3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

.	.
. .	. .
.	, .
.	.
.	, .
, .	, .

11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

1. Сведения из теории

Система функций

, ,

называется линейно независимой, если равенство

имеет место только при .

Определителем Вронского системы функций называется определитель n-го порядка

.

Если хотя бы в одной точке, то система функций линейно независима.

Уравнение вида

называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Фундаментальной системой решений (ф.с.р.) уравнения называется система ,, изn линейно независимых решений этого уравнения. Зная ф.с.р., общее решение линейного однородного уравнения можно записать в виде

,

где – произвольные постоянные.

2. Примеры решения задач

1. Убедиться, что функции

,

образуют фундаментальную систему решений уравнения

.

Найти общее решение уравнения.

◄ 1) То, что функции решения уравнения легко проверить их подстановкой в уравнение.

2. Проверим линейную независимость системы функций :

1. Определитель Вронского

.

Следовательно, функции линейно независимы.

2. Линейную независимость системы можно проверить и исходя из определения. Пусть

.

Полагая , получим

Решая эту систему, находим , то есть система функций линейно независима.

2. Общее решение уравнения имеет вид

.►

3. Задачи для самостоятельного решения

Убедиться, что заданная система функций образует фундаментальную систему решений линейного дифференциального уравнения. Найти общее решение.

1. , .

2. , .

3. Известно, что для функций определитель Вронского в точкеравен нулю, а в точкене равен нулю. Можно ли что-нибудь сказать о линейной зависимости (или независимости) этих функций на отрезке?

12. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

1. Сведения из теории

Рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка

,

где – действительные числа.

Общее решение этого уравнения находится по следующему правилу:

1. Заменяя в производные на степени, составимхарактеристическое уравнение

.

Это алгебраическое уравнение степени n. Находим его корни (действительные и комплексные).

2. Для каждого действительного корня кратностиs выписываем s линейно независимых решений

,

которые ему соответствуют.

3. Для каждой пары комплексных корней кратностиs выписываем 2s линейно независимых решений

им соответствующие.

4. Объединяя все найденные решения, получаем n линейно независимых решений – фундаментальную систему решений (ф.с.р.)

.

5. Общее решение записывается в виде

.