Funk_metoda_part_1

3. Доведiть нерiвнiсть Мiнковського:

	1	≤		1	+		1	,
n	|ak + bk|p!p		n	|ak|p!p		n	|bk|p!p
X			X			X
k=1			k=1			k=1

äå p ≥ 1, à ak, bk будь-якi дiйснi числа.

4.Доведiть нерiвнiстi Гьольдера та Мiнковського для рядiв та iнтегралiв:

(a)

P

∞

P

∞

p p1

∞

q

q1

k k ≥

≤ (

p

Pq

k=1 akbk

k=1 ak) (

k=1 bk) ,

äå a , b

0, p, q > 1 i 1 + 1 = 1;

äå

ïðè

1

i

1

;

,

(b)

ab f(t)d(t)dt ≤

ab fp

(t)dt p

ab gq(t)dt

q ,

R

R

R

f(t), g(t)

≥

0

t

[a, b] p, q > 1

1

+

1

= 1

p

q

(c)

(

k∞=1 |ak + bk|p) p1

≤ (

k∞=1

|ak|p) p1

+ (

k∞=1 |bk|p) p1

,

Pp ≥ 1;

P

P

äå

R p ≥ 1.

1

R

1

1

≤

R

(d)

ab |f(t) + g(t)|pdt

p

ab |f(t)|pdt p +

ab |g(t)|pdt

p ,

äå

5.Коли в нерiвностях, що наведенi в задачах 1 - 4 досяга¹ться знак рiвностi?

6.Перевiрьте, що в наступних метричних просторах виконуються аксiоми метрики. Доведiть, що всi цi простори ¹ повними.

(a) R простiр, що склада¹ться з дiйсних чисел, з метрикою

ρ(x, y) = |x − y|;

(b) C простiр, що склада¹ться з комплексних чисел, з метрикою

ρ(z, w) = |z − w|;

11

x = (x1, x2, ..., xn), з метрикою

(c) Rn простiр, що склада¹ться з усiх упорядкованих наборiв з n дiйсних чисел

ρ(x, y) = v	n (xk	−	yk)2	;
uk=1
	X
u
t

(d) lp (p ≥ 1) простiр, що склада¹ться з усiх послiдовностей дiйсних чисел x = (x1, x2, ..., xn, ...), äëÿ ÿêèõ

Pn∞=1 |xn|p < ∞, з метрикою			1	;
ρ(x, y) =	∞	|xn − yn|p!p
	X

n=1

(e) l∞ простiр, що склада¹ться з усiх обмежених послiдовностей дiйсних чисел x = (x1, x2, ..., xn, ...), з метрикою

ρ(x, y) = sup |xn − yn| ;

1≤n<∞

(f) c простiр, що склада¹ться з усiх збiгаючихся послiдовностей дiйсних чисел x = (x1, x2, ..., xn, ...), з метрикою

ρ(x, y) = sup |xn − yn| ;

1≤n<∞

(g) c0 простiр, що склада¹ться з усiх збiжних до нуля

послiдовностей дiйсних чисел x = (x1, x2, ..., xn, ...), з метрикою

ρ(x, y) = sup |xn − yn| ;

1≤n<∞

(h) C[a;b] простiр, що склада¹ться з усiх неперервних на сегментi [a; b] функцiй, з метрикою

ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| ;

t [a;b]

12

(i) Lp[a,b] (p ≥ 1) простiр, що склада¹ться з усiх сумовних по Лебегу на [a; b] функцiй, з метрикою

	1
ρ(x, y) =	Zab |x(t) − y(t)|p dt!p .

В цьому просторi функцi¨, якi збiгаються майже всюди, ототожнюються.

(j) C[1a;b] простiр, що склада¹ться з усiх неперервно дiференцiйованих на сегментi [a; b] функцiй, з метрикою

ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| + max |x0(t) − y0(t)| ;

t [a;b]

t [a;b]

7.Нехай 1 ≤ p < q < ∞. Якi з наступних тiерджень ¹ справедливими?

(a)ÿêùî x lp, òî x lq;

(b)ÿêùî x lq, òî x lp;

(c)ÿêùî x Lp[0,1], òî x Lq[0,1];

(d)ÿêùî x Lq[0,1], òî x Lp[0,1];

(e) ÿêùî x Lp−∞ ∞ x Lq−∞ ∞

( ,+ ), òî ( ,+ );

(f)ÿêùî x Lq(−∞,+∞), òî x Lp−∞,+∞).

