2.20 Задания для самостоятельной работы

1.Для евклидовой метрики ρ(x, y) в Rn доказать следующие утверждения:

(a)ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), x, y, z Rn;

(b)ρ(λx, λy) = |λ|ρ(x, y), x, y Rn, λ R;

(c)ρ(λx, µx) = |λ − µ|ρ(x, 0), x R, λ, µ R;

(d)ρ(x + a, y + b) ≤ ρ(x, y) + ρ(a, b), x, y, a, b Rn.

2.Доказать, что, наряду с евклидовой метрикой ρ(x, y), метрику в n- мерном координатном пространстве можно ввести следующими формулами:

ρ0 x, y	n		ρ00 x, y
	kX	x y ,		max x y ,
( ) =		| k − k|	( ) =	1	≤ ≤	n | k − k|
	=1				k

при этом выполняются неравенства

ρ00(x, y) ≤ ρ0(x, y) ≤ n ρ00(x, y) и ρ00(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ √n ρ00(x, y) .

3.Доказать, что A ×B — открытое множество в Rnx,y+m, если множества A Rnx и B Rmy являются открытыми множествами.

4.Доказать, что множество {a} × (c, d), где a, b, c R и c < d, не является открытым и не является замкнутым в R2.

5.Доказать, что граница любого подмножества в Rn является замкнутым множеством.

6.Доказать, что фундаментальность последовательности {Mk}∞k=1, в которой Mk Rn, k N, эквивалентна фундаментальности всех её координатных последовательностей в R1.

7.Доказать, что объединение двух линейно связных в Rn множеств, имеющих общую точку, является линейно связным множеством.

8.Пусть f : G R2x,y → R, причём функция f раздельно непрерывна на G и монотонна по y при каждом фиксированном x. Доказать, что функция f непрерывна на G.

9.Доказать, что образ компакта G Rn при непрерывном отображении есть компакт в R1.

10.Пусть функция f : G R2x,y → R равномерно непрерывна на открытом ограниченном множестве G, M0— предельная точка G, M0 / G.

Доказать, что lim f(x, y) R.

(x,y)→M0

140

G ограниченные частные производные мерно непрерывна на G.

11.Пусть функция f : G R2x,y → R непрерывна по переменной x и удовлетворяет условию Липшица по переменной y в некоторой

области G, то есть L > 0 : |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|, где (x, y1), (x, y2) G. Доказать, что f непрерывна на G.

12.Пусть функция f(x, y) непрерывна по переменной x и равномерно непрерывна по y в некотором открытом множестве G. Доказать, что f непрерывна на G.

13.Доказать, что образ линейно связного в Rn множества X при непрерывном отображении f : X Rn → Rm является линейно связным в Rm множеством.

14.Пусть функция f(x, y) непрерывна по переменной x при каждом фиксированном y и имеет ограниченную частную производную ∂f∂y в области G. Доказать, что функция f непрерывна на G.

∂f

15. Пусть функция f : R2x,y → R имеет на R2 частные производные ∂x и ∂f∂y . Доказать, что если ∂f∂x(x, y) = ∂f∂y (x, y) = 0, для всех (x, y) R2, то функция f является постоянной.

16. Пусть G — выпуклое множество в Rn, то есть вместе с любыми точками x и y из G оно содержит и прямолинейный отрезок, соеди-

няющий эти точки. Доказать, что если функция f : G → R имеет в

∂f , k = 1, . . . , n, то f равно- ∂xk

17.Доказать, что если функция f : G Rnx → R непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности Ua(δ0) точки a, то

X

n ∂f

x Ua(δ0) \ {a} θx [a, x] : f(x) = f(x0) + k=1 ∂xk (θx)(xk − ak).

18.Может ли непрерывно дифференцируемая функция f(x, y) иметь бесконечное множество строгих локальных максимумов и ни одного минимума? Ответ подтвердить примером.

19.Верно ли утверждение: если непрерывно дифференцируемая на R2

функция f(x, y) имеет только одну стационарную точку (x0, y0), в которой она имеет локальный минимум, то для всех (x, y) R2 справедливо неравенство f(x, y) ≥ f(x0, y0) ?

