Крат. и криволин. интегр

Аналогично проектируя дугу AkAk–1 на ось Oy, получаем интеграл ∫ f (x; y)dy по координате y.

AB

Если на кривой определены две функции Р(x; y) и Q(x; y), тогда полный криволинейный интеграл 2-го рода записывается следующим образом:

∫ P (x; y)dx +Q(x; y)dy.

AB

Для случая пространственной кривой L формула криволинейного интеграла 2-го рода выглядит следующим образом:

∫ P (x; y;z)dx +Q(x; y;z)dy +R(x; y;z)dz.

AB

Криволинейные интегралы 2-го рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и среднего значения неверны.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода производится с помощью опреденного интеграла.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями x = φ(t) и y = ψ(t), где α ≤ t ≤ β, а функции φ(t) и ψ(t) имеют непрерывные производные. Пусть вдоль кривой L заданы кусочно-непрерывные функции Р(x; y) и Q(x; y). Тогда дифференциалы текущих координат x и y имеют вид: dx = φ'(t)dt, dy = ψ'(t)dt, а криволинейный интеграл выражается обыкновенным определенным интегралом по следующей формуле:

β

∫P (x; y)dx +Q(x; y)dy = ∫(P (ϕ(t );ψ(t ))ϕ'(t ) +Q(ϕ(t );ψ(t ))ψ'(t ))dt.

Lα

Если кривая L имеет явное задание y = y(x), где a ≤ x ≤ b, тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по следующей формуле:

b

∫P (x; y)dx +Q(x; y)dy = ∫(P (x; y(x)) +Q(x; y(x))y 'x ))dx.

L

a

Если кривая L имеет явное задание x = x(y), где c ≤ y ≤ d, тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по следующей формуле:

31

d

∫P (x; y)dx +Q(x; y)dy = ∫(P (x( y); y)x 'y +Q(x( y); y))dy.

L

c

Для случая пространственной кривой L, заданной уравнениями: x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), где α ≤ t ≤ β, на которой определены три ку- сочно-непрерывные функции:

∫P (x; y;z)dx +Q(x; y;z)dy + R(x; y;z)dz =

L

β

= ∫α (P (ϕ(t );ψ(t );χ(t ))ϕ'(t ) +Q(ϕ(t );ψ(t );χ(t ))ψ'(t ) +R(ϕ(t );ψ(t );χ(t ))χ'(t ))dt.

Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода

∫ Pdx +Qdy = ∫ (P cos α+Q cosβ)dl,

AB AB

где α, β – углы, образованные касательной к кривой L с осями координат.

В случае пространственного задания кривой L:

∫ Pdx +Qdy +Rdz = ∫ (P cos α+Q cosβ+R cos γ)dl.

AB AB

Формула Остроградского-Грина

Пусть функции Р(x; y) и Q(x; y) и их частные производные ∂P

∂Q ∂y

и ∂x непрерывны в простой области G. Тогда справедливо равенство

v∫ Pdx +Qdy = ∫∫(		∂Q	−	∂P )dxdy,
L	G	∂x		∂y

где криволинейный интеграл берется по границе L области G в положительном направлении.

Эта формула называется формулой Остроградского-Грина, она связывает криволинейный интеграл по границе с двойным интегралом

по самой области. Знак v∫ – означает интегрирование по замкнуто-

L

му контуру, в данном случае по границе области.

Обыкновенный (прямолинейный) определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла, у которого линией интегрирования служит прямолинейный отрезок оси координат.

32

Обычно криволинейный интеграл зависит от линии интегрирования. Но если в некоторой односвязной области D выражение P(x; y)dx + Q(x; y)dy является полным дифференциалом, то криволинейный интеграл ∫ P (x; y)dx +Q(x; y)dy не зависит от ли-

AB

нии интегрирования, соединяющей точки А и В, а взятый по любой замкнутой линии, пролегающей в области D, равен нулю.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала производится по следующей формуле:

∫ Pdx +Qdy = F (xB ; yB ) −F (xA ; yA ) .

AB

Примеры

1. Найти значение криволинейного интеграла 2-го рода ∫ydx − xdy вдоль указанных путей интегрирования: L

а) L – прямая между точками O(0; 0), A(1; 2);

б) L – парабола y = kx2 между точками O(0; 0), A(1; 2);

в) L – ломаная ОВА, где O(0; 0), A(1; 2) B(1; 0).

Решение (а). С учетом координат точек, запишем уравнение прямой ОА: y = 2x, где 0 ≤ x ≤ 1 (рис. 18), найдем dy = 2dx. Подставим

винтеграл и получим

∫ydx − xdy = ∫1 (2xdx − x2dx )= 0.

