- •Кафедра высшей математики
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Однородные уравнения
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов
- •Сведения из теории
- •И соответствующие им частные решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •5.3.9. А); б).
- •Вариант 1
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
Примеры решения задач
Решить уравнение
.
◄ Уравнение записано в нормальной форме. Его правая часть является линейной функцией аргумента у. Следовательно, уравнение – линейное. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения ...
Решение неоднородного уравнения ищем в виде , где– новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение , получим
.
Итак, общее решение , где справа буквойС обозначена, как и везде, произвольная постоянная. После преобразований запишем его в виде
. ►
Решить задачу Коши .
◄ –линейное уравнение. Решаем методом Бернулли: . Подставляяив исходное уравнение, получаем. Сгруппируем члены, содержащиев качестве множителя
.
Приравняем скобку к нулю и решаем полученное уравнение.
.
Поскольку нам нужно только частное решение уравнения , то примем , тогда. Подставляяв уравнение , получим
.
Перемножая u и v, находим общее решение . Подставляя в общее решение начальные значенияи, получим. Искомое решение.►
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что сила тока в цепи, имеющей сопротивление, самоиндукциюудовлетворяет уравнению, где– электродвижущая сила. Найти силу тока, если, в случаях
а) , б).
УравнениЯ Бернулли
Сведения из теории
Уравнение Бернулли – это уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид
, .
Методы решения те же, что и для линейного неоднородного уравнения, являющегося частным случаем уравнения Бернулли при .
Примеры решения задач
Решить уравнение Бернулли .
◄ Решаем методом Бернулли ,. Подберемv, так чтобы . Тогда. Возьмем. Подставляяв уравнение, получаем для функцииu уравнение с разделяющимися переменными
–общее решение.►
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
|
|
|
|
УравнениЯ в полных дифференциалах
Сведения из теории
Будем рассматривать дифференциальное уравнение первого порядка, заданное в дифференциальной форме
.
В нормальной форме оно имеет вид
.
Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является дифференциалом некоторой функции
.
Если функции инепрерывны вместе со своими производными в некоторой односвязной области1 D, то равенство
– необходимое и достаточное условие того, что является в области D уравнением в полных дифференциалах.
Так как уравнение можно переписать в виде , то его общий интеграл. Функцию u можно найти по формуле
,
где – какая-нибудь точка изD.