6.1.4. Задания к теме 7.

• Задача 10.

Компания производит полки для ванных комнат двух типов - А и В. Агенты по продаже считают, что за неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м² материала, типа В - 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4 долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

• Задача 11.

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство одной тонны карамели приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1т. карамели соответствующего вида.

	виды сырья			прибыль
	Сахар. песок	патока	Фрукт. пюре
А	0,8	0,4	0	108
В	0,5	0,4	0,1	112
С	0,6	0,3	0,1	126
Количество сырья	800	600	120

Найти оптимальное сочетание объемов производства карамели (по видам), обеспечивающее максимальную прибыль от ее реализации.

• Задача 12.

Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов — сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат питательные вещества — белок, кальций и витамины. Численные данные представлены в таблице. В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не менее 200 и 210 г, соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Продукты	Питательные вещества
	Белок (г/кг)	Кальций (г/кг)	Витамины (мг/кг)
Сено	50	10	2
Силос	70	6	3
Концентраты	18О	3	1

Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса и концентрата составляет, соответственно, 1,5, 2 и 6 рублей.

• Задача 13.

Определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, будем называть нормой расхода. Нормы расхода, прибыль, получаемую от реализации единицы каждого типа продукции и наличие располагаемого ресурса приведены в таблице.

Ресурс	Прод1	Прод2	Прод3	Прод4	Знак	Наличие
Прибыль	60	70	120	130	max	-
Трудовые	1	1	1	1	<=	16
Сырье	6	5	4	3	<=	110
Финансы	4	6	10	13	<=	100

Составить математическую модель и решить задачу.

• Задача 14.

Цех производит N видов продукции. Для производства всех видов продукции используется M видов исходных материалов. Расход каждого вида сырья на производство каждого вида продукции известен. Также известны суточные запасы сырья, максимальный суточный спрос на изготовляемую продукцию, стоимость сырья и цены на продукцию. Сколько и какой продукции следует производить, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной?

Исходные данные для задачи о планировании производства.

• Задача 15.

Была предложена следующая простая модель сельскохозяйственного производства на Нарвских островах для внешнего рынка. Имеются три основные культуры, растущие в этом климате, и выращиваться они могут на одном из двух типов пахотных земель. В настоящее время для обработки пригодны 1400000 акров земли типа I и 1200000 акров земли типа II. Разные типы культур по-разному растут на разных землях, и подсчитано, что чистый урожай культуры I с земли типа J составляет R_ij

I	Rij
	J=I	J==II
1	6	6
2	8	5
3	4	5

Все культуры требуют дополнительного орошения (ирригационного). Имеющаяся ирригационная система обеспечивает 5600000 м³ воды в год. Для одного акра культуры i, выращенной на земле типа j, требуется W_ij м³ воды в год:

I	Wij
	J=I	J-1I
1	2	3
2	3	3
3	3	2

Население, занятое в сельском хозяйстве, составляет 700000 человек. Чтобы получить урожаи 1, 2, 3 с каждых 10 акров земли, для выполнения различных работ по вы­ращиванию культур в течение 1 года требуется, соответственно, 2, 1 и 3 человека.

Определите, какие культуры, в каком количестве и на каких землях необходимо выращивать, чтобы получить максимальный урожай? Каков размер максимального урожая?

• Задача 16.

Предположим, что в Портленде, Сиэтле и Сан-Диего находятся три консервных завода. Эти консервные заводы могут производить, соответственно» 250, 500 и 750 ящиков консервов в день. Для реализации продукции в стране имеется пять складов оптовой торговли: в Нью-Йорке, Чикаго, Канзас-Сити, Далласе и Сан-Франциско. Каждый склад может продать 300 ящиков за день. Специалист, занятый распределением продукции, хочет определить число ящиков, которое дол­жно быть доставлено от трех консервных заводов к пяти сбытовым складам так, чтобы каждый склад смог бы получить столько ящиков, сколько может продать ежедневно, а полные транспортные издержки были бы минимальными. В таблице указана стоимость транспорти­ровки каждого ящика (долл.).

