Крат. и криволин. интегр

Задача 5. С помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

5.1. x 2 + y 2 = 16,			(x 2 + y 2)2 =			16(4x 2 + y 2).
5.2. x 2 + y 2 = 4,			(x 2 + y 2)3 =			64x 2y 2.
5.3. x 2 + y 2 = 16,			(x 2 + y 2)3 = 4((x – y)2 +2)2.
5.4. x 2 + y 2 = 1,			(x 2 + y 2)3		=(x 2 + 2y 2)2.
5.5. x 2	+ y 2	= 8,	(x 2	+ y 2)3	= 16(x 4 – y 4).
5.6. x 2	+ y 2	= 9,	(x 2	+ y 2)5	=	256x 4y 4.
5.7. x 2	+ y 2	= 9,	(x 2	+ y 2)3	=16y 4.
5.8. x 2	+ y 2	= 4,	(x 2	+ y 2 – 4x)2 = 16(x 2 + y 2).

5.9.x 2 + y 2 = 16, (x 2 + y 2)3 – 64x 2y 2 = 16(x 2 + y 2)2.

5.10.x 2 + y 2 = 4, (x 2 + y 2)3 = 16(x 2 – y 2)2.

5.11.x 2 + y 2 = 4, (x 2 + y 2)3 +48x 2y 2 = 16(x 2 + y 2)2 .

5.12.2x 2 + 2y 2 = 9, (x 2 + y 2)2 = 18xy.

5.13.16x 2 + 16y 2 = 1, (x 2 + y 2)2 = 2x 3.

5.14.x 2 + y 2 = 9, (x 2 + y 2 – 2x)2 = 16(x 2 + y 2).

5.15.x 2 + y 2 = 2, (x 2 + y 2)2 = x(x 2 – 3y 2).

5.16.x 2 + y 2 = 2, (x 2 + y 2)2 = 4(x 4 + y 4).

5.17.x 2 + y 2 = 16, (x 2 + y 2 – x)2 = 16(x 2 + y 2).

5.18.x 2 + y 2 = 16, (x 2 + y 2 – 3x)2 = 16(x 2 + y 2).

5.19. x2 + y2			= 3 ,	(x 2 + y 2)2			= 8xy(x 2 – y 2).
5.20. x2	+ y2	= 27,		(x 2 + y 2)2			= 8y 3.
5.21. x2	+ y2	= 9,		(x 2	+ y 2	– 2y)2		= 4(x 2 + y 2).
5.22. x2 + y2			= 6 x ,	(x 2	+ y 2)2		= 9(x 2 – y 2).
5.23. 4x 2 + 4y 2 = 9,				(x 2	+ y 2	– 3x)2 = 9(x 2 + y 2).
5.24. x 2	+ y 2		= 16,	(x2 + y2 )3 = 4(				x2 + y2 +6x)4 .
5.25. x 2	+ y 2		= 36,	(x 2	+ y 2	– 4y)2		= 16(x 2 + y 2).

51

5.26.x 2 + y 2 = 25, (x 2 + y 2 – 2y)2 = 16(x 2 + y 2) .

5.27.4x 2 + 4y 2 = 9, (x 2 + y 2)2 = 9(x 2 – y 2) .

5.28. x 2	+ y 2	= 2,	x 2 + y 2 = 2x.
5.29. x 2	+ y 2	= y,	x2 + y2 = 3x .
5.30. x 2	+ y 2	= 4,	(x 2 + y 2)2 = 4(x 2 + y 2 + 8xy).

Задача 6. С помощью двойного интеграла найти массу неоднородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

6.1.y = x 2, 4y = x 2, x = ± 2, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = | x |.

6.2.y 2 = 4 + x, x + 3y = 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = | y |.

6.3.xy = 4, x = 1, x = 4, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2 + y 2.

6.4.x2 = 6y, x 2 + y 2 = 72, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = | x |.

6.5.3y = x 2 – 6x, x – y = 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2.

6.6.xy = 4, x + y – 5 = 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2y.

6.7.y = sinx, y = 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = y.

6.8.y = x, y = 0, x = 4, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x + y.

6.9.x = 6 – y 2, x – y = 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = y 2.

6.10.y = lnx, y = 0, x = e, если плотность в каждой точке фигуры

γ(x; y) = 1x .

6.11. x 2 + y 2 = 4x, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2 + y 2.

52

6.12.x – y + 2 = 0, x = 0, x = 3, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = xy.

6.13.y = 8/(x 2 + 4), x 2 = 4y , если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = 2 – | x |.

6.14.x = y2, x = 1, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x2 + y2.

6.15. x 2 + y 2 = 4, если плотность в каждой точке фигуры

γ(x; y) = x2 + y2 .

6.16.y = x 3, y = 0, x = 2, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = xy.

