- •Определенный интеграл
- •Определение интеграла Римана
- •Суммы Дарбу и их свойства
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Свойства, связанные с операциями над функциями
- •Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •Свойства, связанные с неравенствами
- •Интегрируемость кусочно непрерывной функции
- •Первая интегральная теорема о среднем
- •Свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •Вторая интегральная теорема о среднем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функции многих переменных
- •Пространство Rn и его подмножества
- •Сходящиеся последовательности в Rn
- •Компактные множества в Rn
- •Функции многих вещественных переменных и их предел
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Отображения из Rn в Rp
- •Принцип сжимающих отображений
- •Частные производные и дифференциал
- •Дифференцируемость отображения и суперпозиции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению, градиент
- •Частные производные и дифференциалы старших порядков
- •Дифференциалы старших порядков суперпозиции
- •Формула Тейлора для функций многих переменных
- •Локальный экстремум функции многих переменных
- •Функциональная зависимость
- •Условный экстремум функции многих переменных
- •Задания для самостоятельной работы
1)f R[a,b],
2)f C[a, b],
3)функция F дифференцируема на [a, b], за исключением конечного
числа точек xk, k = |
|
и F 0(x) = f(x) в точках x [a, b] \ {xk}0k0 . |
|||||||||||||||
1, k0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|||||
Пример 1.1. Вычислить интеграл Z |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подынтегральная функция f(x) = |
|
непрерывна на отрезке [0, 1], |
|||||||||||||||
1 + x2 |
|||||||||||||||||
Φ(x) = arctg x — ее первообразная на [0, 1]. Поэтому |
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
dx |
|
= arctg x 1 |
= arctg 1 |
|
|
arctg 0 = |
|
π |
. |
|
||||||
Z |
1 + x2 |
− |
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1.2. Вычислить интеграл Z |
x sgn(sin x) dx. |
|
|||||||||||||||
Функция f(x) = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x sgn(sin x) |
кусочно непрерывна на отрезке [0, 4π] |
(имеет на нем четыре точки разрыва первого рода), следовательно, интегрируема на этом отрезке в силу теоремы 1.19. Разобьем отрезок [0, 4π] на четыре отрезка:
[0, 4π] = [0, π] [π, 2π] [2π, 3π] [3π, 4π].
Тогда
4π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
3π |
|
4π |
|
|
Z |
x sgn(sin x) dx = |
Z |
x dx − Z |
|
x dx + Z |
x dx − Z |
x dx = |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
2π |
|
3π |
|
|
= |
x2 |
π |
− |
x2 |
2π |
+ |
x2 |
3π |
− |
x2 |
4π |
= 2π2 |
. |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9Методы вычисления определенного интеграла
1.9.1Метод замены переменной
Теорема 1.24. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],
афункция ϕ : [α, β] → [a, b] обладает следующими свойствами:
1)ϕ(α) = a, ϕ(β) = b;
2)ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α, β], тогда справедлив о равенство
b |
β |
|
|
Z |
Z |
f ϕ(t) ϕ0(t) dt, |
(1.27) |
a |
f(x) dx = α |
29
которое называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем (теорема 1.11) и имеет первообразную F : [a, b] → R (следствие теоремы 1.22). Тогда по формуле Ньютона - Лейбница (1.26)
b |
f(x) dx = F (b) − F (a). |
|
Z |
(1.28) |
|
a |
|
|
Из условий теоремы следует, что функция f ◦ ϕ · ϕ0 |
непрерывна, и |
потому интегрируема на отрезке [α, β].
Так как функция F (x) дифференцируема на отрезке [a, b], а функция ϕ дифференцируема на [α, β] и ϕ : [α, β] → [a, b] , то суперпозиция
функций F ◦ ϕ (t) дифференцируема на [α, β] и
F ◦ ϕ 0(t) = F 0 ϕ(t) ϕ0(t) = f ϕ(t) ϕ0(t), t [α, β].
