анализа.
Определение 2.37. Пусть X Rnx и на X определены функции многих переменных fj, j = 1, 2, . . . , p (p ≥ 2). Закон, который каждой точке x X ставит в соответствие точку y = (f1(x), . . . , fp(x)), называют вектор-функцией или отображением из Rn в Rp.
Вектор-функцию обычно обозначают или f : X Rn → Rp, где f = (f1, . . . , fp), или y = f(x), или y = (f1(x), . . . , fp(x)). Учитывая, что y
— точка Rp, можно сказать, что последнее равенство равносильно следующим
y1 = f1(x1, x2, . . . , xn), . . . , yp = fp(x1, . . . , xn).
Очевидно, что при p = 1 мы имеем дело с функцией многих переменных. Если n = 1, а p ≥ 2, то соответствующее отображение f из R в Rp называют вектор-функцией скалярного аргумента. Для отображения f :
66
X Rnx → Rp, всегда можно определить функцию fj = πj ◦ f, которая каждому элементу x из X ставит в соответствие j-координату точки f(x). Функцию fj, j = 1, . . . , p, называют j-той координатной функцией отображения f. Очевидно, что отображение f задано тогда и только тогда, когда задано p координатных функций.
Определение 2.38. Пусть f : X Rn → Rp, f = (f1, . . . , fp), a X.
Будем говорить, что отображение f непрерывно в точке a, если каждая его координатная функция fj, j = 1, . . . , p, непрерывна в точке a. Аналогично, будем говорить, что отображение f непрерывно на множестве X, если каждая его координатная функция непрерывна на множестве X.
Определение непрерывности отображения можно дать как в терминах "ε − δ,", так и терминах последовательностей и окрестностей.
Примером отображения из R2 в R2 может служить хорошо известное преобразование полярной системы координат в декартову систему координат, которое обозначается через pd(ρ, ϕ) и действует по правилу:
(ρ, ϕ) Rρ,ϕ2 |
pd |
|
: ρ ≥ 0, ϕ [0, 2π) −→ (x, y) R(2x,y) |
: |
|
|
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. |
|
Определение 2.39. Пусть f : X Rnx → R, ϕ : T Rpt → X Rn,
причем ϕ(T ) X. Суперпозицию F = f◦ϕ : T Rpt −→ R называют суперпозицией функций многих переменных.
Смысл этого определения легко раскрывается, если перейти к координатным функциям в записи вектор-функции ϕ:
F (t) = f◦(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn)(t) = f(ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)), t T.
Теорема 2.20 (о непрерывности суперпозиции функции многих переменных). Пусть заданы функция f : X Rnx → R и отображение ϕ : T Rpt → X. Если отображение ϕ непрерывно в точке t0 T, а функция f непрерывна в точке x0 = ϕ(t0), то функция F = f◦ ϕ непрерывна в точке t0.
Воспользуемся определением 2.30 и теоремой 2.13. Зафиксируем по-
следовательность {tk} точек множества T такую, что lim tk = t0. Рас-
k→+∞
смотрим числовую последовательность {F (tk)} = {f(ϕ(tk))} . Так как отображение ϕ непрерывно в точке t0, то его координатные функции
ϕj непрерывны в точке t0, поэтому lim ϕj(tk) = ϕj(t0), j = 1, . . . , p.
k→+∞
Поскольку ϕ(tk) = (ϕ1(tk), . . . , ϕp(tk)), то последовательность {ϕ(tk)} покоординатно сходится в Rp к точке
ϕ(t0) = (ϕ1(t0), . . . , ϕp(t0)) = x0.
67
Учитывая непрерывность функции f в точке x0, получим, что
lim F (tk) = lim f(ϕ(tk)) = f(x0) = f(ϕ(t0)) = F (t0).
k→+∞ k→+∞
Поскольку tk — произвольная последовательность, обладающая свойствами: tk T, tk → t0, то функция F непрерывна в точке t0.
Одним из важных типов отображений являются вектор-функции скалярного аргумента, которые отображают отрезок R в Rn.