6.17.y2 = x, x = 4 , если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x.

6.18. y = cos x, y = 0, если плотность в каждой точке фигуры

γ(x; y) = π − x . 2

6.19.4y 2 = x, x + y = 5, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x.

6.20.x = 0, y = 0, x + y = 4, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = xy.

6.21.x + y = 2, y = x, x = 4, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2y.

	6.22. x 2		+ y 2 = 4 если плотность в каждой точке фигуры
	γ(x; y) =		1	.
		x2 + y2

6.23.y = 2x, y = 0, x + y = 6, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2.

6.24.y = x 3, y = 8, x = 0, если плотность в каждой точке фигуры

γ(x; y) = 3 y .

6.25.x = 0, x + 2y + 2 = 0, x + y = 1, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2 .

53

6.26. x – y = 0, xy = 1, y = 4, если плотность в каждой точке фигуры

γ(x; y) = y2 . x2

6.27. x = 3, y = x 3, y = 8, y = 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x + y.

6.28. x – y = 0, x – 2y = 0, x = 2, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = 2 – x.

6.29. x 2 + y 2 = 9, x – y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = x 2 .

6.30. y = x2, y = 9, если плотность в каждой точке фигуры γ(x; y) = y2.

Задача 7. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями:

7.1.z = y 2, x = 0, z = 0, y = x, y = 3.

7.2.z = x 2, y = 3x, y = 12, x = 0, z = 0.

7.3.z = 36 – x 2, y = 6 – x, y = 2x, z = 0, x = 0.

7.4. z = 4 – x, y =3 x , z = 0, y = 0.

7.5.z = 9 – y 2, y = 3 – x , z = 0, x = 1, x = 0, y = 0.

7.6.z = 5 – x – y, x 2 + y 2 = 4, z = 0.

7.7.z = 2 + x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4, z = 0.

7.8.z = y2 , 2x + y = 4, z = 0, x = 0, y = 0.

2

7.9.z = 2x2, 2x + y = 4, z = 0, x = 0, y = 0.

7.10.z = 6 – x, x = y 2, z = 0, x = 4.

7.11.z =5 x, x + y = 4, z = 0, y = 0.

7.12.z = 9 – y 2, x 2 + y 2 = 9, z = 0.

7.13.x 2 + y 2 = 4, z = 4 – x – y , z = 0.

7.14.z = y, y = x 2, y = 4, z = 0, x = 0.

54

7.15. x + y = 3, z = x 2, z = 0, y = 0. 7.16. z = 2x, x = 9 − y2 , z = 0.

7.17.z = y 2, y = 3x , x = 2, z = 0, y = 0.

7.18.z = 4x, y 2 = 2 – x, z = 0.

7.19.z = 2y, y = 4 − x2 , z = 0.

7.20.z = x 2 + y 2, x + y = 2, z = 0, x = 0, y = 0.

7.21.x 2 + y 2 = 9, z = 5 – x – y, z = 0.

7.22.x + y + z – 6 = 0, x + 2y = 4, z = 0, x = 0, y = 0.

7.23.z = 4 – x2 – y 2, x 2 + y 2 = 1, z = 0.

7.24.z = 12 – 3x – 4y, x 2 + y 2 = 4, z = 0.

7.25.z = 9 – x 2 – y 2, x 2 + y 2 = 4, z = 0.

7.26.z = 2x 2 + 2y 2, x 2 + y 2 = 1, z = 0.

7.27.z + x + y = 9, x 2 + y 2 = 9, z = 0.

7.28.x 2 + y 2 = 25, z = y, z = 0.

7.29.z + y + z = 4, x = 2, y = 3.

7.30.z = 16 – y 2, y = x 2, y = 4, z = 0.

Задача 8. С помощью криволинейного интеграла 2-го рода вычислить работу, совершаемую силой:

GG

8.1.F =(x2 +2xy) j, при перемещении материальной точки под

действием этой силы по верхней половине эллипса x2 + y2 =1 про-

4 9

тив часовой стрелки.

G G G

8.2. F = yi + xj, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль ломаной ОАВ, где O(0; 0), A(2; 4), B(3; 1).

GG G

8.3.F =(x − y2 )i +2xj, при перемещении материальной точки под

действием этой силы вдоль ломаной ОАВ, где O(0;0), A(1; 0), B(1; 1).

G G G

8.4. F =( y2 −2xy)i +(2xy + x2 ) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль прямой от точки A(1; 2) до точки B(3; 6).

55

G G G

8.5. F = yi +2xyj, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии, образованной контуром квадрата со сторонами x = ±4, y = ±4.

GG

8.6.F =(x2 + y2 ) j, при перемещении материальной точки под дей-

ствием этой силы вдоль ломаной ОАВ, где O(0; 0), A(1; 3), B(3; 0).

