- •Кафедра высшей математики
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Однородные уравнения
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов
- •Сведения из теории
- •И соответствующие им частные решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •5.3.9. А); б).
- •Вариант 1
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти вид частного решения.
|
|
|
|
|
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
Сведения из теории
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения линейного неоднородного уравнения
состоит в следующем.
Пусть известна фундаментальная система решений
соответствующего линейного однородного уравнения
.
Общее решение неоднородного уравнения ищется в виде
,
получающемся из общего решения однородного уравнения заменой произвольных постоянных на функции. Производныеэтих функций находятся из системы линейных алгебраических уравнений
Определитель этой системы – определитель Вронского – линейно независимой системы функцийотличен от нуля, а система имеет единственное решение
.
Интегрируя, находим:
, , …, ,
где – произвольные постоянные.
Подставляя найденные в , получим общее решение уравнения .
Примеры решения задач
Решить уравнение .
◄Соответствующее однородное уравнение имеет переменные коэффициенты и не может быть решено методом, описанным в п.12. Его ф.с.р. указана в задаче 11.3.1:,. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
.
Производные инаходятся из системы линейных алгебраических уравнений , имеющей привид
Для нашего уравнения это будет система
Решаем ее по формулам Крамера.
,
,
,
или – общее решение.►
Решить уравнение .
◄ Соответствующее однородное уравнение имеет постоянные коэффициенты. Его характеристическое уравнение имеет корни,. Им в ф.с.р. соответствуют решения. Общее решение уравнения ищем в виде
.
Система для этого уравнения имеет вид
Ее можно решать по формулам Крамера, но удобнее воспользоваться спецификой системы. Складывая первое и третье уравнение, получаем ,
Умножая второе уравнение на , третье – на () и складывая их получим.
Из второго уравнения
.
.
Подставляя ,ив , получаем общее решение
.►
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
|
|
|
|
|
|