Следовательно, функция F ◦ϕ (t) является первообразной для функции(f ◦ϕ) ϕ0 (t) на отрезке [α, β]. Применяя к функции (f ◦ϕ)ϕ0 (t) формулу Ньютона - Лейбница и, учитывая, что ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, получаем:
β |
f ϕ(t) ϕ0 |
(t) dt = F ϕ(β) |
− F ϕ(α) |
|
= F (b) − F (a). |
|
(1.29) |
|||||||||
Z |
|
|
||||||||||||||
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из равенств (1.28) и (1.29) теперь следует формула (1.27). |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.1. Вычислить интеграл Z |
|
|
|
dx. |
|
|
||||||||||
R2 − x2 |
|
|
||||||||||||||
Положим f(x) = √ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R2 − x2 |
, |
x [0, R], ϕ(t) = R sin t, t [0, π2 ]. Функ- |
||||||||||||||
ция f(x) непрерывна на отрезке |
[0, R], а функция ϕ : [0, |
π |
] |
→ [0, R] |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
непрерывно дифференцируема на отрезке [0, |
|
π |
] и ϕ(0) = 0, ϕ(π/2) = R. |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, выполнены все условия теоремы 1.24, поэтому, полагая x = R sin t, получим, что dx = R cos t dt и
R |
|
|
|
|
π/2 |
|
|
R2 |
π/2 |
||||
Z √R2 − x2 dx = R2 |
Z |
cos2 t dt = |
Z |
(1 + cos 2t) dt = |
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= |
R2 |
t + sin 2t! π/2 |
= |
πR2 |
. |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
4 |
|
1.9.2 Метод интегрирования по частям
Теорема 1.25. Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям
30
в определенном интеграле
b u(x)v0 |
(x) dx = u(x)v(x) b |
b v(x)u0 |
(x) dx. |
(1.30) |
Z |
|
− Z |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из дифференцируемости функций u(x) и v(x) на отрезке [a, b] следует дифференцируемость произведения u(x)v(x) на [a, b] и
u(x)v(x) 0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x), x [a, b].
Так как функции u0(x)v(x), u(x)v0(x) и u(x)v(x) 0 — непрерывны, а, следовательно, интегрируемы на отрезке [a, b], то из последнего равенства получаем, что
b |
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
Z |
u(x)v0(x) dx = Z |
u(x)v(x) |
|
0 |
dx − Z |
u0(x)v(x) dx. |
(1.31) |
||||
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
По формуле Ньютона - Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
|
u(x)v(x) |
0 dx = u(x)v(x) b |
= u(b)v(b) |
− |
u(a)v(a), |
|
||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому равенство (1.31) можно записать |
в виде (1.30). |
|
2 |
|
|
Пример 1.2. Вычислить интеграл Z |
x ln x dx . |
|
1 |
|
|
Положим u = ln x, dv = xdx, откуда v = |
x2 |
. Функции u(x) и v(x) |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
непрерывно дифференцируемы на отрезке [1, 2], поэтому |
|
||||||||||||||||||||
2 x ln x dx = |
x2 |
ln x |
2 |
2 |
|
x2 |
1 |
dx = |
|
|
|
||||||||||
2 |
− Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
2 · x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ln 2 |
|
1 |
2 x dx = 2 ln 2 |
|
|
1 |
x2 |
|
|
= 2 ln 2 |
|
3 |
. |
|
|||||||
− |
2 |
− |
|
|
− |
|
|||||||||||||||
|
Z |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определенный интеграл можно использовать |
для вычисления пре- |
дела последовательности, если ее можно рассматривать как последовательность интегральных сумм некоторой интегрируемой функции.
Пример 1.3. Найти предел последовательности |
|
|||||||||
S |
n |
= |
1α + 2α + · · · + nα |
, α > 0, n |
≥ |
1. |
||||
|
|
|
nα+1 |
|
|
|
|
|||
Представим Sn |
в виде Sn |
= |
1 |
n |
k |
!α , и заметим, что Sn — инте- |
||||
n |
=1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
гральная сумма для |
функции f(x) = xα на отрезке [0, 1], соответствую- |
|||||||||
щая разбиению τ = |
( |
k |
)n |
. Длина отрезка разбиения |
" |
k − 1 |
, |
k |
# |
равна |
|
|
|
||||||||
|
n k=0 |
|
|
n |
|
n |
|
31