Содержание учебной дисциплины

ТЕМА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Основные понятия теории множеств.

Множество, элемент множества, подмножество, пустое множество, способы задания множеств. Операции над множествами. Счетные и несчетные множества. Конечные и бесконечные множества. Диаграммы Эйлера-Венна. Универсальное множество. Дополнение множества. Декартово произведение множеств. Упорядоченная пара. Отношения и отображения. Бинарные отношения и их свойства. Отношения эквивалентности. Отношения порядка. Понятие отображения.

Комбинаторика.

Факториал. Перестановки, размещения, сочетания.

Сведения о комплексных числах.

Действия с комплексными числами. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах. Геометрическая интерпретация. Извлечение корня из комплексного числа и возведение в степень.

ТЕМА 2. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Матрицы и определители.

Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Определители, их свойства. Вычисление определителей. Обратная матрица. Линейные операторы. Квадратичные формы. Системы "n" линейных уравнений с "n" неизвестными и их решение. Правило Крамера. Матричный способ решения линейных систем.

Теория линейных систем.

Линейное векторное пространство. Линейная зависимость векторов в "n" мерном пространстве. Базис системы векторов. Ранг матрицы, теорема о ранге матрицы. Решение произвольных линейных систем. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

Векторная алгебра.

Векторы. Сложение векторов, умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов. Координаты вектора. Координаты точки. Преобразование системы координат. Вычисление площади треугольника, заданного координатами своих вершин.

Некоторые приложения линейной алгебры

Собственные векторы и собственные значения матриц (операторов).

Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Другие виды уравнений прямой. Пучок прямых. Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.

Плоскость.

Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Пучок и связка плоскостей. Нормальное уравнение плоскости и вычисление расстояния от точки до плоскости.

Прямая в пространстве.

Общее уравнение прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

О кривых и поверхностях второго порядка.

Общее уравнение кривой 2-го порядка и его приведение к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями: эллипс, гипербола, парабола.

Классификация поверхностей второго порядка.

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Функции одной переменной. Теория пределов.

Функции и их задание. Графики основных элементарных функций. Числовые последовательности. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о предельной точке. Фундаментальные последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предельный переход в неравенствах. Монотонные числовые последовательности. Подпоследовательности, частичные пределы, верхний и нижний пределы последовательности действительных чисел. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальная последовательность, ее ограниченность. Критерий Коши сходимости последовательности.

Предел функции.

Эквивалентность двух определений предела. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Предел функции действительного переменного, односторонние пределы.

Предел функции многих переменных.

Критерий Коши существования предела. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Непрерывность функции.

Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции. Арифметические действия с непрерывными функциями. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Непрерывность функций многих переменных. Равномерная непрерывность, теорема Кантора. Теорема Вейерштрасса и теоремы Коши о непрерывных функциях.