- •Определенный интеграл
- •Определение интеграла Римана
- •Суммы Дарбу и их свойства
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Свойства, связанные с операциями над функциями
- •Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •Свойства, связанные с неравенствами
- •Интегрируемость кусочно непрерывной функции
- •Первая интегральная теорема о среднем
- •Свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •Вторая интегральная теорема о среднем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функции многих переменных
- •Пространство Rn и его подмножества
- •Сходящиеся последовательности в Rn
- •Компактные множества в Rn
- •Функции многих вещественных переменных и их предел
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Отображения из Rn в Rp
- •Принцип сжимающих отображений
- •Частные производные и дифференциал
- •Дифференцируемость отображения и суперпозиции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению, градиент
- •Частные производные и дифференциалы старших порядков
- •Дифференциалы старших порядков суперпозиции
- •Формула Тейлора для функций многих переменных
- •Локальный экстремум функции многих переменных
- •Функциональная зависимость
- •Условный экстремум функции многих переменных
- •Задания для самостоятельной работы
Cледствие. Если функция f : X R2 → R дифференцируема в точке (x0, y0) int X, то ее график имеет в точке M0(x0, y0, f(x0, y0))
вектор нормали ~n = |
∂f |
(x0, y0), |
∂f |
(x0, y0), |
− |
1! . |
|
∂x |
∂y |
||||||
|
|
|
|
2.9Дифференцируемость отображения и суперпозиции
Пусть f — отображение из множества X Rnx в Rp, то есть f = (f1, . . . , fp), где каждая координатная функция fj, j = 1, 2, . . . , p, определена на множестве X Rnx и действует в R.
Определение 2.50. Отображение f называют дифференцируемым (непрерывно дифференцируемым) в точке a int X, если для каждого j = 1, 2, . . . , p, функция многих переменных fj дифференцируема (непрерывно дифференцируема) в точке a. При этом матрицу
|
∂f1 |
(a) |
∂f1 |
(a) . . . |
∂f1 |
(a) |
|
||||
∂x1 |
∂x2 |
∂xn |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂f2 |
|
∂f2 |
|
∂f2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a) |
|
|
(a) . . . |
|
|
(a) |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
. . . . . . |
. . . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
(a) |
|
p |
(a) . . . |
|
p |
(a) |
|
|
|
∂f |
|
∂f |
|
∂f |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂x1 |
|
∂x2 |
|
∂xn |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют матрицей Якоби отображения f в точке a.
Матрицу Якоби отображения f в точке a обозначают одним из сле-
дующих символов: f (a), |
∂fj (a)!p,n |
, |
∂fj |
(a) p,n |
, f0(a). В |
||
J |
|
|
|
|
|
|
|
∂xk |
j=1,k=1 |
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
j=1,k=1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
связи с последним обозначением матрицу Якоби называют также матри- цей–производной (и даже просто производной) отображения f в точке a. Обозначение f0(a) очень компактно, удобно и при формулировке теорем сохраняет обозначения, принятые ранее для функции одной переменной.
Если определение 2.50 применить к функции f одной переменной, то ее матрица Якоби — одноэлементная матрица dxdf (a)! , если же f —
функция многих переменных, то ее матрица Якоби — матрица–строка вида
∂f |
(a) |
∂f |
(a) . . . |
∂f |
(a)! = |
∂f |
(a)!n . |
|
|
|
|
||||
∂x1 |
∂x2 |
∂xn |
∂xk |
k=1 |
Далее, при работе с матрицами Якоби следует помнить, что f0(a) — не число, а матрица, и все производимые преобразования — операции с матрицами!
83
Теорема 2.29 (о дифференцируемости суперпозиции). Пусть ϕ :
T Rmt → X Rn, f : X Rnx → R, a int T , b = ϕ(a) int X. Если отображение ϕ дифференцируемо в точке a, а функция многих
переменных f дифференцируема в точке b, то функция F = f ◦ϕ : T Rmt → R дифференцируема в точке a и для любого k = 1, 2, . . . , m,
∂F |
n |
∂f |
∂ϕj |
|
n |
∂f |
∂ϕj |
|
|||||||
|
|
(a) = |
jX |
|
|
(b) |
|
(a) = |
X |
|
|
(ϕ(a)) |
|
|
(a). |
∂t |
|
=1 |
∂x |
|
∂t |
j=1 |
∂x |
|
∂t |
|
|||||
k |
j |
|
j |
k |
|
||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
Ради простоты изложения рассмотрим случай n = m = 2. Сначала докажем дифференцируемость функции F в точке a int T, то есть покажем существование таких чисел A1, A2, что
Fa(Δt) = F (a + t) − F (a) = A1 t1 + A2 t2 + o(k tk), t → 0,
когда точка t = (Δt1, t2) выбрана так, что a + t int T. Подсчитаем Fa(Δt), учитывая, что F = f ◦ ϕ.