L

0

Решение (б). Так как парабола проходит через точку A(1; 2), то k = 2. Найдем dy = 4xdx.

Подставим в интеграл и получим

∫ydx − xdy = ∫2		(2x2dx − x4xdx) = −	2	.
L	0	3

Решение: (в). По свойству аддитивности криволинейного интеграла для участков ОВ и ВА (рис. 18) имеем:

∫ydx − xdy = ∫ ydx − xdy + ∫ ydx − xdy.

L

OB

BA

Найдем уравнения линии для участка ОВ: y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 , dy = 0; для участка ВА: x =1, 0 ≤ y ≤ 2, dx = 0.

33

y

2 А

y =2x

		y =2x2
О	1	x
	В

Рис. 18

Тогда интеграл будет равен

1

2

∫ ydx − xdy = ∫(0 − x 0)dx +∫( y 0 −1)dy = −2.

L

0

0

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить интеграл ∫ (4x + y)dx +(x +4 y)dy , где кривая АВ за-

AB

дана уравнением: y = x 4. Координаты точек A(1; 1), B(–1; 1). (Ответ: (–2).)

2. Вычислить криволинейный интеграл v∫ 2xdx −(x +2y)dy , где L –

L

контур периметра треугольника с вершинами А(–1; 0), В(0; 2), С(2; 0), пробегаемый по ходу часовой стрелки. (Ответ: 3.)

3. Даны точки О(0; 0; 0), А(3;–6;0), В(–2; 4; 5). Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ∫xy2dx + yz2dy − zx2dz :

L
а) по прямолинейному отрезку ОВ	(Ответ: 91.);

б) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x 2 + y 2 +z 2 =45, 2x + y = 0 (при решении перейти к параметрическому виду уравнений,

	полагая x = t).		−271	1
		(Ответ:				.)
				4
		34

2.3.Физические и геометрические приложения криволинейных интегралов

Пусть L – материальная плоская кривая с линейной плотностью γ(x; y).

Тогда справедливы следующие формулы: Масса кривой: m = ∫γ(x; y)dl.

L

Статические моменты кривой относительно осей Ox и Oy:

Mx = ∫yγ(x; y)dl и My = ∫xγ(x; y)dl .

L L

Координаты центра тяжести пространственной дуги АВ :

x0 =	∫ xρdl	, y =	∫ yρdl	, z =	∫ zρdl	.
	AB		AB		AB
	m	0	m	0	m

Момент инерции кривой относительно начала координат:

I0 = ∫(x2 + y2 )γ(x; y)dl.

L

Моменты инерции кривой относительно осей Ox и Oy:

I x = ∫y2 γ(x; y)dl и I y = ∫x2 γ(x; y)dl .

L L

G G G

Работа переменной силы F (x; y) = P (x; y)i +Q(x; y) j при перемещении материальной точки единичной массы из точки А в точку В вдоль кривой АВ вычисляется по формуле:

A = ∫ P (x; y)dx +Q(x; y)dy.

AB

Вычисление площади S плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой L:

S= 1 v∫ xdy − ydx. 2 L

Примеры

1. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = a cos t, y = b sin t (рис. 19, а).

35

a	y		б	y
	b			4	В
–a	0	a x		1		А
	– b			0	1	4	x

Рис. 19

Решение. Используем формулу S = 1 v∫ xdy − ydx. Преобразуем

2 L

криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, для этого найдем дифференциалы dx = –a sin tdt, dy = b cos tdt. Тогда

	1		1	2 π		2 π
S =		v∫ xdy − ydx =		∫ ab cos2 tdt +ab sin2 tdt =	ab	∫ dt = πab.
	2		2		2
		L		0		0

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x, y = 1 x ,

4

xy = 4 (рис. 19, б).

Решение. Решая совместно уравнения линий, найдем точки их пересечения A(4; 1), B(1; 4). Граница искомой площади состоит из двух прямых линий и одной гиперболы (рис. 19, б). Тогда искомая площадь равна

		S =				1		∫ xdy − ydx +									1	∫ xdy − ydx +									1	∫ xdy − ydx =
						2										2										2
								OA										AB										BO
	1	4					1			x				1	1				4									1	0
=		∫ x							−		dx +				∫	x −								− x dx		+			∫(x 4 −4x )dx =
	2						4							2						x	2							2
		0								4					4														1
		1			4					1		dx			0					x	2				4			1			0
	=				∫ xdx −4∫								+2∫ xdx =												−4 ln x				+ x 2		= 4 ln 4.
			8									x
					0					4				1					16						0			4			1

3.Найти массу дуги АВ кривой y = lnx, где A(1; 0) и B(3; ln3), если

вкаждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки.

