Крат. и криволин. интегр

Библиографический список

1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 608 с.

2.Шипачев В. С. Курс высшей математики: учеб./ под ред. А. Н. Тихонова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004. – 600 с.

3.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч. 2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова .– 6-е изд. – М. : Оникс 21 век : Мир и Образование, 2005. Ч. 2 .– 2005 .– 416 с.

4.Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах : учебн. пособие для вузов. В 3 т. Т. 2. – СПб. : Политехника, 2003. – 477 с.

5.Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 3. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля / под общ. ред. А. П. Рябушко. – 5-е изд., испр. – Минск: Высш. шк., 2009. – 367 с .

6.Лунгу К. Н., Норин В. П., Письменный Д. Т., Шевченко Ю. А. Cб. задач по высшей математике. 2 курс / Под ред. С. Н. Федина. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 592 с.

7.Сборник домашних заданий по курсу высшей математики: метод. руководство / В. Я. Егоров, А. И. Недвецкая, М. А. Толмачева – Екатеринбург : УрГУПС, 2004. – 103 с.

8.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М. : Наука. Физматлит, 1998. – 608 с.

41

Варианты заданий типового расчета

Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл 1-рода:

1.1 ∫(x + y)dl , где L – контур треугольника с вершинами: О(0; 0);

L

A(1; 0); B(0; 1).

1.2. ∫y2dl , где L – первая арка циклоиды: x = a(t – sint), y = a(1 – cost).

L

1.3. ∫(x2 + y2 )dl , где L – отрезок, соединяющий точки (a; a)

L

и (b; b); b > a.

1.4. ∫ydl , где L – дуга кривой: x = lnt, y = 2

t

между точками

1

L

t1 =

и t2 = 1.

2

1.5. v∫ (x 2 + y 2 )dl , где L – кривая: x = a(cost + tsint), y = a(sint – tcost),

L

0 ≤ t ≤ 2 π.

1.6. ∫(x3 + y)dl , вдоль кубической параболы y = x 3 от точки А(1; 1)

L

до точки В(0; 0).

1.7. ∫x2dl , где L – дуга кривой y = lnx от точки x1 = 1 до точки

x2 = 2.

L

1.8. ∫xydy вдоль кривой x = y −

1

3

2

y

от точки

A

;−2

до точки

3

3

L

2

B

−

; 2 .

3

1.9. ∫(x − y)dl , где L – контур треугольника с вершинами: O(0; 0);

L

A(1; 0); B(0; 1).

1.10. ∫x2dl , где L – дуга y = lnx с концами x1 = 1, x2 = 2.

L

1.11. ∫x2dl , где L – дуга y = lnx с концами в точках x1 = 1 и x2 = e.

L

42

1.23. ∫

L

L

1.12. v∫

(x + xy)dl , где L – контур криволинейного треугольника

с вершинами: O(0; 0); A(1; 1); B(2; 0); OA – дуга параболы y = x 2, АВ – отрезок прямой.

1.13.					1					2
	x −						dl по параболе y = x				от точки A(1; 1) до точки В
L∫					y
(2; 4).
1.14. ∫xydy по дуге y = arcsinx от точки x1 = 0 до точки x2 = 1 .
L
1.15. ∫ xdl					по параболе y = x2 от точки А(2; 4) до точки В(1; 1).
L
1.16. ∫		xy	dl , где L – окружность y 2 + x 2 = R 2.
L		2R
						x		2
1.17. ∫		R 2		+					dl , где L – окружность y 2 + x 2 = R 2 .
L							R

1.18. ∫xdl , где L – дуга параболы y2 = 2px, отсеченная парабо-

L

лой x 2 = 2py.

1.19. ∫(x2 − y2 )dl , где L – прямолинейный отрезок от (a; а) до (b; b),

L

где b > a.

1.20. ∫y2dl , где L – участок параболы y 2 = 2px от начала коорди-

L

нат до точки (x0; y0).