141

20.Пусть функция f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема в неко-

торой окрестности UM0 (δ0) точки M0, f(M0) = 0 и dfM0 (dx, dy) = 0 в R2. Доказать, что если M > 0: (x, y) UM0 (δ0) \ {M0}

|fx002 (x, y)| ≤ M, |fxy00 (x, y)| ≤ M, |fy002 (x, y)| ≤ M,
то |f(x, y)| ≤ M (x − x0)2 + (y − y0)2 , (x, y) UM0 (δ0).
			∂f
21. Пусть функция f имеет частную производную				в U(x0,y0) \{(x0	, y0)}
			∂x
и существует конечный предел lim	∂f	(x, y0) = c. Доказать, что су-
x→x0	∂x

∂f

ществует ∂x(x0, y0) = c.

22.Пусть функция f : G R2x,y → R удовлетворяет в некоторой окрестности U(0,0) точки (0, 0) условию |f(x, y)| ≤ x2 + y2. Доказать, что функция f дифференцируема в точке (0, 0).

23.Пусть функция F : G R2x,y → R дважды непрерывно дифференцируема на множестве G, F (M0) = 0 и Fy0(M0) 6= 0. Доказать, что в некоторой окрестности точки M0 уравнение F (x, y) = 0 определяет дважды непрерывно дифференцируемую неявную функцию y = f(x)

и		(F 0)2		2F 0F	0	+ F 002	(F 0)2
	F 002		−
fx002 (x) =	x	y		x y		y	y	.
				(Fy0)3

142

Литература

[1]И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, т.1. — М. : Высшая школа, 2000.

[2]В. А. Зорич. Математический анализ, т. 1. — М. : Наука, 1993.

[3]В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ, т. 1. — М.: Изд–во МГУ, 1979.

[4]Т.И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Калиниченко, В.А. Савельев. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 1-й семестр. — Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2006.

[5]Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, т.1. — М.: Высшая школа, 1988.

[6]Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. — М. : Наука, 1966.

[7]Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. — М. : Наука, 1966.

[8]А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. — М.: Из–во МФТИ, 2000.

143

Оглавление

1 Определенный интеграл		3
1.1	Определение интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . .	3
1.2	Суммы Дарбу и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . .	6

1.3Критерий Дарбу интегрируемости функции . . . . . . . . . 10

1.4Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Свойства, связанные с операциями над функциями 16

1.5.2Свойства, связанные с отрезками интегрирования . 18

1.5.3Свойства, связанные с неравенствами . . . . . . . . 20

1.6 Интегрируемость кусочно непрерывной функции . . . . . 22

1.7Первая интегральная теорема о среднем . . . . . . . . . . 24

1.8Свойства интеграла с переменным верхним пределом . . . 26

1.9Методы вычисления определенного интеграла . . . . . . . 29

1.9.1Метод замены переменной . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.2Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . 30

1.10	Вторая интегральная теорема о среднем . . . . . . . . . .	32
1.11	Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . .	35
2 Функции многих переменных		42

2.1Пространство Rn и его подмножества . . . . . . . . . . . . 42

2.2Сходящиеся последовательности в Rn . . . . . . . . . . . . 48

2.3Компактные множества в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4Функции многих вещественных переменных и их предел . 55

2.5Непрерывность функции многих переменных . . . . . . . . 61

2.6 Отображения из Rn в Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.7Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . 69

2.8Частные производные и дифференциал . . . . . . . . . . . 70

2.9Дифференцируемость отображения и суперпозиции . . . . 83

2.10Инвариантность формы первого дифференциала . . . . . . 87

2.11Производная по направлению, градиент . . . . . . . . . . . 89

2.12 Частные производные и дифференциалы старших порядков 92 2.13 Дифференциалы старших порядков суперпозиции . . . . . 97

144

2.14Формула Тейлора для функций многих переменных . . . . 99

2.15Локальный экстремум функции многих переменных . . . 103

2.16	Неявная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	110
2.17	Неявное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	120
2.18	Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . .	126

2.19Условный экстремум функции многих переменных . . . . 132

2.20Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 139

Литература

142

145