- •Кафедра высшей математики
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Однородные уравнения
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов
- •Сведения из теории
- •И соответствующие им частные решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •5.3.9. А); б).
- •Вариант 1
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
Сведения из теории
Сделаем в уравнении замену переменных: введем новую неизвестную функцию, связанную с искомой функциейсоотношением, где– дифференцируемая функция. Подставляя выраженияичерезв (3.1), получим для нахожденияуравнение вида, которое при удачном выборе замены может оказаться «проще» первоначального. Например, уравнение
заменой переменной сводится к уравнению с разделяющимися переменными
.
Примеры решения задач
Решить уравнение .
◄ Введем новую неизвестную функцию . Выразимичерезz: . Подставим эти выражения в исходное уравнение и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.
.
.
–общее решение уравнения.►
Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию.
◄ Так как , то естественно сделать замену. Для функцииполучим дифференциальное уравнениес разделяющимися переменными и начальное условие. Разделяем переменные:,, интегрируем:, выражаемz, а затем и y через x
, ,,
, ,
–искомое решение.►
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
Указание: Сделать замену . 3.3.5. . Указание: . |
Указание: Поскольку , то рекомедуется сделать замену. 3.3.6. . Указание: . |
Однородные уравнения
Сведения из теории
Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде
называется однородным. Оно сводится заменой переменной
к уравнению с разделяющимися переменными для функции .
.
Важным примером однородного уравнения является уравнение, правая часть которого – отношение однородных многочленов относительно иодного порядка
.
Оно приводится к виду , если числитель и знаменатель разделить на .
Примеры решения задач
Решить уравнение .
◄ Правая часть уравнения – отношение однородных многочленов 2-го порядка. Разделив числитель и знаменатель на , получим
– однородное уравнение. Делаем замену . Тогда,. Для функцииполучаем уравнение с разделяющимися переменными: общий интеграл. ►
Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию.
◄ Приведем уравнение к нормальному виду . Так какх и у входят в правую часть только в виде отношения , то это – однородное уравнение. Делаем замену,. Для функцииполучаем уравнениеи начальное условие. Разделяем переменные:,;;, и потому– искомое решение.►
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
|
|
|
|
4.3.7. . |
4.3.6. . 4.3.8. . |
Линейные уравнения первого порядка
Сведения из теории
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, называется линейным, если его правая часть – линейная функция от
.
При получаемлинейное однородное уравнение
.
Оно является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение
,
где – одна из первообразных функции. Общее решениелинейного неоднородного уравнения можно найти одним из следующих методов.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения . Решение неоднородного уравнения ищем в виде
,
получающемся из заменой постоянной на функцию. Подставляя в уравнение , получаем для новой неизвестной функцииуравнение. Интегрируя, находим
Подставляя в , получаем общее решение уравнения .
Метод Бернулли.
Ищем решение уравнения в виде . Тогда. Подставляя в уравнение , получим . Перепишем это уравнение в виде
.
Подберем так, чтобы скобка в уравнении обратилась в нуль. Для этого нужно найти какое-нибудь частное решениеуравнения с разделяющимися переменными. Подставляяв , получим уравнение с разделяющимися переменными для функции
.
Интегрируя, находим его общее решение . Перемножая найденные значенияи, получим общее решение неоднородного уравнения.