8.Нехай X довiльна множина. Доведiть, що

ρ(x, y) =

0, êîëè x = y,

1, êîëè x 6= y,

визнача¹ метрику на множинi X. Доведiть, що будь-яка пiдмножина множини X ¹ одночасно i вiдкритою i замкненою.

9.Довести, що для будь-яких трьох точок x, y, z метричного простору X ì๠ìiñöå íåðiâíiñòü

|ρ(x, z) − ρ(z, y)| ≤ ρ(x, y).

13

10.Довести, що для будь-яких чотирьох точок x, y, u, v метрич- ного простору X ì๠ìiñöå íåðiâíiñòü

|ρ(x, u) − ρ(y, v)| ≤ ρ(x, y) + ρ(u, v).

11.Довести, що E = E E0, äå E0 множина граничних точок для E.

12.Чи завжди в метричному просторi замкнення вiдкрито¨ кулi

B (x0, 1) = {x X : ρ(x0, x) < 1}

збiга¹ться з замкненою кулею

B (x0, 1) = {x X : ρ(x0, x) ≤ 1} .

13.Довести, що для будь-яко¨ множини A в метричному просторi X функцiя f(x) = ρ(A, x) неперервна на X.

14.Чи може куля бiльшого радiусу належати кулi меншого радiусу.

15.Нехай ρ(x, y) метрика на множинi X. Доведiть, що наступнi функцi¨

ρ(x, y) ρ1(x, y) = 1 + ρ(x, y) ,

ρ3(x, y) = min (1, ρ(x, y))

ρ2(x, y) = ln (1 + ρ(x, y)) ,

p

, ρ4(x, y) = ρ(x, y)

також ¹ метриками. Що можна сказати про повноту просторiв з новими метриками, якщо метричний простiр (X, ρ)

¹ повним.

16.Чи буде повним метричним простором дiйсна пряма R з метрикою

a) ρ(x, y) = |arctgx − arctgy|,

b) ρ(x, y) = |ex − ey|, c) ρ(x, y) = |x3 − y3|?

14

17.Чи буде повним метричним простором вiдрiзок [0, π2 ] дiйсно¨ прямо¨ з метрикою

a) ρ(x, y) = | sin x − sin y|, b) ρ(x, y) = | sin2(x − y)|?

18. Нехай M множина усiх	числових		послiдовностей x =
{xn}n∞=1. Покладемо
∞		|xn − yn|
ρ(x, y) =	2−n					.
X	|		−	yn	|
n=1	1 + xn

Доведiть, що функцiя ρ(x, y) ¹ метрикою, а простiр M вiдносно цi¹¨ метрики ¹ повним.

19.Довести, що на множинi натуральних чисел можна ввести метрику

1 + n+1m			, m 6= n.
0,			m = n,
ρ(m, n) =

Довести, що отриманий таким чином метричний простiр ¹ повним, замкненi кулi Bk з центрами в точках k i радiусами 1 + 21k вкладенi одна в одну, але мають пустий перетин.

(Цей приклад показу¹, що в теоремi про вкладенi кулi вимога, щоб радiуси куль прямували до нуля, ¹ сутт¹вою).

20.Нехай A довiльна множина з R, F множина усiх дiйсних (або комплекснозначних) функцiй на A. Для x, y F

покладемо	|x(t) − y(t)|
ρ(x, y) = sup		.
t A	1 + |x(t) − y(t)|

Доведiть, що ρ(x, y) ¹ метрикою на F i збiжнiсть в цiй метрицi рiвносильна рiвномiрнiй збiжностi функцiй на множинi

A.

21.Чи буде повним метричним простором множина точок кола, якщо за вiдстань мiж двома точками взяти довжину найменшо¨ дуги, яка сполуча¹ цi точки.

15

22. Нехай (X1, ρ1) òà (X2, ρ2) метричнi простори i X = X1 ×X2декартовий добуток множин X1 òà X2. Äëÿ áóäü-ÿêèõ x =

(x1, x2), y = (y1, y2), x1, y1 X1, x2, y2 X2 покладемо

p

a) ρ(x, y) = ρ21(x1, y1), +ρ22(x2, y2), b) ρ(x, y) = ρ1(x1, y1), +ρ2(x2, y2).

Доведiть, що декартовий добуток з метрикою а) або b) ¹ метричним простором. Що можна сказати про повноту отрима-

ного метричного простору, якщо простори (X1, ρ1) , (X2, ρ2) ïîâíi?

23.Доведiть, що всi простори, що наведенi в задачi 6, крiм l∞,

¹сепарабельними.

