- •Кафедра высшей математики
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Однородные уравнения
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов
- •Сведения из теории
- •И соответствующие им частные решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •5.3.9. А); б).
- •Вариант 1
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
Примеры решения задач
Решить уравнение .
◄ Данное уравнение не принадлежит ни к одному из типов, которые мы умеем определять по их нормальной форме. Перепишем исходное уравнение в дифференциальной форме
.
Область определения этого уравнения – односвязна. Проверяем условие .
. .
Таким образом, мы имеем уравнение в полных дифференциалах. Находим по формуле при
Итак, общий интеграл уравнения имеет вид . ►
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
|
|
|
Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
Примеры решения задач
Для каждого из дифференциальных уравнений
,
,
,
,
,
определить, является ли оно уравнением одного из следующих типов:
1) уравнением с разделяющимися переменными,
2) однородным уравнением,
3) линейным уравнением,
4) уравнением Бернулли (но не линейным уравнением),
5) уравнением в полных дифференциалах,
6) не является уравнением типов 1) – 5).
◄ Уравнение приведем нормальному виду . В его правую часть переменные входят только в виде отношения, следовательно, – однородное уравнение и его можно решать заменой,. С другой стороны, правая частьявляется линейной функцией переменнойy и уравнение является линейным. Поэтому его можно решать, например, методом Бернулли.
Уравнение имеет нормальный вид. Правую часть можно представить в виде произведения функции от x на функцию от y: , поэтому это уравнение с разделяющими переменными. Поскольку правую часть можно представить в виде, то уравнение является и линейным (линейным неоднородным). Однако нет смысла решать его ни методом Бернулли, ни методом Лагранжа (то есть делать замену переменных, сводящую уравнение к уравнению с разделяющимися переменными) ибо переменные изначально разделяются.
Уравнение записано в дифференциальной форме. Однако уравнением в полных дифференциалах оно не является, так как
, и. Приведем уравнение (8.3) к нормальному виду. Правая часть является отношением однородных многочленов первой степени. Разделив числитель и знаменатель наx, запишем уравнение в виде , то есть уравнение имеет вид и, следовательно, является однородным.
Уравнение равносильно уравнению , имеющему вид , то есть оно является уравнением Бернулли.
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как совпадают производные
и ,
а область определения уравнения – односвязна.
Ясно, что уравнение не принадлежит ни одному из типов 1) – 4) (хотя строго доказать это совсем непросто). Записав уравнение в дифференциальной форме , нетрудно убедиться, что условие не выполняется, и потому это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Итак, для уравнения имеет место случай 6), то есть мы не можем решить уравнение разобранными выше методами. ►