3. Задачи для самостоятельного решения

1. Убедиться, что является общим решением уравнения. Найти а) решение, удовлетворяющее начальным условиям,; б) решение, удовлетворяющее граничным условиям,.

10. Дифференциальные уравнения,

допускающие понижение порядка

1. Сведения из теории

Укажем несколько типов дифференциальных уравнений, которые заменой переменных можно свести к уравнениям меньшего порядка.

1. Простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка

Это уравнение вида . Его общее решение находитсяn-кратным интегрированием

,

,

…………..

.

2. Уравнение n-го порядка, не содержащее явно искомой функции

и ее производных до -го порядка включительно

.

Его можно рассматривать как уравнение -го порядка относительно функции:

.

Пусть – его общее решение. Тогда общее решениеуравнения находится из уравнения

k-кратным интегрированием, в соответствии с п. 10.1.1.

3. Уравнение второго порядка, не содержащее явно

независимой переменной x

.

Введем новую неизвестную функцию , связанную ссоотношением

.

Дифференцируя по и используя правило дифференцирования сложной функции, находим

.

Подставляя выражения ив , получим уравнение первого порядка для функции

.

Пусть – его общее решение. Общее решениеуравнения находим, решая уравнение с разделяющимися переменными

.

Аналогично, уравнение можно свести к уравнению-го порядка для функции, приняв.

2. Примеры решения задач

1. Решить уравнение .

◄.

.

.►

2. Решить уравнение .

◄ Уравнение не содержит явно и. Делаем замену, тогда.

.

.

.►

Замечание. При решении задачи Коши значения постоянных целесообразно находить последовательно в процессе решения, а не после нахождения общего решения.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения , и решение, удовлетворяющее начальным условиям.

◄ Уравнение не содержит явно независимой переменной . Делаем замену, тогда. Подставив это выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными для функции.

.

Таким образом, и для функцииy получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Его общий интеграл имеет вид. Заметим, что левая часть этого уравнения не выражается через элементарные функции.

Найдем теперь решение, удовлетворяющее начальным условиям . Получать его из общего интеграла неудобно, поэтому вернемся к соотношению . Подставляя в него, получаем. Теперь. Выбираем знак «+», так как. Для нахождения искомого решения получаем уравнение

.

Подставляя в полученное соотношение начальные данные и, находим, что. В итоге получаем решение задачи Коши

.

Приведем теперь другой вариант решения задачи Коши, в котором используются определенные интегралы. Для функции имеем дифференциальное уравнениеи начальное условие. Поэтомуи, следовательно,. Теперь из уравненияи

начального условия получаем.►