24.Доведiть, що доповнення вiдкрито¨ всюди щiльно¨ множини нiде не щiльно.

25.Доведiть, що замикання нiде не щiльно¨ множени нiде не щiльно.

26.Нехай L пiдпростiр сепарабельного простору X. Доведiть, що L сепарабельний.

27.Нехай E множина в l2, яка склада¹тся з усiх фiнiтних по-

слiдоiностей (тобто кожний елемент з E ¹ послiдовнiстю, яка мiстить лише скiнченну кiлькiсть ненульових елементiв). Доведiть, що E можна представити у виглядi зчисленного об'¹днання множин, якi нiде не щiльнi в l2.

28.Нехай 1 ≤ p < q < ∞ i E множина в Lp[a,b], яка склада¹тся з усiх функцiй, що належать до Lq[a,b]. Доведiть, що E можна представити у виглядi зчисленного об'¹днання множин, якi нiде не щiльнi в Lp[a,b].

29.Якi з наступних тверджень ¹ справедливими?

(a)Збiжна послiдовнiсть обмежена.

(b)Кожна фундаментальна послiдовнiсть обмежена.

16

(c)Вiдкрита куля ¹ вiдкритою множиною.

(d)Якщо фундаментальна пiдпослiдовнiсть {xn}∞n=1 мiстить â ñîái çáiæíó ïîñëiäîâíiñòü {xnk }∞k=1, òî {xn}∞n=1 çái- ãà¹òüñÿ.

(e)Нехай X це метричний простiр. Доведiть, що точка x0 X ¹ граничною точкою пiдмножини E X òîäi

i òiëüêè òîäi, êîëè iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü {xn}∞n=1 X, xn 6= x0, n N, äëÿ ÿêî¨ limn→∞ xn = x0.

(f)Об'¹днання деяко¨ системи вiдкритих множин ¹ вiдкритою множиною. Перетин скiнченного числа вiдкритих множин ¹ вiдкритою множиною.

(g)Перетин довiльно¨ системи замкнених множин ¹ замкненою множиною. Об'¹днання скiнченного числа замкнених множин ¹ замкненою множиною.

(h)Множина E X замкнена тодi й тiльки тодi, коли ¨¨ доповнення cE = X \ E ¹ вiдкритою множиною.

(i)Декартiв добуток сепарабельних метричних просторiв ¹ сепарабельним простором.

(j)Множина усiх iзольованих точок метричного сепарабельного простору не бiльш нiж зчислена.

(k)Непуста вiдкрита множина в метричному сепарабельному просторi ¹ об'¹днанням не бiльш нiж зчислено¨ системи вiдкритих куль.

(l)ßêùî A замкнена множина i x / A, òî ρ(x, A) 6= 0

(m)Для довiльних множин A i B викону¹ться ρ(A, B) =

ρ(A, B) = ρ(A, B).

(n) ßêùî A i B замкненi множини i A ∩ B = , òî

ρ(A, B) 6= 0.

2Принцип стискуючих вiдображень

2.1Основнi факти

Нехай (X, ρ) метричний простiр i вiдображення A : X → X.

17

Означення 1. Точка x X назива¹ться нерухомою точкою вiдображення A, ÿêùî Ax = x.

Означення 2. Вiдображення A : X → X назива¹ться стиску- ючим (вiдображенням стиску), якщо iсну¹ таке число α, 0 < α < 1, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ x, y X викону¹ться умова

ρ(Ax, Ay) ≤ αρ(x, y).

Теорема 1 (Банаха). Нехай (X, ρ) повний метричний простiр, i вiдображення A ¹ вiдображенням стиску. Тодi вiдображення A ма¹ ¹дину нерухому точку.

Зауваження. ßêùî (X, ρ) повний метричний простiр i вiдображення A ¹ вiдображенням стиску, тодi нерухома точка x0 X може бути визначена як границя послiдовностi

n

	n = A	x =z		}|		{
x	n	A (A (.... (A (x)))), n = 1, 2, ...,

äå x буь-яка точка простору X. При цьому справедлива оцiнка

αn

ρ(x0, xn) ≤ 1 − αρ (x, A(x)) .

Íàñëiäîê 1. Якщо матриця

A =	a21	a22 ...		a2n
	a11	a12 ...		a1n
	a...	a	...	a...
	n1	n2		nn
		... ...