G G G

8.7. F = xi +(x2 + y) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль замкнутой линии, образованной параболой y = x2 и прямыми: x = 4, y = 0.

GG

8.8.F = xyi , при перемещении материальной точки под дейст-

x = y −

1

3

2

;−2

вием этой силы вдоль линии

y

от точки

А

до точ-

3

2

3

ки В

−

;2

.

3

G

G

=

+( y 2

−2xy) j при перемещении материальной

8.9. F

(x 2 −2xy)i

точки под действием этой силы вдоль линии y = x 2 от точки A(–1; 1)

до точки B(1; 1).

G G G

8.10. F = yi + xj, при перемещении материальной точки под дей-

ствием этой силы вдоль ломаной ОАВ, где O(0; 0), A(4; 2), B(2; 0).

G G G

8.11. F = y2i +2xyj, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии x = t 2, y = t 3 от точки O(–1; 1) до

точки A(1; 1).

G G G

8.12. F = xyi +( y − x) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль ломаной AВC, где A(1; 1), B(2; 3), C(2; 1).

GG

8.13.F =(x −1 / y) j, при перемещении материальной точки под

действием этой силы вдоль линии y = x 2 от точки A(1; 1) до точки B(2; 4).

GG

8.14.F = xy j, при перемещении материальной точки под дейст-

вием этой силы вдоль линии y = arcsin x, если 0 ≤ x ≤ 1.

G G G

8.15. F = x2i + xyj, при перемещении материальной точки под дей-

ствием этой силы вдоль ломаной ОАВ, где O(0; 0), A(2; 0), B(2; 2).

G G G

8.16. F =(x + y)i +(x − y) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии y = x 2 от точки A(–1; 1) до точки B(1; 1).

56

G G G

8.17. F =(x − y2 )i +(x + y)2 j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии, образованной контуром треугольника АВС, где A(1; 1), B(2; 0), C(4; 2).

GG

8.18.F = xj, при перемещении материальной точки под действием

этой силы вдоль правой полуокружности x 2 + y 2 = 9 от точки A(0; –3)

до точки B(0; 3).

G G G

8.19. F =(4 − y)i +( y −2) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль первой арки циклоиды x = 2(t – sint), y = 2(1 – cost).

GG

8.20.F = (x 2 + 2xy)i , при перемещении материальной точки под

				x2		y2
	действием этой силы вдоль нижней половины эллипса				+		=1
				9		4
	от точки A(0; –3) до точки B(0; 3).
	G	G	G
	8.21. F	= y2i	− x2 j, при перемещении материальной точки под

действием этой силы вдоль линии окружности x = 4 cos t, y = 4 sin t

против часовой стрелки.

G G G

8.22. F = xi −2yj, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии, образованной контуром треугольни-

ка АВС, где A(2; 0), B(0; 2), C(2; 2).

G G G

8.23. F =( y2 −2x)i +(2y + x2 ) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии, образованной конту-

ром треугольника ОАВ, где O(0; 0), A(1; 0), B(2; 2).

G G G

8.24. F = y2i + x2 j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль верхней половины эллипса x = 4 cost,

y = 5 sin t, если 0 ≤ t ≤ π.		G
G	G
8.25. F	= cos y i −sin y	j , при перемещении материальной точки
под действием этой силы вдоль ломаной АВС, где A(2; –2), B(–2; 2),
C(0; 2). G	G	G
8.26. F	=tg(x + y)i +sin xj, при перемещении материальной точ-

ки под действием этой силы вдоль ломаной АВС, где A(1; 2), B(–1; 3), C(2; 2).

57

G G G

8.27. F = yi − xj, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль линии циклоиды x = 3(t –sint), y =3(1 – cost), если 0 ≤ t ≤ 2π.

GG G

8.28.F =(x +5y)i + xyj, при перемещении материальной точки под

действием этой силы вдоль линии x = 5cost, y = 5sint, если 0 ≤ t ≤ π.

G G G

8.29. F =(x2 −3y)i +(x +3y2 ) j, при перемещении материальной точки под действием этой силы вдоль ломаной АВС, где А(1; 1), В(3; –4), С(2; 3).

GG G

8.30.F =(xy − y2 )i + xj, при перемещении материальной точки

под действием этой силы вдоль линии y = 2 x от точки О(0; 0) до точки В(1; 2).

58

Учебное издание

Гниломедов Павел Иванович Казанцева Наталия Васильевна

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебно-методическое пособие для студентов специальностей 190300 – «Подвижной состав», 190303 – «Электрический транспорт железных дорог», 190302 – «Вагоны»

Редактор C. В. Пилюгина Верстка Н. А. Журавлевой

Подписано в печать 28.04.2012. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,5.

Тираж 100 экз. Заказ № 48.

Издательство УрГУПС 620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66