В частности, если g(x) ≡ 1 на [a, b], то из (1.24) следует (1.25).

b

Замечание. Число µ =

1

Z

f(x) dx называется средним инте-

b

a

−

a

гральным функции f(x) на [a, b].

Пример 1.1. Найти среднее интегральное следующих функций на

заданном отрезке:

x 0,

π

;

a) f(x) = cos x,

3

b) f(x) = sgn x, x [−1, 2].

2

2

3π/2

2

a) В этом случае µ =

Z

cos x dx = −

. Отметим, что непрерывная

3π

3π

0

функция cos x принимает на отрезке "0,

3π

#

значение µ = −

2

в точке

2

3π

ξ = arccos

−

2

! .

3π

−1, x [−1, 0)

b) Так как sgn x =

, то функция f(x) = sgn x

0,

x = 0

1,

x (0, 2]

интегрируема на отрезке

и

−

1, 2]

[

2

0

2

0

2

1 · dx = −1 + 2 = 1.

Z

sgn x dx =

Z

sgn x dx + Z

sgn x dx = Z

(−1) dx + Z

−1

−1

0

−1

0

1

2

1

Значит, µ =

Z

sgn x dx =

и в этом случае кусочно непрерывная

3

3

−1

функция sgn x не принимает на отрезке [−1, 2] значение µ = 13 .

1.8Свойства интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b], тогда по теореме 1.15 функция f интегрируема на отрезке [a, x] для любого x [a, b], и потому на отрезке [a, b] определена функция

x

Z

F (x) = f(t) dt,

a

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1.21 (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то функция F непрерывна на этом отрезке.

26

Так как функция f интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, то есть M > 0 :

|f(x)| ≤ M, x [a, b].

Зафиксируем произвольное x0 [a, b] и зададим приращение

x 6= 0 : (x0 + x) [a, b].

Используя теоремы 1.15 и 1.16, получаем

F (x0 + x) − F (x0) =		x0+Δx			x0			x0+Δx
		Z	f(t) dt − Z			f(t) dt =		Z	f(t) dt.
		a		a				x0
Откуда, в силу следствий 2 и 3 теоремы 1.18,
	x0+Δx				x0+Δx
		Z				Z
|F (x0 + x) − F (x0)| =		x0	f(t) dt	≤		x0	|f(t)| dt		≤ M| x|.

Поэтому lim F (x0 + x) = F (x0), что по определению означает непре-

x→0

рывность F (x) в точке x0. А так как точка x0 из [a, b] взята произвольно, то функция F непрерывна на [a, b].

Теорема 1.22 (о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то функция F дифференцируема на этом отрезке и

F 0(x) =	x f(t) dt 0		= f(x),		x		[a, b].
	Z
	a

Зафиксируем некоторое число x0 [a, b] и зададим приращение x 6= 0 : (x0 + x) [a, b]. Рассмотрим отношение

F (x		+	x)		F (x	)			x0+Δx
	0			−				1	Z
					0		=			f(t) dt.
			x					x
									x0

По следствию 2 теоремы 1.20 существует точка c x, принадлежащая

отрезку с концами в точках x0, x0 +

x, такая, что

x0+Δx

Z

f(t) dt = f(c x) x.

x0

Таким образом,

F (x0 +

x) − F (x0)

= f(c). Так как c

→

x

0

при

x

→

0,

x

а функция f(x) непрерывна в точке x0, то f(c) → f(x0)

при

x → 0.

Поэтому существует

lim

F (x0 + x) − F (x0)

= f(x0),

x→0

x

27

следовательно, существует F 0(x) в точке x0 и F 0(x0) = f(x0). В силу произвольности выбора точки x0 теорема доказана.

Cледствие. Если выполнены условия теоремы 1.22, то

1)функция F непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b];

2)любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f имеет на этом отрезке первообразную в виде интеграла с переменным верхним пределом

x

Z

F (x) = f(t) dt.

a

Замечание 1. Если точка x0 совпадает с одним из концов отрезка [a, b], то под F 0(x0) следует понимать соответствующую одностороннюю производную функции F (x).

Замечание 2. Точно так же можно ввести понятие интеграла с пе-

b

Z

ременным нижним пределом G(x) = f(t) dt, x [a, b], и доказать,

x

что он обладает аналогичными свойствами, то есть является непрерывной функцией на [a, b], если функция f интегрируема на отрезке [a, b], и непрерывно дифференцируемой функцией в каждой точке из [a, b], если функция f непрерывна на отрезке [a, b], при этом G0(x) = −f(x) (предлагаем сделать это самостоятельно).

Теорема 1.23 (формула Ньютона–Лейбница). Если функция f

непрерывна на [a, b] и Φ ее первообразная на этом отрезке, то

b	f(x) dx = Φ(b) − Φ(a).
Z		(1.26)
a
	x
По следствию теоремы 1.22 функция F (x) = Z		f(t) dt является перво-

a

образной для f на отрезке [a, b]. Тогда по теореме 5.1 из [4]существует постоянная C такая, что Φ(x) = F (x) + C, x [a, b]. Таким образом,

Φ(b)	−	Φ(a) =	b f(t) dt + C	−	a f(t) dt + C	=	b f(t) dt.
			Z		Z		Z
			a		a		a

Формулу Ньютона-Лейбница (1.26) еще называют основной формулой интегрального исчисления и записывают в виде

bb

Z

f(x) dx = Φ(x) .

a	a

Замечание. Можно доказать, что формула Ньютона-Лейбница справедлива при выполнении следующих условий:

28