Определение 2.40. Непрерывное отображение ϕ : [α, β] → Rn называется кривой (непрерывной кривой) в Rn. Множество точек
L = {x Rn : x = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) , t [α, β]}
называется линией (непрерывной линией) в Rn или носителем кривой в Rn. При этом точка A = ϕ(α) называется началом кривой (или линии L), а точка B = ϕ(β) — концом кривой (линии).
Определение 2.41. Пусть G Rn, A, B G. Будем говорить, что точки A и B можно соединить непрерывной кривой (или линией) в G, если существует непрерывное отображение ϕ : [α, β] → G такое, что ϕ(α) = A, ϕ(β) = B.
Примером непрерывной кривой в Rn, соединяющей в Rn точки
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn),
является линейное отображение ξ : [0, 1] −→ Rn, координатные функции которого определяются правилами:
ξ1(t) = (1 − t)x1 + ty1, . . . , ξn(t) = (1 − t)xn + tyn, t [0, 1].
Пользуясь операциями сложения и умножения на число в Rn, точку ξ(t) из Rn можем представить в виде ξ(t) = (1−t)x+ty, t [0, 1]. Множество точек {z = (1 − t)x + ty Rn | t [0, 1]} (или соответствующую кривую) называют отрезком (или сегментом) в Rn, соединяющим точки x и y, и обозначают [x, y].
Определение 2.42. Множество G из Rn называется линейно связным, если любые две точки множества G можно соединить непрерывной кривой в G.
Определение 2.43. Открытое линейно связное множество в Rn называется областью.
Лемма 2.7. Шар S0(ε) является областью в Rn.
68
Открытость шара доказывается в примере 2.1. Докажем его связность. Зафиксируем произвольные две точки x и y из S0(ε). Рассмотрим отрезок L, соединяющий точки x, y в Rn:
L = {ξ(t) = (1 − t)x + ty : t [0, 1]} .
Оценим сверху ρ(ξ(t), 0), t [0, 1]. В силу свойств расстояния ρ(x, y), учитывая, что ρ(x, 0) < ε, ρ(y, 0) < ε, получим для всех t из отрезка [0, 1]:
ρ(ξ(t), 0) = ρ((1 − t)x + ty, 0) ≤ ρ((1 − t)x, 0) + ρ(ty, 0) =
= (1 − t)ρ(x, 0) + tρ(y, 0) < (1 − t)ε + tε = ε.
Последнее означает, что все точки отрезка L лежат в шаре S0(ε), а поэтому S0(ε) — связное в Rn множество.
Теорема 2.21 (Больцано–Коши о промежуточном значении).
Пусть функция многих переменных f непрерывна на линейно связном множестве G пространства Rn и принимает в двух его точках A и B различные значения (f(A) 6= f(B)) . Тогда для любого числа C, лежащего между f(A) и f(B), на любой непрерывной линии L, соединяющей точки A и B в G, найдется точка cL такая, что f(cL) = C.
Пусть L — некоторая непрерывная линия, соединяющая точки A и B в G, а ϕ : [α, β] → L G — соответствующая ей непрерывная кривая. Тогда ϕ C([α, β]), ϕ(α) = A, ϕ(β) = B. Пусть F = f ◦ ϕ. По теореме о непрерывности суперпозиции, функция F непрерывна на [α, β], при этом
F (α) = f(ϕ(α)) = f(A), F (β) = f(ϕ(β)) = f(B).
Применяя к F теорему о промежуточном значении функции одной переменной, получим, что для любого числа C, заключенного между F (α) и F (β), найдется такая точка γ (α, β), что F (γ) = C. Но F (γ) = f(ϕ(γ)), и потому в точке ϕ(γ) = cL L функция f принимает значение C.
2.7 Принцип сжимающих отображений
Определение 2.44. Пусть X — замкнутое подмножество в Rn и f : X → X, причем существует число α (0, 1) тaкое, что для любых x и y из X ρ(f(x), f(y)) ≤ αρ(x, y). Тогда отображение f называется сжимающим.
Теорема 2.22 (принцип сжимающих отображений). Если f —
сжимающее отображение на X, то в X существует единственная точка x0 такая, что f(x0) = x0. (Точка x0 называется неподвижной точкой сжимающего отображения f.)
69