така, що викону¹ться принаймнi одна з умов

n

X

1)|aij| ≤ α < 1, i = 1, 2, ..., n,

j=1

n

X

2)|aij| ≤ α < 1, j = 1, 2, ..., n,

i=1

nn

XX

3)a2ij ≤ α < 1, i = 1, 2, ..., n,

i=1 j=1

18

1

M(b−a) , äå

то система рiвнянь

x1 −	jn=1 a1jxj = b1,
	Pn
xn − j=1 anjxj = bn,

..............................

P

äå xi, bi, i = 1, 2, ..., n, деякi числа, ма¹ ¹диний розв'язок.

Наслiдок 2 (Теорема Пiкара). Нехай функцiя f(x, y) äâîõ

дiйсних змiнних неперервна у деякому околi точки (x0, y0) R2. Якщо функцiя f(x, y) задовольня¹ у цьому околi умову Лiпшиця по y:

|f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| , 0 < L < ∞,

то iсну¹ окiл точки x0, у якому задача Кошi

dxdy = f(x, y), y(x0) = y0,

ма¹ ¹диний розв'язок y = ϕ(x).

Наслiдок 3. Нехай K(x, y) дiйсна функцiя, неперервна в квадратi a ≤ x, y ≤ b, а ϕ(x) дiйсна функцiя, неперервна в промiжку a ≤ x ≤ b. Тодi для будь-якого λ, яке задовольня¹ умову |λ| < m = maxa≤x,y≤b |K(x, y)|, рiвняння Фредгольма

Z b

f(x) = ϕ(x) + λ K(x, y)f(y)dy

a

ма¹ ¹диний неперервний розв'язок.

Приклад 1. Доведiть, що якщо вiдображення A : X → X повного метричного простору X в себе таке, що для деякого n N

ñòåïiíü An ¹ стискуючим вiдображенням, то вiдображення A ìà¹

¹дину нерухому точку.

Ðîçâ'ÿçîê. Îñêiëüêè An ¹ стискуючим вiдображенням, то iсну¹ таке α, 0 < α < 1, ùî

ρ(Anx, Any) ≤ αρ(x, y), x, y X.

За теоремою Банаха вiдображення B = An ма¹ ¹дину нерухому точку x0. Покажемо, що x0 ¹дина нерухома точка вiдображення A. Дiйсно, для вiдстанi ρ(x0, Ax0) ìà¹ìî

ρ(x0, Ax0) = ρ (Bx0, ABx0) = ρ(Anx0, AAnx0) =

19

= ρ(Anx0, An+1x0) = ρ(Bx0, BAx0) ≤ αρ(x0, Ax0).

Звiдси виплива¹, що ρ(x0, Ax0) = 0, тобто Ax0 = x0. Зрозумiло, що кожна нерухома точка вiдображення A ¹ нерухомою точкою вiдображення An. Тому вiдображення A ма¹ ¹дину нерухому точ-

êó.		Доведiть, що рiвняння
Приклад 2.
				x			(x − y)n−1	ϕ(y)dy = ϕ(x)
			Z0				(n − 1)!
çâ'ÿçîê, à					x		ϕ(y)dy = ϕ(x) ма¹ единий розв'язок.
для будь-якого n				N		ма¹ в просторi C[0;a] лише тривiальний ро-
	рiвняння			R
Ðîçâ'ÿçîê.								A : C[0;a] → C[0;a] визна-

0

Розглянемо вiдображення чене формулою Z x

(Aϕ) (x) = ϕ(y)dy.

0

Для нього

(Amϕ) (x) =

x

(x − y)m−1

ϕ(y)dy, m

N

.

Z0

(m − 1)!

Знайдемо вiдстань ρ(Amϕ, Amψ), ϕ, ψ C[0;a]. Ìà¹ìî

ρ(Amϕ, Amψ) =

max

x

(x − y)m−1

[ϕ(y)

−

ψ(y)] dy

≤

0≤x≤a

0

(m

−

1)!

Z

x

(x

y)

m

−

1

−

max

ϕ(x)

−

ψ(x)

| ·

max

dy =

(m −

1)!

≤ 0≤x≤a |

0≤x≤a Z0

=

am

max ϕ(x)

−

ψ(x) =

am

ρ(ϕ, ψ).

m!

m!

0

x a |

|

≤ ≤

При достатньо

великих

m

N

áóäå

виконуватися

íåðiâíiñòü

am

m! < 1. Отже, при таких m вiдображення Am ¹ вiдображенням стиску. За твердженням попередньо¨ вправи рiвняння

Z x

ϕ(y)dy = ϕ(x)

0

20