Fa(Δt) = F (a + t) − F (a) = (f ◦ ϕ)(a + t) − (f ◦ ϕ)(a) =
= f(ϕ1(a + t), ϕ2(a + t)) − f(ϕ1(a), ϕ2(a)) =
= f(b1 + (Δϕ1)a(Δt), b2 + (Δϕ2)a(Δt)) − f(b1, b2) = fb(Δϕ1, ϕ2).
В силу дифференцируемости функции f в точке b, для любого при-
ращения x 6= 0 такого, что b + |
x int X, |
||||
fb(Δx) = |
∂f |
(b) x1 |
+ |
∂f |
(b) x2 + α1(Δx) x1 + α2(Δx) x2, |
|
|
||||
∂x1 |
∂x2 |
где αj = αj(Δx) → 0 при x → 0. Положим αj(0) = 0, j = 1, 2, то есть определим αj как непрерывные функции в точке (0, 0).
В силу условий теоремы, ϕ(a + t) = b + ϕ X, поэтому и для
приращения ϕ = (Δϕ1, |
ϕ2), имеет место равенство |
|
|
||||||||
|
|
∂f |
|
|
∂f |
|
|
||||
fb(Δϕ1, ϕ2) = |
|
|
(b) ϕ1 + |
|
|
(b) ϕ2 + α1(Δϕ) ϕ1 |
+ α2(Δϕ) ϕ2. |
||||
∂x1 |
∂x2 |
||||||||||
Но тогда, поскольку |
Fa(Δt) = fb(Δϕ), |
|
|
||||||||
|
∂f |
|
∂f |
|
|
||||||
Fa(Δt) = |
|
(b)Δϕ1 |
+ |
|
(b)Δϕ2 + α1(Δϕ)Δϕ1 |
+ α2(Δϕ)Δϕ2. |
|||||
∂x1 |
∂x2 |
Так как каждая функция ϕj дифференцируема в точке a, то для j = 1, 2,
ϕj = (Δϕj)a(Δt) = |
∂ϕj |
(a)Δt1 + |
∂ϕj |
(a)Δt2 + o(k tk), |
t → 0. (2.6) |
||||||||
∂t1 |
∂t2 |
||||||||||||
Следовательно, при |
t → 0 |
|
|
|
|
|
t )! |
|
|||||
Fa(Δt) = |
∂f |
(b) |
|
∂ϕ1 |
(a)Δt1 + |
∂ϕ1 |
(a)Δt2 + o( |
k |
+ |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
∂x1 |
|
∂t1 |
|
|
∂t2 |
k |
|
84
+ |
|
∂f |
(b) |
∂ϕ2 |
(a)Δt1 |
+ |
|
|
|
∂ϕ2 |
(a)Δt2 + o( |
|
|
t )! + α1 ϕ1 + α2 ϕ2 = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂x2 |
∂t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t2 |
|
|
|
|
|
k k |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∂f |
(b) |
|
∂ϕ1 |
(a) + |
|
∂f |
(b) |
∂ϕ2 |
(a)! |
t1+ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
∂t1 |
|
|
∂x2 |
|
|
∂t1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
∂f |
(b) |
∂ϕ1 |
(a) + |
∂f |
(b) |
∂ϕ2 |
(a)! |
t2+ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
∂t2 |
|
∂x2 |
|
∂t2 |
|
||||||||||||||||
+ |
|
|
∂f |
(b) o( |
k |
t ) + |
∂f |
(b) o( |
k |
t )! + α1(Δϕ)Δϕ1 + α2(Δϕ)Δϕ2. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x1 |
|
|
k |
∂x2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
Покажем, что при t → 0 Заметим, что по свойствам бесконечно малых в точке функций,
|
|
∂f |
(b) o(k |
tk) + |
∂f |
|
(b) o(k |
|
tk) = o(k tk) при |
|
|
t → 0. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∂x1 |
∂x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Так как | tj| ≤ k |
tk, j |
|
= 1, 2, то | |
|
|
tj|/k |
tk ≤ 1, j |
= 1, 2, и потому, с |
||||||||||||||||||||||||||
учетом (2.6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|αj(Δϕ)Δϕj| |
≤ | |
αj(Δϕ) |
| |
|
∂ϕj |
(a) |
|
|
|
t1 |
|
+ |
|
∂ϕj |
(a) |
|
t2 |
|
|
+ |
oj(k tk) |
|
|||||||||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
t |
|||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αj(Δϕ) |
| |
|
∂ϕj |
(a) + |
|
|
∂ϕj |
(a) |
+ |
oj(k tk) |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
≤ | |
|
|
|
∂t1 |
|
|
|
|
∂t2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
t |
k |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции ϕj |
дифференцируемы |
в точке |
a, значит |
непрерывны в ней, и |
потому (Δϕj)a(Δt) → 0 при t → 0. Учитывая непрерывность функций
αj в точке (0, 0) получим, что αj(Δϕ1, |
|
ϕ2) → 0 при |
|
t → 0, j = 1, 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому из последнего неравенства следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|αj(Δϕ)Δϕj| |
= 0, |
j = 1, 2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то есть αj(Δϕ)Δϕj = o(k tk) при t → 0. Следовательно, при |
t → 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂f |
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(b) o(k tk) + |
|
|
|
|
(b) o(k tk) + α1(Δϕ)Δϕ1 + α2(Δϕ)Δϕ2 = o(k tk) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
∂x1 |
∂x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возвращаясь к Fa(Δt) заключаем, что для любого t = a + |
