Докажем, что функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Зафиксиру-

ем произвольное число ε > 0. Так как f R[a,c] и f R[c,b], то, согласно условию 5) теоремы 1.9 5), существуют разбиения

					n		ε
	τ0	x0 n	a, c		ωf	x0 <			,
		= { k}k=0 N[		] :	kX	k	2
					k
					=1
					m			ε
	τ00	x00 m	c, b		ωf	x00 <				,
		= { k}k=0 N[ ] :			kX	k	2
					k
					=1

где ωk0f — колебание функции f на отрезке [x0k−1, x0k], k = 1, 2, . . . , n,

ω00f — колебание функции f на отрезке [x00− , x00], k = 1, 2, . . . , m,. Тогда

k k 1 k

τ = τ0 τ00 = {xk}nk=0+m — разбиение отрезка [a, b] и, если ωkf — колебание функции f на отрезке [xk−1, xk], k = 1, 2, . . . , n + m, то

n+m	n	x0	m	x00	< ε + ε = ε.
ωf	xk = ω0f		+ ω00f
X	X	k	kX	k
k	k		k		2			2
k=1	k=1		=1

Из условия 5) теоремы 1.9 следует, что функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b].

Cледствие. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и c1, c2, c3 — любые различные точки этого отрезка, тогда

c3	c2	c3
Z	f(x) dx = Z	f(x) dx + Z	f(x) dx.	(1.20)
c1	c1	c2

Пусть c1 < c2 < c3. Тогда равенство (1.20) справедливо в силу теорем 1.15 и 1.16. Докажем, что формула (1.20) справедлива и для случая, когда c1 < c3 < c2 (другие случаи рассматриваются аналогично). В силу теорем

1.15 и 1.16	c3	c2
c2
Z	f(x) dx = Z	f(x) dx + Z	f(x) dx.
c1	c1	c3
	c2		c3

ZZ

Так как по определению (1.5)			f(x) dx = −	f(x) dx, то
		c3		c2
c3		c2	c3	f(x) dx.
Z	f(x) dx =	Z	f(x) dx + Z
c1		c1	c2

1.5.3 Свойства, связанные с неравенствами

Теорема 1.18. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] (a < b) и f(x) ≤ g(x), x [a, b], то

b b

ZZ

f(x) dx ≤ g(x) dx.

a

a

20

b	b
Пусть I(f) = Z	f(x) dx и I(g) = Z	g(x) dx. По определению 1.1 функ-
a	a

ции, интегрируемой на отрезке [a, b], для любого числа ε > 0 существует

число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех τ = {xk}nk=0 N[a, b] с диаметром d(τ) < δ и для любой выборки ξ выполняются неравенства

|Sf (τ, ξ) − I(f)| <

ε

|Sg(τ, ξ) − I(g)| <

ε

,

.

2

2

Так как в силу условия теоремы Sf (τ, ξ) ≤ Sg(τ, ξ), то

ε

ε

ε

ε

I(f) < Sf (τ, ξ) +

≤ Sg(τ, ξ) +

< I(g) +

+

= I(g) + ε.

2

2

2

2

Откуда, в силу произвольности ε > 0, получаем, что I(f) ≤ I(g).

Cледствие 1. Если функция g интегрируема на отрезке [a, b] и

b	g(x) dx ≥ 0.
g(x) ≥ 0, x [a, b], то Z

a

Cледствие 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], и числа m и M таковы, что m ≤ f(x) ≤ M для всех x [a, b], тогда справедливы неравенства

b

Z

m(b − a) ≤ f(x) dx ≤ M(b − a).

a

Cледствие 3. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] то справедливо неравенство

b

b

ZZ

f(x) dx ≤ |f(x)|dx.

a a

Так как функция f(x) интегрируема на [a, b], то по теореме 1.14 функция |f(x)| также интегрируема на [a, b]. По свойству функции модуля действительного числа

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|, x [a, b],

откуда по теореме 1.18 получаем

b	b	b	|f(x)|dx.
− Z	|f(x)|dx ≤ Z	f(x) dx ≤ Z
a	a	a
	b
Так как |f(x)| ≥ 0, x [a, b], то Z		|f(x)| dx ≥ 0. Следовательно,

a

b

b

ZZ

	f(x) dx	≤ |f(x)|dx.

a

a

21