Статический метод

Согласно п. 8 настоящего приложения задача формулируется следующим образом. Найти maxh (или maxР_р) при выполнении ограничений:

Составляющие изгибающего момента в ригеле равны:

;

.

Эпюра остаточных моментов М_ri в ригеле постоянна (рис. 2, в) и равна

М_ri= M_r.

Максимальное значение поперечной силы Q_i имеет место у правой опоры ригеля в расчетном сечении i = 7 и равно

, кН.

Отношение среднего касательного напряжения к расчетному сопротивлению стали сдвигу R_s (R_s= 0,58R_y согласно табл. 1* СНиП II-23-81*), равно:

Согласно п. 5.18 СНиП II-23-81* при значениях , чему соответствует , предельные изгибающие моменты М_pli(Р_р) во всех расчетных поперечных сечениях можно определять без учета поперечных сил по формулам (39) и (42) СНиП II-23-81*.

М_pli= W_pliR_y= 2SR_y= 2×0,758× 10⁴× 2,4 ×10⁵ = 36,38 кН × м.

С учетом полученных выражений для моментов ограничения-неравенства для семи расчетных поперечных сечений будут такими:

1) М_r+ 6,468Р_рh£36,38 + 20,254P_p;

2) М_r+5,174Р_рh£36,38 +7,042P_p;

3) М_r+ 3,880Р_рh£36,38 - 3,253P_p;

4) М_r+ 2,587 Р_рh£36,38 - 10,575P_p;

5) М_r+ 1,294Р_рh£36,38 - 14,979P_p;

6) М_r£36,38 - 16,446P_p;

7) М_r- 6,468 Р_рh³ -36,38 + 20,254P_p.

Для примера определим координаты двух точек на кривой предельного равновесия “в большом” Р_p= P_p(h), приняв P_p = P_d = 1. Тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметров M_r и h. В общем случае поставленная задача решается методами линейного программирования, например, симплекс-методом. В данном простом примере решение maxh = 4,631 получено “ручным” счетом. При этом четвертое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных сечениях с координатами и .

Вторую точку на кривой предельного равновесия “в большом” найдем, приняв h = 1, тогда система ограничений-неравенств становится линейной относительно двух варьируемых параметров М_r и P_p. Максимальное значение параметра P_p, удовлетворяющее полученной системе ограничений-неравенств, будет равно тахР_р = 1,686. При этом шестое и седьмое из ограничений переходят в строгие равенства, что соответствует образованию пластических шарниров в расчетных поперечных сечениях с координатами и . Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия “в большом”.

Кинематический метод

Согласно п. 8 настоящего приложения задача ставится следующим образом. Найти minP (или minh) при выполнении условий совместности для всех j кинематически возможных механизмов пластического разрушения рамы:

.

Рама один раз статически неопределима, поэтому для превращения ее в механизм достаточно образования двух пластических шарниров. Первый пластический шарнир образуется в наиболее напряженном расчетном поперечном сечении i = 7 на правом опорном конце ригеля, второй - в одном из расчетных сечений i= 1-6.

Удельная работа внешних сил и диссипация энергии D_j на рассматриваемых механизмах пластического разрушения рамы (рис. 3 настоящего приложения) соответственно равны:

Рис. 3. Схема механизма пластического разрушения рамы

С учетом указанных последних выражений ограничения-неравенства (14) настоящего приложения для каждого из шести возможных механизмов пластического разрушения будут такими:

12,936 hP_p ³ 72,76;

(14,68 + 12,936 h) P_p ³ 80,844;

(29,36+ 12,936 h) P_p ³ 90,95;

(44,04 + 12,936 h) P_p ³ 103,943;

(58,72 + 12,936 h) P_p ³ 121,267;

(73,4 + 12,936 h) P_p ³ 145,52.

Для наглядности определим две точки на кривой предельного равновесия “в большом” Р_p= P_p(h),. Первую точку найдем, приняв P_p = P_d = 1. Минимальное значение параметра h, удовлетворяющее полученной системе линейных ограничений-неравенств, будет minh = 4,631. При этом четвертое из ограничений переходит в строгое равенство, что соответствует образованию второго пластического шарнира в расчетном поперечном сечении с координатой. Вторую точку на кривой предельного равновесия “в большом” найдем, приняв h= 1. Минимальное значение параметра P_p, удовлетворяющее полученной системе линейных ограничений-неравенств, будет minP_p = 1,686. При этом шестое из ограничений переходит в строгое равенство, что соответствует образованию второго пластического шарнира в расчетном поперечном сечении с координатой . Аналогичным путем можно определить координаты любой точки на кривой предельного равновесия “в большом”.

Как и следовало ожидать, результаты расчета рамы статическим и кинематическим методами совпали.