	2	2
1.21. ∫xydl , где L – четверть эллипса	x	+	y	=1	, лежащая в пер-
	2		2
L	a		b

вом квадранте.

1.22. ∫yex dl , где L – участок кривой x = ln(1 +t 2), y = 2arctgt – t + 3

L

лежащий в первом квадранте.

x2 + y2 dl , где L – кривая x = a(cost + tsint), y = a(sint – tcost).

43

1.24. ∫					dl		, где L – отрезок прямой, соединяющий две
				2	2	+4
L			x		+ y
точки O(0; 0) и A(1; 2).
1.25. ∫					dl			, где L – отрезок прямой, соединяющий две
				2	2	+16
L			x		+ y
точки O(0; 0) и A(1; 1).
1.26. ∫			x2 + y2 dl , где L – кривая x = acost, y = asint.
L
1.27. ∫				dl		, где L – отрезок прямой, соединяющий две точ-
				2
L			x		−16

ки O(0; 0) и A(1; 1).

dl

1.28. ∫L x2 +1 , где L – отрезок прямой, соединяющий две точки

O(0; 0) и A(1; 1).

1.29. ∫(x2 + y2 )dl , где L – отрезок, соединяющий точки А(1; 1)

L

иВ(2; 2).

1.30.∫(x2 + y2 )dl , где L – отрезок, соединяющий точки А(1; 1)

L

и В(1; 2).

Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода:

x =t +1

=t +2

2.1. ∫e

y

z

dy +e

x

y

dx +e

dz , где L :

.

L

z

=t +3

≤t ≤1

0

x =t

y =t

2

2.2. ∫( y

2

− x

2

)dx +(z

2

− x

2

)dy +(x

2

− y

2

)dz , где

3 .

L :

z =t

L

0 ≤t ≤1

44

x =t

y =t

2

2.3. ∫( y

2

2

2

dz , где

3 .

− z

)dx +2yzdy − x

L :

z =t

L

0 ≤t ≤1

x =t

= 2t

y

.

2.4. ∫yzdx + xzdy + xydz , где L :

=

3t

L

z

≤1

0 ≤t

x = acost

= bsint

2.5. ∫ydx + zdy + xdz , где

L

y

:

= bt

.

L

z

≤t ≤ 2π

0

x = e2t

= et .

2.6. ∫ln xdx + ln ydy , где L : y

L

1 ≤t ≤ e

x = lnt

2.7. ∫ex +y dx +ex −y dy , где

= ln 2t .

L : y

L

≤t ≤ e

1

x =t

2.8. ∫e

x

cos ydx +e

x

sin ydy , где

L : y = 2t .

L

≤t ≤1

0

x =t 2

2.9. ∫(2x +3y)dx − ydy , где

3 .

L : y =t

L

0 ≤t ≤1

x = cos2 t

2.10. ∫(x + y)dx +(x − y)dy , где L : y = sin2 t .

L

≤t ≤ 2π

0

45

				x = et
2.11. ∫x	2	2	dy , где
		ydx + xy		L : y = e−t .
L
				0 ≤t ≤1

x =t

∫sin ydx +sin xdy = π−

2.12. , где L : y t .

L0 ≤t ≤ π

x = a(t −sint)

2.13. ∫(2a − y)dx −(a − y)dy , где L : y = a(1 −cost) .

L

0 ≤t ≤ 2π

y2

x2

x = acost

2.14. ∫

dx −

dy , где L

: y = bsint .

2

+ y

2

x

2

+ y

2

L x

0 ≤t ≤ π

x = acost

= bsint .

2.15. ∫ydx − xdy , где L : y

L

≤t

≤ 2π

0

2.16. ∫

x + y

x + y

y = −x

dx +

dy , где L

: 1 ≤ x ≤ 2 .

y

x

L

2.17. ∫

2

dy , где L

y = 4x2

xdx + xy

:

≤ x ≤

.

L

1

2

2.18. ∫(x2 + y2 )dx +(x2 − y2 )dy

, где L

y = x

:

.