t T |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Fa(Δt) = |
|
∂f |
(b) |
|
∂ϕ1 |
(a) + |
|
∂f |
(b) |
∂ϕ2 |
|
(a)! |
t1+ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂t1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂t1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
∂f |
|
(b) |
∂ϕ1 |
(a) + |
∂f |
(b) |
∂ϕ2 |
(a)! |
t2 |
+ o( |
|
|
t ), t |
→ |
0, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x1 |
|
∂t2 |
|
|
∂x2 |
|
|
∂t2 |
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
||||||||||||||||
то есть функция F дифференцируема в точке a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Учитывая, что b = ϕ(a) = (ϕ1(a), ϕ2(a)), из теоремы 2.24 следует, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что |
∂F |
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
∂ϕ1 |
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
∂ϕ2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(a) = |
|
(ϕ(a)) |
|
|
|
(a) + |
|
|
|
(ϕ(a)) |
|
|
|
(a), |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
∂t1 |
|
|
|
|
∂t1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
∂F |
(a) = |
∂f |
(ϕ(a)) |
∂ϕ1 |
(a) + |
∂f |
(ϕ(a)) |
∂ϕ2 |
(a). |
||||
∂t |
2 |
∂x |
1 |
∂t |
2 |
∂x |
2 |
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Cледствие 1. В условиях теоремы 2.29 F 0(a) = f0(b) ϕ0(a). Приведем еще три следствия, часто полезные в приложениях.
Cледствие 2. Пусть ϕ : T R1t → X Rn, f : X Rnx → R, a int T, b = ϕ(a) int X. Если отображение ϕ дифференцируемо в
точке a, а функция f дифференцируема в точке b, то функция одной переменной F = f ◦ ϕ : T Rt → R дифференцируема в точке a, при этом F 0(a) = f0(b)ϕ0(a), то есть
|
dF |
n |
∂f |
|
dϕj |
|
n |
∂f |
|
dϕj |
|
||||
|
|
jX |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a) = |
|
|
(b) |
|
|
(a) = |
|
|
|
(ϕ(a)) |
|
|
(a). |
|
dt |
=1 |
∂x |
j |
|
dt |
|
j=1 |
∂x |
j |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Cледствие 3. Пусть ϕ : |
T Rtm |
→ X R, |
f : X Rx → R, |
a int T, b = ϕ(a) int X. Если функция многих переменных ϕ дифференцируема в точке a, а функция одной переменной f дифференцируема в точке b, то функция многих переменных F = f ◦ ϕ : T Rmt → R дифференцируема в точке a, при этом F 0(a) = f0(b)ϕ0(a), то есть
∂F |
(a) = |
df |
(b) |
∂ϕ |
(a) = |
df |
(ϕ(a)) |
∂ϕ |
(a), k = 1, 2, . . . , m. |
|
|
|
|
|
|||||
∂tk |
dx |
|
∂tk |
dx |
|
∂tk |
Непосредственно из полученных формул получаем
Cледствие 4. Пусть f : X Rnx → R непрерывно дифференцируема на открытом множестве X, а отображение ϕ : T Rmt → X непрерывно дифференцируемо на открытом множестве T . Тогда функция F = f ◦ ϕ непрерывно дифференцируема на T .
По теореме 2.26 функция f дифференцируема на X, а отображение ϕ на T, поэтому по теореме 2.29 сложная функция F дифференцируема на множестве T и для любого t T
|
∂F |
n |
|
∂f |
|
|
|
∂ϕj |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(t) = |
jX |
|
|
|
|
|
(ϕ(t)) |
|
|
|
|
|
(t), k = 1, 2, . . . , m, |
|||||
∂t |
|
=1 |
∂x |
|
|
|
∂t |
|
|
|
|||||||||||
k |
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то есть на множестве |
|
∂F |
|
|
n |
∂f |
|
∂ϕj |
, k = 1, 2, . . . , m. Отсю- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
T |
|
= |
|
|
|
◦ ϕ · |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂t |
k |
|
|
|
∂x |
j |
|
∂t |
k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jX |
|
|
|
|
|
|
|
|
да, учитывая теорему 2.20 о непрерывности сложной функции и теорему 2.17 об арифметических операциях с непрерывными функциями, полу-
чаем непрерывность на T функций ∂F , k = 1, 2, . . . , m, что означает
∂tk
непрерывную дифференцируемость функции F на T .
Замечание. Формулу вычисления частных производных функции F = f◦ϕ удобно выписывать из равенства F 0(a) = f0(b) ϕ0(a), записанного в матричной форме:
86