	Портленд	Сиэтл	Сан-Диего
Нью-Йорк	0,90	2,50	0,60
Чикаго	1,80	1,70	1,80
Канзас-Сити	1,50	1,80	2,50
Даллас	1,00	2,00	1,40
Сан-Франциско	2,70	1,80	1,60

• Задача 17.

Компания имеет 3 оптовых базы и 7 точек розничной торговли. Склады могут поставлять 100000, 120000 и 135000 единиц товара ежемесячно. Месячный объем реализации составляет 45000, 62000, 39000, 82000, 43000, 35000 и 49000 единиц. Стоимость перевозки единицы товара до 1 августа указана в таблице. С 1 августа маршруты (база 1 – точка 3) и (база 1 – точка 5) были изменены из-за дорожных работ. Стоимость провоза увеличилась на 5% и 7% соответственно. Определите оптимальный план транспортировки товара с баз в торговые точки до и после указанной даты, а также увеличение общих затрат.

	Точка 1	Точка 2	Точка 3	Точка 4	Точка 5	Точка 6	Точка 7
База 1	1,3	1,55	1,1	1,3	0,95	1,05	1,1
База 2	1,4	1,6	1,2	1,2	1,35	1,1	1,4
База 3	1,2	1,7	1,3	1,2	1,4	1,2	1,3

• Задача 18.

Фирма предложила владельцам трех авиалиний перевозить бригады специалистов в различные части света. Стоимость перевозок в фунтах стерлингов приведена в таблице:

Авиалиния	Сидней	Калькутта	Бейрут	Даллас	Сан-Паулу
1	24	16	8	10	14
2	21	15	7	12	16
3	23	14	7	14	20

Администрация фирмы решила, что индивидуальные контракты на перевозку будут заключаться с владельцами линий 1, 2, 3 в отношении 2:3:2, и уведомила о1 этом управляющего транспортными перевозками, атак же известила его о том, что из 70 намеченных на следующий год перевозок 10 — в Сидней, 15 — в Калькутту, 20 -в Бейрут, 10 — в Даллас и 15 — в Сан-Паулу.

Как ему следует распределить индивидуальные контракты на перевозки для минимизации общей стоимости при условии удовлетворения запросов администрации фирмы? Какова минимальная стоимость перевозок удовлетворяющих приведенным выше ограничениям?

• Задача19.

На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20000 м³ каменных материалов. В районе строительства имеются три карьера с запасами 8000 м³, 9000 м³, 10000 м³. для погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м³ в смену в карьерах 1 и 2 и 500 м³ в смену в карьере 3. Эти карьеры обеспечивают каменными материалами также ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для рассматриваемого участка выделен для экскаваторов лимит 60 машино-смен с правом использования его по усмотрению строителей. Транспортные затраты на перевозку материалов характеризуются следующими показателями: для перевозки 10000 м³ материалов из карьера 1 требуется 1000 автомобиле-смен, из карьера 2 – 1350, из карьера 3 – 1700. Найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

• Задача20.

Транспортные затраты на перевозку одной машины с песком с карьеров на заводы, а также ежедневные заказы заводов и запасы карьеров приведены в таблице.

	Завод 1	Завод 2	Завод 3	Запасы
Карьер 1	4	6	3	150
Карьер 2	8	4	5	200
Заказы	80	90	130

Найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты.

• Задача21.

Пять человек с номерами Ml, М2, ..., М5 способны выполнить пять заданий с номерами Т1, Т2, ..., Т5. В силу разной квалификации на выполнение этих заданий им потребуется различное время. Как следует распределить людей по заданиям, чтобы минимизировать время выполнения? Время выполнения (в часах ) приведено таблице.