L

1

≤ x ≤ 2

y = ln x

.

2.19. ∫(x − y)dx + x2 ydy , где L :

L

0 ≤ x

≤ e

2

dy , где

L :

y = ex

2.20. ∫(x + y)dx − y

.

L

0 ≤ x ≤1

2

x

dx

+ xydy

y =

.

2.21. ∫x

, где L :

L

0 ≤ x ≤1

y = x

.

2.22. ∫2xydx + x2dy , где L :

L

0

≤ x ≤1

46

2.23. ∫−x cos ydx + y sin xdy

y =

2x

.

, где L :

L

0 ≤ x ≤ π

2.24. ∫

y

x

y = x

2

dx +

dy , где

L :

.

L x

y

0 ≤ x ≤1

y = x3

.

2.25. ∫ydx + xdy , где L :

L

0 ≤ x ≤1

y = x2

.

2.26. ∫ydx + xdy , где L :

L

1

≤ x ≤ 2

2.27. ∫2xydx + x2dy , где L

y = 4x

.

:

L

0 ≤ x ≤ 2

2.28. ∫x cos ydx + y sin xdy , где L

y = 4x

.

:

≤ x ≤ π

L

0

2

dy , где

y = x

2.29. ∫(x + y)dx − y

L :

.

L

0

≤ x

≤1

2.30. ∫

(x

2

+ y

2

)dx +(x

2

− y

2

y = x3

)dy , где L :

.

L

1

≤ x ≤ 2

Задача 3. С помощью криволинейного интеграла I-го рода вычислить массу дуги неоднородной кривой линии:

3.1.y = lnx на отрезке 1 ≤x ≤2, если линейная плотность γ(x; y) = x4.

3.2.дуги первой четверти окружности x 2 + y 2 = 25, линейная плотность которой γ(x; y) = xy.

3.3. y = x на отрезке 1 ≤ x ≤ 2 , если линейная плотность

	12
γ(x; y) =	1	.
	y

3.4.дуги лемнискаты ρ =3 sin 2ϕ , расположенной в первом координатном углу, если линейная плотность γ(x; y) = ρ 3.

3.5.дуги параболы y = 4 – x 2 на отрезке между точками ее пересе-

	чения с прямой y = 2 + x, если линейная плотность γ(x; y) =	1		.
		x2 +	1
			4

47

3.6. y = 2lnx на отрезке 1 ≤ x ≤ e2, если линейная плотность

γ(x; y) = x2 +4 .

3.7.y = x2 на отрезке 1 ≤ x ≤ 3 , если линейная плотность γ(x; y) = x.

3.8.дуги окружности x 2 + (y – 2) 2 = 4, если линейная плотность γ(x; y) = | x | + | y |.

3.9.первой арки циклоиды: x = 2(t – sint), y = 2(1 – cost), если линейная плотность γ(x; y) = y .

3.10.y = lnx на отрезке 1 ≤ x ≤ 2, если линейная плотность

γ(x; y) = 1 . x3

3.11. верхней половины окружности x 2 + y 2 = 9, линейная плотность которой γ(x; y) = | x |.

3.12. дуги окружности x 2 + y 2 = 16			в пределах от 0 до π	радиан,
если линейная плотность γ(x; y) =	1	.	3
	x2

3.13.дуги параболы y = 2x 2 на отрезке между точками ее пересечения с прямой y = 4 – 2x, если линейная плотность γ(x; y) = | xy |.

3.14.дуги кривой y = x 3 на отрезке –1 ≤x ≤1, если линейная плотность γ(x; y) = y.

3.15.окружности (x – 2)2 + y 2 = 4, если линейная плотность γ(x; y) = | xy |.

3.16.первой арки циклоиды: x = 3(t – sint), y = 3(1 – cost), если линейная плотность γ(x; y) = 2y .

3.17.окружности x2 + (y – 4)2 = 16, если линейная плотность γ(x; y) = y.