36

Решение. Используем формулу m = ∫ γ(x; y)dl . Преобразуем дан-

AB

ный криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной x. Най-

дем производную y ′=

1

, тогда dl =

1 +( y')2 dx =

1 +

1

dx , γ = kx 2.

x

Получаем

x2

3

2 x2

+1

k

3

2

1

2

k

m = ∫

γdl = k∫x

∫(x

dx =

+1)2 d(x

+1)

=

(10 10

−2 2).

x

2

2

3

AB

1

1

4. Найти массу отрезка прямой АВ: A(1; 4; 3), B(1; 0; 6), если в каждой ее точке линейная плотность равна γ = x 2 + y 2.

Решение. Составим каноническое уравнение прямой, проходя-

x −1

y −4

z −3

щей через точки А и В:

=

=

. Перейдем к параметри-

1 −1

0 −4

6 −3

ческому виду прямой:

x −1

y −4

z −3

x =1,

=

=

=t

→ y = −4t +4 ,

0

−4

−3

z =3t +3 .

Найдем интервал изменения параметра t

y = 4 t1 = 0 ,

y = 0 t2 =1.

Элемент дуги dl =

(xt′)2 +( yt′)2 +(zt′)2 dt = 12 +(−4)2 +32 dt =5dt .

Тогда масса отрезка

1

1

95

m = ∫ γdl =5∫(x 2 + y 2 ) dt =5∫(12 +(−4t +4)2 ) dt =

.

3

L

0

0

5.Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии x = a cos t, y = a sin t , z = bt, если в каждой ее точке линейная плотность

равна аппликате этой точки, а параметр изменяется от tA = 0 до tB = π (рис. 20).

37

z

bπ

С●

–а

0

а

y

а

x

Рис. 20

Решение. Используем формулы

x =

1

∫

xγdl,

y =

1

yγdl,

z =

1

zγdl.

c

m

c

m ∫

c

m ∫

AB

AB

AB

Найдем производные

x' = –asint, y' = acost, z' = b.

Тогда элемент дуги

dl = (x ′)2 +( y ′)2 +(z ′)2 dt = a2 +b2 dt

t

t

t

так как плотность γ = bt, то масса дуги

m = ∫ γdl = ∫π bt a2 +b2 dt = bπ2

a2 +b2 .

AB

0

2

Статические моменты равны

Syz

= ∫ xγdl = ∫π acost bt

a2 +b2 dt = −2ab

a2 +b2 ,

AB

0

Sxz

= ∫ yγdl = ∫π asint bt

a2 +b2 dt = abπ

a2 +b2 ,

AB

0

38

π

b

2

π

3

S xy = ∫ z γdl = ∫bt bt a2 +b2 dt =

a2 +b2 .

3

AB

0

Следовательно: x

=

Syz

= −

4a

,

y =

Sxz

=

2a

, z =

Sxy

=

2bπ

.

m

π2

m

π

m

3

c

c

c

6. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ, если А(хА; уА; zA) и B(хB; уB; zB).

Решение. Выберем прямоугольную систему координат так,GчтобыG направление оси Oz совпало с направлением силы тяжести F = mg (рис. 21). Тогда проекции этой силы на оси координат будут следующие: Fx = 0, Fy = 0, Fz = mg.

0 zА

А

х

m

у

●

F =mg

В

zВ

z

Рис. 21

Работа переменной силы при перемещении точки по пространственной кривой вычисляется по следующей формуле:

A = ∫ P (x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy +R(x, y,z)dz,

AB

где P, Q, R – проекции силы на оси координат Ох, Оу, Oz соответственно.

Получаем

zB

A = ∫ P (x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy +R(x, y,z)dz =mg ∫ dz =mg(zB −zA ).

AB

zA

39

Задания для самостоятельной работы

1. Найти площадь, ограниченную астроидой x = acos3t, y = asin3t

(Ответ: 3πa2 ).

8

2. Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли (x 2 + y 2)2 = = 2a2(x2 – y2). (При расчете положить y = xtgt).

(Ответ: 2a 2).

3. В каждой точке плоскости наGматериальную точку действует сила, имеющая постоянную величину F и направление положительной оси Ох. Найти работу, совершаемую этой силой при движении точки поGдуге окружности x2 + y2 = R2, лежащей в первом четверти. (Ответ: FR ).

40