Сотрудники	Задания
	Т1	Т2	T3	Т4	Т5
Ml	10	5	9	18	11
М2	13	19	6	12	14
М3	3	2	4	4	5
М4	18	9	12	17	15
М5	11	6	14	19	10

• Задача22.

В городе А намечено провести городскую олимпиаду по математике среди школьников, причем отдельно по семи разделам. Для этого каждая школа должна представить на олимпиаду по 7 учащихся для участия по одному учащемуся в каждом разделе. Школа N определила 7 учащихся в команду, причем известно, что каждый из семи учащихся может за отпущенное время решить правильно следующее количество задач:

Номер участника	Количество правильно решенных задач по каждому разделу
	Номер раздела
	1	2	3	4	5	6	7
1	11	15	20	16	13	26	11
2	12	13	22	14	16	29	13
3	14	16	24	22	22	32	16
4	14	12	20	19	20	31	15
5	16	13	22	20	23	34	17
6	13	15	18	14	26	29	18
7	12	11	16	17	17	24	10

Определите, кто и в каком разделе олимпиады должен участвовать.

• Задача23.

Фирма, занимающаяся продажей компьютеров и компьютерной периферии, имеет 10 специалистов по маркетингу и 10 техников, которых надо объединить в пары (техник – менеджер по маркетингу), образовав команду по продаже оборудования, необходимое конкретному клиенту. Менеджер по работе с персоналом провёл среди них специальное тестирование и определил индекс взаимной несовместимости между I-ым техником и j-ым маркетологом. Индекс меняется от 20 (выраженная враждебность) до 1 (дружеские отношения). Результаты представлены в таблице индексов несовместимости:

Менеджеры по маркетингу	Техники
	Иван	Пётр	Миша	Коля	Вася	Роман	Майя	Виктор	Инна	Галя
Аня	11	8	4	3	9	17	14	6	12	2
Зоя	7	4	7	11	19	2	10	5	18	9
Маша	13	20	1	12	14	11	16	9	15	14
Виталий	5	8	12	6	1	3	4	7	10	12
Люба	16	7	18	9	13	1	2	17	12	3
Даша	12	3	9	17	5	6	18	2	1	4
Руслан	9	1	13	4	7	20	19	1	19	16
Валя	8	6	17	8	11	4	3	4	13	16
Юля	17	2	19	13	14	19	11	3	17	1
Галя	12	1	7	1	2	5	6	4	1	13

Составить пары так, чтобы общая эффективность работы всей команды была наибольшей.

• Задача24.

На новогоднем вечере будет проведен конкурс среди танцевальных пар. Девять юношей и шесть девушек давно знакомы друг с другом и знают, кто с кем и как танцует. Качество исполнения танцев парами по пятибалльной системе в различных сочетаниях партнеров оценивается так, как это показано в таблице:

	Андрей	Борис	Виктор	Алексей	Дмитрий	Георгий	Иван	Илья	Леонид
Анна	3	4	5	2	4	5	3	2	5
Инна	4	4	2	4	5	4	5	5	3
Галина	2	4	3	5	4	5	3	4	5
Дарья	3	4	5	5	3	4	4	3	3
Мария	4	5	5	3	4	5	3	5	4
Кира	3	2	3	5	4	5	2	3	5

Определить оптимальное сочетание пар.

• Задача25.

Необходимо найти оптимальный план развития трех металлургических предприятий для удовлетворения потребностей района в сортовом прокате. Потребность в прокате задана в динамике (на 1990, 1995 и 2000 гг.). Разработаны три варианта развития 1 и по дна варианта для 11 и 111 предприятий. Варианты различаются структурой и динамикой объема производства по годам планового периода, а также приведенными затратами на их осуществление.

Оптимизация плана заключается в выборе из известных вариантов развития каждого предприятия таких, реализация которых позволяет обеспечить заданную потребность в сортовом прокате по годам планового периода с минимальными совокупными приведенными затратами.