3.18. дуги первого витка лемнискаты ρ = 7cos 2ϕ , если линейная плотность γ(x; y) = ρ5 .

3.19.окружности x 2 + (y – 4)2 = 16 , если линейная плотность γ(x; y) = x.

3.20.y = x2 на отрезке 1 ≤x ≤4, если линейная плотность γ(x; y) = xy.

						π		2π
3.21. дуги окружности x 2 + (y – 5)2 = 25 в пределах от 3							до		ра-
								3
диан, если линейная плотность	γ(x; y) =			1		.
		x	2	+ y	2

3.22. кардиоиды ρ = 3(1 + cosφ), если линейная плотность γ(x; y) = ρ.

48

3.23.y = x на отрезке 2 ≤x ≤6, если линейная плотность γ(x; y) = y.

3.24.окружности (x – 3)2 + y 2 = 9, если линейная плотность γ(x; y) = x.

3.25. y = x на отрезке 6 ≤ x ≤ 12, если линейная плотность

γ(x; y) = 1 . x2

3.26. окружности (x – 4)2 + y 2 = 16, если линейная плотность γ(x; y) = | y |.

3.27. y = x2 на отрезке 1 ≤x ≤2, если линейная плотность γ(x; y) = 1 . y2

3.28. дуги параболы y 2 = 6x 2 на отрезке между точками ее пересечения с параболой x 2 = 6y, если линейная плотность γ(x; y) = | y |.

		ρ = 4 cos 2ϕ					π
	3.29. дуги лемнискаты			в пределах от 0 до 4				радиан,
	если линейная плотность γ(x; y) = ρ.
	3.30. дуги окружности x 2 + y 2 = 9		в пределах от		π	до	5π	радиан,
					6		6
	если линейная плотность γ(x; y) = y.

Задача 4. С помощью двойного интеграла найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

4.1.	y = sin x,					y = 3 cos x.
4.2.	y =		4		,	y =1.
			+ x	2
	1

4.3.y = 2sinx, y = 0.

4.4.8x = y 2, y = x.

4.5.y = x 2, y = 2 – x 2.

4.6.	y = cos x, y = −cos	x	, x = 0.
	2

4.7.y = x 2, x + y – 2 = 0.

4.8.y = sinx (первая половина периода) и y = sin x .

			5	2
4.9.	y =				, y = 2,5.
			+ x	2
	1

49

4.10. y = x, y2 = 4(x −3), y = 0.

4.11.x 2 +y 2 = 4, x – y – 2 = 0, x = 0.

4.12.y = cosx, y = sinx(y ≥ sinx, x ≥ 0).

4.13.2x – y = 0, y = 3 – x 2.

4.14.	y =			6	, 2x − y = 0,	2x −5y = 0.
	(x −2)
4.15. y =3				x,	x + y −10 = 0, y = 0.
4.16.	y =	1	x2 , x −2y +6 = 0.
	2
4.17. y =				x, x − y −2 = 0,		x = 0.
4.18.	y =			3	, x − y = 0,	y =1.
	(x −2)
4.19. y = sin x,					y = 3 cos x,	y ≥ 0.

4.20.2x – y = 0, y = 8 – x 2.

4.21.y = sin x, y = 4cos x , x ≥ 0.

				2
	4.22. y =		4 − x2 +2,	y = x2 −2,			x = 0.
	4.23. y =	8	, y = x2 ,	y =1.
		x
	4.24. y =		4 − x2 −2,	y = x2 −2,			x = 0.
	4.25. x =3 , x +3y −3 = 0, y = e					x
						2	.
	4.26. y =	4	, y = x2 −4x +1,		x =1.
		x
	4.27. y = sinx, y = cos2x.
	4.28. y =		4 − x2 , y =	x +4,	y = 0, −4 ≤ x ≤ 2.

4.29.y = – x2 + 4x – 3, x – y – 3 = 0.

4.30.9y = (x – 4)2, y = x2.

50